Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 06-05-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 3 / 22

Sắp theo

Sắp xếp

#333985 Giải PT : $(8sin^{3}x+1)^{3}-162 sinx +27= 0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 10-07-2012 - 13:48 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Bài 2:
$3(1+\frac{\cos{2x}}{\cos^2{x}})^4+ 4\tan^6{x} = 7$

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$3(1 + \dfrac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\cos^2{x}})^4 + 4\tan^6{x} = 7$

$\Leftrightarrow 3(2 - \tan^2{x})^4 + 4\tan^6{x} = 7 \,\, (2)$

Đặt $a = \tan^2{x} \geq 0$. Phương trình (2) trở thành:
$3(2 - a)^4 + 4a^3 = 7 \Leftrightarrow 3a^4 - 20a^3 + 72a^2 - 96a + 41 = 0$

$\Leftrightarrow (a - 1)^2(3a^2 - 14a + 41) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 1\\3a^2 - 14a + 41 = 0 \,\, (VN)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \tan^2{x} = 1 \Leftrightarrow \tan{x} = \pm 1$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pm \pi}{4} + 2k\pi\\x = \dfrac{\pm 3\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right.$

#334347 Giải PT : $(8sin^{3}x+1)^{3}-162 sinx +27= 0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-07-2012 - 11:59 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Em chưa học Toán 11 nên chưa học phần arc. Nhưng em nghĩ là $\tan{x} = \pm 1 \Rightarrow \sin{x} = \pm \cos{x}$
Thế vào $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$ thì ta được các nghiệm nói trên

#381050 Giải phương trình a) $(x-3)^{2}+x^{4}=-y^{2...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 27-12-2012 - 22:05 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

ĐK: $x \neq 0$

Ta có:
$x^4 + \dfrac{8}{x^2} + y^2 = 4 + 2x^2$

$\Leftrightarrow y^2 = (4 - x^4) + (2x^2 - \dfrac{8}{x^2})$

$\Leftrightarrow y^2 = (4 - x^4) + \dfrac{2}{x^2}(x^4 - 4) = (x^4 - 4)(\dfrac{2}{x^2} - 1)$

$\Leftrightarrow y^2 = -\dfrac{(x^2 + 2)(x^2 - 2)^2}{x^2}$

Nhận thấy: $VT \geq 0 \geq VF$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix}y = 0\\x^2 = 2\end{matrix}\right.$

#445202 $3x^{4}-4x^{3}=1-\sqrt{(1+x^{2})...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-08-2013 - 21:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 1.

Giải

Đặt $a = \sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3}; b = \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}$

$c = \sqrt[3]{3x^{2}-2x+2}; d = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}$

Khi đó, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\a^3 + b^3 = c^3 + d^3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\(a + b)^3 - 3ab(a + b) = (c + d)^3 - 3cd(c + d) \end{matrix}\right. (\star)$

Nếu $a + b = c + d = 0$ thì dễ dàng tìm được hai nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 0

Nếu $a + b = c + d \neq 0$ thì hệ $(\star)$ tương đương:

$\left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\ab = cd\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a = c \\b = d\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a = d\\b = c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} = \sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} \\\sqrt[3]{4x^{2}-9x-3} = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}\\\sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} = \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}2x^2 - 6x - 1 = 0\\x^2 - 7x - 5 = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{3 \pm \sqrt{11}}{2}\\x = \dfrac{7 \pm \sqrt{69}}{2}\end{matrix}\right.$

#431723 Giải pt lượng giác: $(\frac{tanx-1}{tanx+1}+co...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-06-2013 - 00:08 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

\[2\left[ {\sin 3x.\sin x + \sin \left( {3x + \frac{{5\pi }}{2}} \right).\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] = 1\,\,\,\,\left( { - \pi < x < \pi } \right)\]

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$2 \left [ \sin{3x} \sin{x} + \cos{3x}\cos{x} \right ] = 1$

$\Leftrightarrow 2.\cos{2x} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k\pi \, (k \in Z)$

Do $- \pi < x < \pi$ nên $x = \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{-\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{-5\pi}{6}$

\[\cos 2x + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\]

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\cos{2x} + 2\sin{2x}\cos{\dfrac{\pi}{3}} = \sqrt{2}\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin{2x} + \cos{2x}) = \sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

$\Leftrightarrow \sin{\left (2x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = \sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Phương trình lượng giác cơ bản.

#448141 Giải phương trình $\sqrt{7-x^2+x\sqrt{x+5}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 06-09-2013 - 00:17 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 3

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$

Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$

Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$

Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

#452920 $\sqrt[3]{x^{2}-2}= \sqrt{2-x^{3...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-09-2013 - 12:04 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $- \sqrt[3]{2} \leq x \leq \sqrt[3]{2}$

Do $\left [- \sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2}\right ] \subset \left [- \sqrt{2}; \sqrt{2}\right ]$

Vì vậy: $x^2 - 2 < 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2 - 2} < 0 < \sqrt{2 - x^3}$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

#317402 Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-05-2012 - 20:47 trong Đại số

Bạn có thể trình bày được chứ, theo mình thì như vậy là OK rồi ?

Với một S duy nhất, một P duy nhất. Ta luôn có thể có 2 nghiệm khác nhau thỏa mãn phương trình:

$X^2 - SX + P = 0$

Do ở đây, vai trò của x và y như nhau nên trường hợp mà bạn xét không đủ dữ kiện để nói rằng, hệ có nghiệm duy nhất!

Bạn thử lại xem... Với $S = -1; P = \dfrac{-3}{2}$
Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

#317394 Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-05-2012 - 20:39 trong Đại số

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

Giải

Đây là hệ đối xứng loại 1.
Do đó, nếu phương trình có một nghiệm $(x_0; y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(y_0; x_0)$.
Vì vậy, hệ nói trên có nghiệm thực duy nhất khi $x = y$

Khi đó, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}3x^2 = m + 6\\x^2 + 4x = m\end{array}\right.$

Điều kiện để hệ nói trên có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}m + 6 \geq 0\\2^2 + m \geq 0\\\pm\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 \pm \sqrt{m + 4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 - \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + 2= \sqrt{m + 4}\\2 = \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + \sqrt{m + 4}\\\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = 2 + \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} 2\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = \dfrac{m - 3}{3} \,\,\, (1)\\-\dfrac{2m + 3}{3} = \sqrt{\dfrac{(m + 6)(m + 4)}{3}} \,\,\, (2)\\-\dfrac{m + 9}{3} = 2\sqrt{m + 4} \,\,\, (3)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq 3\\m^2 - 18m - 63 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow m = 21$

$(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \leq \dfrac{-3}{2}\\m^2 - 18m - 63 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow m = -3$

$(3)$ vô nghiệm do $\forall \, m\geq - 4 \Rightarrow \dfrac{-m - 9}{3} < 0 \leq 2\sqrt{m + 4}$

Vậy $\left[\begin{array}{l} m = - 3\\m = 21\end{array}\right.$

* Với m = -3, hệ ban đầu tương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 3\\2x + xy + 2y = -3\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) = 0\\x^2 + xy + y^2 = 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x = - y\\x = -y - 2\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào hệ ban đầu, ta thấy không thỏa mãn có nghiệm thực duy nhất.

* Với m = 21, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27\\2x + 2y + xy = 21\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) - 48 = 0\\x^2 + xy + y^2 = 27\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27 \\\left[\begin{array}{l}x = -y - 8\\x = 6 - y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào, giải ra, ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 3.
Vậy với m = 21, hệ có nghiệm duy nhất!

#317450 Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-05-2012 - 21:43 trong Đại số

Ừ, chỉ có 1 nghiệm S thỏa mãn đề bài. Nên nó cũng chỉ có một nghiệm P thỏa mãn.
Ở đây người ta yêu cầu hệ có nghiệm duy nhất, tức là một cặp số (x; y) duy nhất chứ không phải một tổng x + y duy nhất.

Không liên quan nhiều đến bài này nhưng mà xem một chút nhé:
Chẳng hạn: Ta tìm được:
x + y = 6 là duy nhất (S = const ) nhưng...
có biết bao nhiêu cặp số thỏa mãn điều này? Có tới hàng ngàn, hàng triệu, hàng tỉ số thỏa mãn:
(0; 6); (6; 0); (5; 1); (4; 2); (3; 3)…….(1006; -1000)….
Các cặp số đó có tích khác nhau, do đó, ta cần phải cố định tích của chúng. Chẳng hạn tích của chúng là 5. Vậy bây giờ, có 2 cặp thỏa mãn điều này: (1; 5) và (5; 1)
Vì thế tích của chúng bằng 5 không thể giúp hệ ban đầu có cặp nghiệm duy nhất.
Với tích bằng 9, dễ thấy, chỉ có một nghiệm thỏa mãn đề bài là (x; y) = (3; 3). Vậy tích bằng 9 thỏa mãn yêu cầu.
Vậy thì làm sao bây giờ? Nếu không có một nghiệm S duy nhất thì chắc chắn là không thể có một cặp nghiệm duy nhất rồi !? Chẳng lẽ phải ăn may sao. Phải tìm được S duy nhất, tìm được một P thỏa mãn có nghiệm duy nhất. Đáng tiếc rằng, trên đời, chỉ có được vài ba bài toán hên như thế và có cả đống bài toán không thể làm điều này, cụ thể như bài toán ban đầu…

Nhớ rằng chúng ta bỏ quên mất một điều kiện là: Để tồn tại x, y thỏa mãn x + y = S; xy = P thì $S^2 \geq 4P$
Do đó, chẳng hạn ta tìm được 2 S phân biệt. Từ đó ta dễ dàng có 2 giá trị P.
Nhưng…chỉ có một cặp trong số đó thỏa mãn điều kiện: $S^2 \geq 4P$, cặp còn lại thì không! Đành ngậm ngùi dứt áo ra đi vậy J
Vì vậy, ta vẫn có quyền hi vọng rằng trong 2 cặp số nào đó. Có một cặp (S; P) cho nghiệm duy nhất (x; y) (Khi đó thì x = y) và cặp còn lại không thỏa mãn đề bài!

P/S: Chủ topic, bước thứ 2 kể từ chỗ: Điều kiện để hệ có nghiệm...Tớ đã bỏ đi (làm tắt) một trường hợp đấy

.
Ai bảo vô nghiệm, nên tớ bỏ:
$\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} \geq 0 > -2 - \sqrt{m + 4}$

#446035 Cho $a,b,c\in [1;2]$ .Tìm min của $P=\frac{(a+b...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-08-2013 - 23:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1

Giải

Đặt $x = \dfrac{c}{a + b}$, do $a, b, c \in [1; 2]$ nên suy ra $x \in \left [ \dfrac{1}{4}; 1\right ]$

Khi đó, ta có:

$P =\dfrac{(a + b)^2}{c^2 + 4ab + 4c(a + b)} =\dfrac{1}{\left (\dfrac{c}{a + b} \right )^2 + \dfrac{4ab}{(a + b)^2} + \dfrac{4c}{a + b}}$

$\geq \dfrac{1}{\left (\dfrac{c}{a + b} \right )^2 + 1 + \dfrac{4c}{a + b}} = \dfrac{1}{x^2 + 4x + 1}$

Xét hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 4x + 1}$ trên $\left [ \dfrac{1}{4}; 1\right ]$ có $f'(x) = \dfrac{-2(x + 2)}{(x^2 + 4x + 1)^2} < 0$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left [ \dfrac{1}{4}; 1\right ]$

Vì vậy: $f(x) \geq f(1) = \dfrac{1}{6}$. Do đó: $P \geq \dfrac{1}{6}$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = 1$ và $a = b$. Khi đó: $c = 2$ và $a = b = 1$

#446036 Cho $a,b,c\in [1;2]$ .Tìm min của $P=\frac{(a+b...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-08-2013 - 00:12 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 3

Giải

Từ giả thiết, suy ra: $\left (\dfrac{a}{c} \right )^3 + \left (\dfrac{b}{c} \right )^3 = 1$

Đặt $x = \dfrac{a}{c}; y = \dfrac{b}{c}, t = x + y$. Ta có: $x^3 + y^3 = 1$.

Khi đó: $\left\{\begin{matrix}xy = \dfrac{(x + y)^3 - 1}{3(x + y)} > 0\\t^3 \leq 4(x^3 + y^3) = 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy = \dfrac{t^3 - 1}{3t} > 0\\1 < t \leq \sqrt[3]{4}\end{matrix}\right. $

Ta có:

$P = \dfrac{\left (\dfrac{a}{c} \right )^2 + \left (\dfrac{b}{c} \right )^2 - 1}{\left ( 1 - \dfrac{a}{c}\right )\left ( 1 - \dfrac{b}{c}\right )} = \dfrac{x^2 + y^2 - 1}{(1 - x)(1 - y)}$

$= \dfrac{(x + y)^2 - 2xy - 1}{1 - (x + y) + xy} = \dfrac{t^2 - 2\dfrac{t^3 - 1}{3t} - 1}{1 - t + \dfrac{t^3 - 1}{3t}}$

$= \dfrac{t^3 - 3t + 2}{(t - 1)^3} = \dfrac{t + 2}{t - 1}$

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{t + 2}{t - 1}$ trên $(1; \sqrt[3]{4}]$ có $f'(t) = \dfrac{-3}{(t - 1)^2} < 0$

Vậy, hàm nghịch biến trên $(1; \sqrt[3]{4}]$

Do đó: $P = f(t) \geq f(\sqrt[3]{4}) = \dfrac{\sqrt[3]{4} + 2}{\sqrt[3]{4} - 1}$

Dấu "=" xảy ra khi $t = \sqrt[3]{4}$ và $x = y$. Khi đó: $c = \sqrt[3]{2}a = \sqrt[3]{2}b$

#449477 $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-09-2013 - 21:27 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 2

Giải

ĐK: $x \neq 1$

Phương trình đã cho tương đương:
$$x^3 + \dfrac{x^3}{(x - 1)^3} + \dfrac{3x^2}{x - 1} - 2 = 0$$

Đặt $t = x + \dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{x^2}{x - 1}$

$\Rightarrow t^3 = x^3 + \dfrac{x^3}{(x - 1)^3} + 3\dfrac{x^2}{x - 1 }.t \Rightarrow x^3 + \dfrac{x^3}{(x - 1)^3} = t^3 – 3t^2$

Khi đó, phương trình trở thành: $t^3 - 3t^2 + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 1)^3 = 1 \Leftrightarrow t = 2$

Phương trình ban đầu vô nghiệm.

#449475 $x^{3}+\frac{x^{3}}{(x-1)^{...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-09-2013 - 21:19 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 1 có thể biến đổi như sau:

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$x^2 + \dfrac{(9x)^2}{(x + 9)^2} = 40$

$\Leftrightarrow \left ( x - \dfrac{9x}{x + 9}\right )^2 + 18\dfrac{x^2}{x + 9} = 40$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{(x + 9)^2} + 18\dfrac{x^2}{x + 9} - 40 = 0$

Đặt $t = \dfrac{x^2}{x + 9}$, ta được: $a^2 + 18a - 40 = 0$

#446501 Tìm max của: $ P= (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-08-2013 - 10:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Vì trong 3 số $x - y, y - z, z - x$ luôn có ít nhất 2 số cùng dấu nên không mất tính tổng quát, giả sử: $x - y$ và $y - z$ cùng dấu.

+ Nếu 2 số đó cùng dương, suy ra: $x \geq y \geq z \Rightarrow z - x \leq 0 \Rightarrow P \leq 0$

+ Nếu 2 số đó cùng âm, suy ra: $x \leq y \leq z$

Khi đó, ta viết lại P dưới dạng:

$$P = (y - x)(z - y)(z - x)(x + y + z)$$

Do $x \geq 0$ nên ta có:

$P \leq y(z - y)(z - x)(x + y + z)$

$= \dfrac{1}{2\left (\sqrt{2} + 1\right )^2} \left [(2 + \sqrt{2})y\right].\left [ (\sqrt{2} + 1)(z - y) \right ].\sqrt{2}(z - x)(x + y + z)$

$\leq \dfrac{1}{2\left (\sqrt{2} + 1\right )^2}\left [\dfrac{\left ( 1 - \sqrt{2}\right)x + 2y + \left ( 2 + 2\sqrt{2}\right )z}{4}\right ]^4$

$\leq \dfrac{1}{2\left (\sqrt{2} + 1\right )^2}\left [ \dfrac{y + (1 + \sqrt{2})z}{4}\right ]^2$

$\leq \dfrac{1}{2\left (\sqrt{2} + 1\right )^2}\dfrac{\left [\left [ (\sqrt{2} + 1)^2 + 1^2\right ](y^2 + z^2)\right ]^2}{2^4}$

Do $y^2 + z^2 = 1 - x^2 \leq 1$ nên từ đó suy ra: $P \leq \dfrac{1}{4}$

Vậy: $Max_P = \dfrac{1}{4}$, dấu "=" xảy ra khi: $x = 0, y = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}, z = (\sqrt{2} + 1)y$

#415665 giải hệ phương trinh:$\left\{ \begin{array...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-04-2013 - 21:18 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Em học lớp mấy nhỉ? Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2. Em có thể tham khảo tư liệu trên mạng (khá nhiều) để làm thêm những bài dạng này nhé.

#328835 $sin2x-12(sinx-cosx)+12=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 21:45 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình

$$sin2x-12(sinx-cosx)+12=0$$

Giải

Phương trình tương đương:
$12(\sin{x} - \cos{x}) - 12 - \sin{2x} = 0$

$\Leftrightarrow (\sin^2{x} + \cos^2{x} - \sin{2x}) + 12(\sin{x} - \cos{x}) - 13 = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} - \cos{x})^2 + 12(\sin{x} - \cos{x}) - 13 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} - \cos{x} = 1\\\sin{x} - \cos{x} = - 13\end{array}\right.$

Vì $\sin{x}; \cos{x} \in [-1; 1] \Rightarrow -2 \leq \sin{x} - \cos{x} \leq 2$.

Do đó, ta chọn điều kiện $\sin{x} - \cos{x} = 1$.

Ta có hệ:
$\left\{\begin{array}{l}\sin{x} = \cos{x} + 1\\\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin{x} = \cos{x} + 1\\(\cos{x} + 1)^2 + \cos^2{x} = 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin{x} = \cos{x} + 1\\2\cos{x}(\cos{x} + 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sin{x} = \cos{x} + 1\\\left[\begin{array}{l} \cos{x} = 0\\\cos{x} = - 1\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\cos{x} = 0\\\sin{x} = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\cos{x} = - 1\\\sin{x} = 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \pi + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$

#309604 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TRƯỜNG THPT KỲ LÂM NĂM 2011 - 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-04-2012 - 06:00 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 3. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:
$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

Cô giáo dạy Toán giải cho bọn em theo cách này, mọi người tham khảo nhé.

Giải

Do $f(x) = ax^2 + bx + c \geq 0 \,\forall x$ nên:

$f(-2) = 4a - 2b + c \geq 0$

$\Leftrightarrow a + b + c + 3(a - b) \geq 0 \Leftrightarrow a + b + c \geq 3(b - a) \,\,\,\, (I)$

Ta thấy: a < b, do đó b - a > 0. Chia hai vế của (I) cho (b - a), ta có:

$\dfrac{a + b + c}{b - a} \geq 3 \Rightarrow Min_{M} = 3$

Dấu "=" xảy ra khi $f(- 2) = 0 \Leftrightarrow 4a - 2b + c = 0 \, (a < b) $

#289989 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Chứng minh: $\dfrac{a-1}{a}+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-12-2011 - 21:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c dương sao cho a + b + c = 6 chứng minh:
$\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{b-1}{b}+\dfrac{c-4}{c}\leq \dfrac{1}{3}$

Giải

$\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{b-1}{b}+\dfrac{c-4}{c} \leq \dfrac{1}{3} = 3 - (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{4}{c})$

$\leq 3 - \dfrac{(1 + 1 + 2)^2}{a + b + c} = \dfrac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi :
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{c}\\a + b = c = 6\end{array}\right. \Rightarrow a = b = \dfrac{3}{2}; c = 3$

#328915 $sin2x-12(sinx-cosx)+12=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 25-06-2012 - 07:13 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Cảm ơn mọi người nhiều nghen. Công thức nói trên em cũng đọc rồi nhưng để làm nhanh gọn nên em không để ý. Hì.

#329293 ĐỀ TUYỂN SINH (ko chuyên) thpt CHUYÊN HÀ TĨNH 2012-2013

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-06-2012 - 10:51 trong Tài liệu - Đề thi

3b)Giải phương trình $\sqrt{x+1} + x + 3 = \sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}$

Giải

ĐK: $- 1\leq x \leq 1$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + 1} \geq 0\\b = \sqrt{1 - x} \geq 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{a^2 - b^2}{2}\\1 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow x + 3 = \dfrac{a^2 - b^2}{2} + \dfrac{3(a^2 + b^2)}{2} = 2a^2 + b^2$

Phương trình ban đầu trở thành:
$a + 2a^2 + b^2 = b + 3ab \Leftrightarrow (2a^2 - 3ab + b^2) + a - b = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)(2a - b + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = b\\b = 2a + 1\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} = \sqrt{1 - x}\\\sqrt{1 - x} = 2\sqrt{x + 1} + 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\1 - x = 4(x + 1) + 1 + 4\sqrt{x + 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\-5x - 4 = 4\sqrt{x + 1}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}-5x - 4 \geq 0\\25x^2 + 40x + 16 = 16(x + 1)\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}x \leq \dfrac{- 4}{5}\\x(25x + 24) = 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\\left\{\begin{array}{l}x \leq \dfrac{-4}{5}\\\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{-24}{25}\\x = 0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\x = \dfrac{-24}{25}\end{array}\right.$

#423069 $[Giải hệ phương trình]$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 02-06-2013 - 10:05 trong Đại số

Anh ơi, D là cái gì ?

$D = a_1b_2 - a_2b_1$
$Dx = c_1b_2 - c_2b_1$
$Dy = a_1c_2 - a_2c_1$

#422099 $[Giải hệ phương trình]$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-05-2013 - 22:51 trong Đại số

Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}mx+2my=m+1 \, \, \,(1)& \\ x+(m+1)y=2 \, \, \,(2)& \end{matrix}\right.$

a) Chứng minh rằng : nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì M(x; y) luôn thuộc một đường thẳng cố định

b) Xác định m để M(x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất

c) Xác định m để M(x; y) $\in (O;\sqrt{5})$

Giải

a) Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta có: $(m - 1)x + (m - 1)y = m - 1$

- Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm (mâu thuẫn với giả thiết).

- Nếu $m \neq 1$, chia cả 2 vế cho (m - 1), khi đó nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì M(x; y) thuộc đường thẳng cố định: $x + y = 1$

b) M(x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi $x > 0, y > 0$
Khi đó:

$x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{m - 1}{m} > 0$

$y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{1}{m} > 0$

Suy ra: $m > 1$

c) Vì M(x; y) luôn thuộc d: $x + y = 1$

Do đó, nếu $M \in (O; \sqrt{5})$ thì $M = (O) \cap d$

Tức là tọa độ M thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x + y = 1& \\ x^2 + y^2 = 5& \end{matrix}\right.$

Giải hệ nói trên, sau đó thay vào phương trình ban đầu để tìm m.

P/S: Em tính lại kết quả nhé! Anh không biết là có sai chỗ nào không nữa :))

#286480 [Hỏi]

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-12-2011 - 07:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho:
$\left\{\begin{matrix} mx+y=2m& \\x+my=m+1 & \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên m để hệ phương trình trên có có nghiệm duy nhất với x, y là số nguyên

Giải

* m = 0. Hệ phương trình có nghiệm x = 1; y = 0.
* $m \neq 0$, hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}mx + y = 2m\\mx + m^2y = m(m + 1)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m^2 - 1)y = m(m + 1) - 2m\\x + my = m + 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m - 1)(m + 1)y = m(m - 1)\\x = m + 1 - my\end{array}\right. \,\,\,\,\,\,\,\, (II)$

- Nếu m = 1, hệ (II) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}0y = 0\\x = 2 - y\end{array}\right.$
Hệ có vô số cặp nghiệm nguyên (x; y) = (2 - t; t)

- Nếu $m \neq 1$, hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{m }{m + 1}\\x = m + 1 - m.\dfrac{m }{m + 1} = \dfrac{2m + 1}{m + 1} = 1 + y\end{array}\right.$

Do đó $y \in Z \Rightarrow x \in Z$.
Ta thấy: $y \in Z \Leftrightarrow \dfrac{m}{m + 1} \in Z \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{m + 1} \in Z$

$\Rightarrow m + 1 \in U_{(1)} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} m + 1 = 1\\m + 1 = -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 (Loai)\\m = - 2 (tm)\end{array}\right.$

Nói tóm lại, hệ có nghiệm nguyên khi vào chỉ khi: m = 0; m = 1; m = -2

#423114 $[Giải hệ phương trình]$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 02-06-2013 - 12:35 trong Đại số

Ủa! Em tính chay như thế nào? Tính bằng phương pháp cộng thấy KQ cũng giống vậy mà?

Trang 3 / 22