Giải
Do M thuộc ©: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$Do đó $x_M, y_M \leq 6$.
Ta có:
$MA + 2MB = \sqrt{(x_M - 7)^2 + (y_M - 9)^2} + 2\sqrt{x_M^2 + (y_M - 8)^2}$
$= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(2x_M)^2 + (16 - 2y_M)^2}$
Chỗ này phải viết ngược lại là $= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(16 - 2y_M)^2+(2x_M)^2}$
Áp dụng BĐT Mincopxki và Bunhia côpxki, ta có:
Bất đẳng thức Bunhiakovski thì có thể không chứng minh, chứ Mincopxki (BĐT tam giác) thì phải chứng minh bằng toạ độ (vecto) nhé!
$MA + 2MB \geq \sqrt{(23 - x_M - 2y_M)^2 + (2x_M - y_M + 9)^2}$
$\geq \dfrac{|2.(23 - x_M - 2y_M) + 1. (2x_M - y_M + 9)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$
$= \dfrac{55 - 5y_M}{\sqrt{5}} \geq \dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}$ $\quad$ (chỗ này phải giải thích vì sao $y_M\le 6$, dù là đơn giản)
Vậy $Min_{MA + 2MB} = 5\sqrt{5}$
Dấu "=" xảy ra khi:
$\left\{\begin{matrix} (7 - x_M).2x_M = (9 - y_M)(16 - 2y_M)\\ (x_M - 1)^2 + (y_M - 1)^2 = 25\\ 23 - x_M - 2y_M = 2(2x_M - y_M + 9)\end{matrix}\right.$
(Thiếu điều kiện $y_M=6$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = 1\\y_M = 6\end{matrix}\right.$
Khi đó: $M = (1; 6)$
____________________________
Thêm một bạn nữa "Đại Số hoá" Hình học giải tích! (BĐT hoá)
Điểm bài làm: $d=7$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-37}{2}\right\rfloor+3\times 7=28$