Đến nội dung

Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#377987 [MHS2013] Trận 15 - Phương pháp tọa độ trong mp và giải tam giác

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-12-2012 - 09:18 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Giải

Do M thuộc ©: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$

Do đó $x_M, y_M \leq 6$.

Ta có:
$MA + 2MB = \sqrt{(x_M - 7)^2 + (y_M - 9)^2} + 2\sqrt{x_M^2 + (y_M - 8)^2}$

$= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(2x_M)^2 + (16 - 2y_M)^2}$


Chỗ này phải viết ngược lại là $= \sqrt{(7 - x_M)^2 + (9 - y_M)^2} + \sqrt{(16 - 2y_M)^2+(2x_M)^2}$

Áp dụng BĐT Mincopxki và Bunhia côpxki, ta có:

Bất đẳng thức Bunhiakovski thì có thể không chứng minh, chứ Mincopxki (BĐT tam giác) thì phải chứng minh bằng toạ độ (vecto) nhé!

$MA + 2MB \geq \sqrt{(23 - x_M - 2y_M)^2 + (2x_M - y_M + 9)^2}$

$\geq \dfrac{|2.(23 - x_M - 2y_M) + 1. (2x_M - y_M + 9)|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$

$= \dfrac{55 - 5y_M}{\sqrt{5}} \geq \dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}$
$\quad$ (chỗ này phải giải thích vì sao $y_M\le 6$, dù là đơn giản)

Vậy $Min_{MA + 2MB} = 5\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} (7 - x_M).2x_M = (9 - y_M)(16 - 2y_M)\\ (x_M - 1)^2 + (y_M - 1)^2 = 25\\ 23 - x_M - 2y_M = 2(2x_M - y_M + 9)\end{matrix}\right.$

(Thiếu điều kiện $y_M=6$)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_M = 1\\y_M = 6\end{matrix}\right.$

Khi đó: $M = (1; 6)$

____________________________
Thêm một bạn nữa "Đại Số hoá" Hình học giải tích! (BĐT hoá)
Điểm bài làm: $d=7$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-37}{2}\right\rfloor+3\times 7=28$



#434699 $\large \sum \frac{a^{4}}{b+3c...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-07-2013 - 11:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

Hình như cách của cậu badboykmhd123456 là đúng chứ nhỉ?

Đoạn bôi đỏ viết ra là:

Do $3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \Rightarrow \dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{4(a + b + c)} \geq \dfrac{(a + b + c)^4}{36(a + b + c)} = \dfrac{(a + b + c)^3}{36}$

Chưa đụng chạm đến vấn đề $a + b + c \geq 3$




#313655 [Treo thưởng] \[\frac{{3+\sqrt x}}{{{x^2}+x\sqrt x+x+3}}+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 01-05-2012 - 11:12 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]

Giải

ĐK: $x \geq 0$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + 1) + (\frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} + 1) = \dfrac{25}{3}$

$\Leftrightarrow (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6).[\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3}] = \dfrac{25}{3} \,\,\, (2)$

Do $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3} \geq \dfrac{25}{3x^2 + 3x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 18} = \dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)}$

Do đó:
$VT_{(2)} \geq (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)\dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)} = \dfrac{25}{3} = VF_{(2)} $

Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$x^2 + x\sqrt{x} + x + 3 = x^2 + x\sqrt{x} + 4 = x^2 + \sqrt{x} + 4 = x + \sqrt{x} + 4 = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất: x = 1



#335326 Giải các pt, hệ pt: 2.$\sqrt{2x^{2}+9}+\sq...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-07-2012 - 20:19 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình:
$\sqrt{x + 1} + 6\sqrt{9 - x^2} + 6\sqrt{(x + 1)(9 - x^2)} = 38 + 10x - 2x^2 - x^3$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}x \geq - 1\\9 - x^2 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -1\\-3 \leq x \leq 3\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 3$


Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + 1} \geq 0\\b = \sqrt{9 - x^2} \geq 0\end{array}\right.$

Ta sẽ biểu diễn VF phương trình ban đầu theo a và b. Ta có:
$38 + 10x - 2x^2 - x^3 = (9x - x^3 + 9 - x^2) + 9 - x^2 + x + 1 + 19$

$= (9 - x^2)(x + 1) + (9 - x^2) + (x + 1) + 19 = a^2b^2 + b^2 + a^2 + 19$


Từ đó suy ra, PT ban đầu tương đương:
$a + 6b + 6ab = a^2b^2 + b^2 + a^2 + 19$

$\Leftrightarrow (a^2b^2 - 6ab + 9) + (a^2 - a + \dfrac{1}{4}) + (b^2 - 6b + 9) + \dfrac{3}{4} = 0$

$\Leftrightarrow (ab - 3)^2 + (a - \dfrac{1}{2})^2 + (b - 3)^2 + \dfrac{3}{4} = 0$

Phương trình nói trên vô nghiệm. Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.



#352182 $\tan x+\cos x-\cos ^{2}x=\sin x\left...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2012 - 22:14 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải

ĐK:
$\cos{x} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$


Phương trình tương đương:
$\cos{2x} + \cos{x}\dfrac{2\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 2$

$\Leftrightarrow \cos{x}\cos{2x} + 2\sin^2{x} - \cos^2{x} = 2\cos{x}$

$\Leftrightarrow \cos{x}\cos{2x} + \cos{2x} + 3\sin^2{x} - 2\cos^2{x} = 2\cos{x}$

$\Leftrightarrow \cos{2x}(\cos{x} + 1) - 5\cos^2{x} - 2\cos{x} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + 1)(\cos{2x} - 5\cos{x} + 3) = 0 \Leftrightarrow (\cos{x} + 1)(2\cos^2{x} - 5\cos{x} + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + 1)(2\cos{x} - 1)(\cos{x} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos{x} = -1\\\cos{x} = \dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \pi + 2k\pi\\x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$



2, Ta có:
$\cos{4x} = 2\cos^2{2x} - 1 = 2(2\cos^2{x} - 1)^2 - 1 = 8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1$


Phương trình tương đương:
$3(8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1) - 8\cos^6{x} + 2\cos^2{x} + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 4\cos^6{x} - 12\cos^4{x} + 11\cos^2{x} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow (\cos^2{x} - 1)(2\cos^2{x} - 1)(2\cos^2{x} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow -\sin^2{x}.\cos{2x}(\cos{2x} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin{x} = 0 \\\cos{2x} = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = k\pi\\x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\end{array}\right.\,\, (k \in Z)$



#329872 GHPT: 1.$\left\{\begin{matrix} x^{3}y-y^{4}=28 &...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2012 - 08:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

6. $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=18 & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4 & \end{matrix}\right.$

Giải

ĐK: $x, y, z \geq 0$
Ta có:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=4 \Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 = 16$

$\Leftrightarrow x + y + z + 2(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}) = 16$

$\Rightarrow \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 5 \,\, (1)$


Ta lại có:
$x + y + z = 6 \Leftrightarrow (x + y + z)^2 = 36$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 36$

$\Rightarrow xy + yz + zx = 9 $


Bình phương 2 vế của (1), ta được:
$(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2 = 25$

$\Leftrightarrow xy + yz + zx + 2\sqrt{xyz}(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}) = 25$

$\Rightarrow 9 + 2.\sqrt{xyz}.4 = 25 \Leftrightarrow xyz = 4 \,\, (2)$

Dễ thấy, $x, y, z \neq 0$. Với ĐK này, từ (2) suy ra:
$$xy = \dfrac{4}{z}$$


Ta thấy: $x + y + z = 6 \Leftrightarrow x + y = 6 - z$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\x^2 + y^2 + 2xy = 36 - 12z + z^2\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\18 - z^2 + 2.\dfrac{4}{z} = z^2 - 12z + 36\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\z^3 - 6z^2 + 9z - 4 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}z \leq 6\\(z - 1)^2(z - 4) = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} z = 1\\z = 4\end{array}\right.$


Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x = 1\\x = 4\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l} y = 1\\y = 4\end{array}\right.\end{array}\right.$


Lần lượt lựa chọn các nghiệm của PT. Nếu 1 ẩn có giá trị bằng 4 thì các ẩn còn lại có giá trị là 1. Suy ra, hệ có các nghiệm:
$(x; y; z) = (4; 1; 1); (1; 4; 1) = (1; 1; 4)$



#366996 Thảo luận: Các bài toán thi Violympic THCS

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-11-2012 - 11:33 trong Các dạng toán khác

Tam giác ABC cân tại A nên 2 góc còn lại ($\widehat{BCA}$ và $\widehat{ABC} $) luôn nhỏ hơn 90 độ rồi chứ nhỉ!



#330265 Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2012 - 16:29 trong Tài liệu - Đề thi

Không hiểu sao khi mình nhấn sửa ở bài viết phía trên thì mấy dấu $\geq $ đều trở thành #6... gì vậy nhỉ. Thông cúm cho tớ nghen!
Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m, n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013$

@minhtuyb: Với m + n chẵn, ta đâu thể khẳng định được rằng: $1 + (- 1)^{m + n} = 0$


Giải

Ta có thể đánh giá như sau:

Dễ thấy: $m > n \geq 0$ vì nếu $m \leq n$ thì $VT \leq 0 \neq VF$


- Với m, n khác tính chẵn, lẻ. Khi đó m + n lẻ, suy ra:
$$1 + (-1)^{m + n} = 1 - 1 = 0$$
Khi đó, $VT = 0 \neq 2013 = VF$.

- Với m, n cùng tính chẵn lẻ. Khi đó:
$m + n; m - n \, \vdots \, 2$ và $1 + (- 1)^{m + n} = 2$

Suy ra: $\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}] \, \vdots \, 2 $
Mà: $2003 \not \vdots \, 2$
Vì thế, $VT \neq VF$

Nói tóm lại, không tồn tại các số tự nhiên m, n thỏa mãn đề bài.



#281120 Phân thức 8

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 01-11-2011 - 22:52 trong Đại số

1) Cho: $ax+by=c, bx+cy=a, cx+ay=b$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Giải






Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ở trên, ta được:
$(ax + by) + (bx + cy) + (cx + ay) = a + b + c$

$\Leftrightarrow x( a + b + c ) + y(a + b + c) = a + b + c $

$\Leftrightarrow (a + b + c)(x + y - 1 ) = 0$

- Nếu a + b + c = 0

$\Leftrightarrow a + b = -c \Leftrightarrow (a + b)^3 = -c^3$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = -c^3 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = -3ab.(-c) = 3abc$

Suy ra điều phải chứng minh.

- Nếu x = 1 - y, thế vào phương trình thứ nhất, ta được: $a(1 - y) + by = c$

$\Leftrightarrow y.(b - a) = c - a (1)$
Tương tự sẽ có: $y.(c - b) = a - b (2); y.(a - c) = b - c (3)$

+ Nếu a = b = c; suy ra: $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

+ Nếu a, b, c đôi một khác nhau thì nhân (1); (2); (3) vế theo vế, ta sẽ tính được : y = - 1. Khi đó x = 2. Từ đó suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}2a - b = c \\2b - c = a\\2c - a = b \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{b + c}{2}\\a = 2c - b\end{array}\right. $

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{b + c}{2} = 2c - b\\a = \dfrac{b + c}{2}\end{array}\right. \Rightarrow a = b = c \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

Nói tóm lại là với:
$ax+by=c$, $bx+cy=a$, $cx+ay=b$
Thì $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$



#431719 $\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2013 - 23:36 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

@Kb1212: Vì hữu hạn nên làm sao giải theo Juliel được nhỉ!

Ý tưởng:
ĐK: $x \geq 0$ 

- Nếu $\sqrt{3x} > x$ thì:
$VT = \sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x + ... + 2\sqrt{x + 2\sqrt{3x}}}}}$

$> \sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x + ... + 2\sqrt{x + 2x}}}}$

 

$> ... > \sqrt{x + 2\sqrt{3x}} > \sqrt{x + 2x} = \sqrt{3x}$
Do đó: $VF = x > \sqrt{3x}$. Điều này mâu thuẫn với giả sử. 

 

- Hoàn toàn tương tự nếu $\sqrt{3x} < x$.

 

- Vì vậy, ta phải có: $x = \sqrt{3x} \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$

@etucnaohtn: x đâu cần nguyên dương nhỉ, mảy may $x = \sqrt{3}$ thì cũng đâu có sai? Chỉ cần x không âm là được mà. 




#330259 Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2012 - 16:15 trong Tài liệu - Đề thi

Câu 8.(1,5) Cho x,y là hai số dương thỏa: $x^3+y^3=x-y$.CM $x^2+y^2<1$

Giải

Do x, y dương nên $x^3 + y^3 > 0 \Rightarrow x > y$

Ta có: $x^3+y^3=x-y \Rightarrow \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} = 1$

Do đó, để CM $x^2+y^2<1$, ta chỉ cần CM $x^2 + y^2 < \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} \,\, (1)$

Ta thấy:
$(1) \Leftrightarrow (x^2 + y^2)(x - y) < x^3 + y^3$

$\Leftrightarrow x^3 - x^2y + y^2x - y^3 < x^3 + y^3$

$\Leftrightarrow 2y^3 + x^2y - y^2x > 0 \Leftrightarrow y(2y^2 - xy + x^2) > 0$


$\Leftrightarrow y[(x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{7y^2}{4}] > 0 $

BĐT trên luôn đúng với x, y > 0.



#287660 $x^{3}-3x^{2}-8x +40 -8\sqrt[4]{4x+4} =0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-12-2011 - 08:48 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 3:
Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x = 0\\xy + y^2 +3y +1 = 0\end{array}\right.$$

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$$\left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x= 0\\2xy + 2y^2 +6y +2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x + 2xy + 2y^2 +6y +2 = 0\\xy + y^2 +3y +1 = 0\end{array}\right.$$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x^2 + 4xy + 4y^2) + (3x + 6y) + 2 = 0\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + 2y)^2 + 3(x + 2y) + 2 = 0\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x + 2y = -1\\x + 2y = -2\end{array}\right.\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right. $


Đến đây thì chắc là Hà làm được rồi nhỉ. Dạo này, mình thường hay mắc lỗi sai ở những chỗ không đáng như giải hệ đẳng cấp hay phương trình bậc hai có chứa căn. Thiệt tình!!!



#431451 $\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 28-06-2013 - 23:21 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Hình như thiếu 1 vế :\




#310436 Giải các HPT sau:$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}-y=0...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-04-2012 - 22:15 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 3.
Phương trình ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^{3}y(1+y)+x^{2}y^{2}(y+2)+xy^{3}=30\\x^{2}y+x(1+y+y^{2})+y-11=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}xy[x^2(1 + y) + xy(y + 2) + y^2 ] = 30\\x^2y + x + xy + xy^2 + y = 11\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}xy[(x^2 + 2xy + y^2) + x^2y + xy^2] = 30\\(x^2y + xy^2) + (x + xy + y) = 11\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}xy(x + y)(xy + x + y) = 30\\xy(x + y) + (x + y + xy) = 11\end{array}\right. \,\,\,\,\, (I)$
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}S = xy + x + y\\P = xy(x + y)\end{array}\right. \,\,\, (S^2 \geq 4P)$. Phương trình (I) trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}S.P = 30\\S + P = 11\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}S = 5\\P = 6\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}S = 6\\P = 5\end{array}\right.\end{array}\right.$

* Với $\left\{\begin{array}{l}S = 5\\P = 6\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy + x + y = 5\\xy(x + y) = 6\end{array}\right.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}S' = x + y\\P' = xy\end{array}\right. \,\,\,\, (S'^2 \geq 4P')$
Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}S' + P' = 5\\S'.P' = 6\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}S' = 2\\P' = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}S' = 3\\P' = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện: $S'^2 \geq 4P'$, ta chọn cặp: $(S'; P') = (3; 2)$:
$\left\{\begin{array}{l}S' = 3\\P' = 2\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

* Với $\left\{\begin{array}{l}S = 6\\P = 5\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy + x + y = 6\\xy(x + y) = 5\end{array}\right.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}S' = x + y\\P' = xy\end{array}\right. \,\,\,\, (S'^2 \geq 4P')$
Ta có:
$\left\{\begin{array}{l}S' + P' = 6\\S'.P' = 5\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}S' = 5\\P' = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}S' = 1\\P' = 5\end{array}\right.\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện: $S'^2 \geq 4P'$, ta chọn cặp: $(S'; P') = (5; 1)$:
$\left\{\begin{array}{l}S' = 5\\P' = 1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 1\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ x, y là nghiệm của phương trình:
$X^2 - 5X + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}\\X = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}\\y = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\\y = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$



#310462 Giải các HPT sau:$\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^{2}-y=0...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-04-2012 - 23:00 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 4.
$\left\{\begin{array}{l}2+6y+\sqrt{x-2y}=\frac{x}{y}\,\,\,\, (1)\\\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2 \,\,\,\, (2)\end{array}\right.$
Giải
ĐK: $\left\{\begin{array}{l}y \neq 0\\x \geq 2y\\ x \geq - \sqrt{x - 2y}\end{array}\right.$
Ta có:
$2+6y+\sqrt{x-2y}=\frac{x}{y} \Leftrightarrow 2y + 6y^2 + y\sqrt{x - 2y} = x$


$\Leftrightarrow (x - 2y) - y\sqrt{x - 2y} - 6y^2 = 0 \Rightarrow \dfrac{x - 2y}{y^2} - \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y} - 6 = 0 \,\,\,\, (1)$

Đặt $T = \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y}$, (1) trở thành:
$T^2 - T - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} T = 3\\T = - 2\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y}= 3\\\dfrac{\sqrt{x - 2y}}{y} = -2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x - 2y} = -2y\end{array}\right.$

- Với $\sqrt{x - 2y} = -2y \,\, (y \leq 0)$, ta có PT (2) trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = -2y \\\sqrt{x - 2y} = x + 3y - 2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = -2y \\-2y = x + 3y - 2 \end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2 - 7y} = -2y\\x = 2 - 5y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4y^2 + 7y - 2 = 0\\y \leq 0\\x = 2 - 5y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} y = -2\\y = \dfrac{1}{4}\end{array}\right.\\y \leq 0\\x = 2 - 5y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = -2\\x = 12\end{array}\right.$
- Với $\sqrt{x - 2y} = 3y \,\, (y \geq 0)$, PT (2) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x + 3y} = x + 3y - 2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{x + 3y} = - 1\\\sqrt{x + 3y} = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x - 2y} = 3y\\\sqrt{x + 3y} = 2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{4 - 5y} = 3y\\x = 4 - 3y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}9y^2 + 5y - 4 = 0 \\y \geq 0\\x = 4 - 3y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} y = \dfrac{4}{9}\\y = -1\end{array}\right.\\y \geq 0\\x = 4 - 3y\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{4}{9}\\x = 4 - 3y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{4}{9}\\x = \dfrac{8}{3}\end{array}\right.$



#338744 $x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 21-07-2012 - 23:34 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

2. $x^4+\frac{2}{x^4}+14x^2=389$

Giải

ĐK: $x \neq 0$
Đặt a = 14. Ta viết lại phương trình trên dưới dạng phương trình ẩn a tham số x:
$x^4 + \dfrac{2}{x^4} + ax^2 = 2a^2 - 3$

$\Leftrightarrow 2a^2 - ax^2 - (x^4 + \dfrac{2}{x^4} + 3) = 0 \,\, (2)$


Phương trình trên có biệt thức:
$\Delta_{(x)} = (x^2)^2 + 8(x^4 + \dfrac{2}{x^4} + 3) = 9x^4 + \dfrac{16}{x^4} + 24$


$= \dfrac{9x^8 + 24x^4 + 16}{x^4} = (\dfrac{3x^4 + 4}{x^2})^2$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta_{(x)}} = \dfrac{3x^4 + 4}{x^2}$

Phương trình (2) có 2 nghiệm:
$\left[\begin{array}{l} a = \dfrac{x^2 + \dfrac{3x^4 + 4}{x^2}}{4}\\a = \dfrac{x^2 - \dfrac{3x^4 + 4}{x^2}}{4}\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} 14 = \dfrac{x^2 + \dfrac{3x^4 + 4}{x^2}}{4}\\14 = \dfrac{x^2 - \dfrac{3x^4 + 4}{x^2}}{4}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^4 - 14x^2 + 1 = 0\\x^4 + 28x^2 + 2 = 0 \,\, (VN)\end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{3}\\x = 2 - \sqrt{3}\\x = - (2 + \sqrt{3})\\x = \sqrt{3} - 2\end{array}\right.$



#316260 $thu gọn: S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\fr...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-05-2012 - 21:29 trong Đại số

Bài 4. Cho a, b là hai số thực sao cho $a^{3}+b^{3}=2$. Chứng minh $0< a+b\leq 2$

Giải

Ta có:
$a^3 + b^3 = 2 \Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2$


Do $a^2 - ab + b^2 = (a - \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3b^2}{4} \geq 0$
Do đó, để $a^3 + b^3 = 2$ thì $a + b > 0$
Mặt khác, ta có:
$2 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = (a + b)[(a + b)^2 - 3ab]$

$ \geq (a + b)[(a + b)^2 - 3.\dfrac{(a + b)^2}{4}] = \dfrac{(a + b)^3}{4}$
(do $ab \leq \dfrac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow -3ab \geq -\dfrac{3(a + b)^2}{4}$)

$\Rightarrow a + b \leq \sqrt[3]{2.4} = 2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = 1$


Vì vậy, ta luôn có: $0 < a + b \leq 2$

P/S: Không ham hố gì chuyện Like hay Không Like nhưng mà cái post kia dài quá, nó chạy hơi lâu nên mình chuyển sang bài mới vậy! ^^



#443818 $(x^{2} - 4x)^{2}-3x^{2}+12x+m=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-08-2013 - 10:08 trong Các dạng toán khác

Bài 1
Giải
Đặt $t = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \geq - 4$
Phương trình ban đầu trở thành: $t^2 - 3t + m = 0 \, (\star)$
Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình $(\star)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn - 4.
Tức là:
$\left\{\begin{matrix}\Delta = (-3)^2 - 4m > 0\\S = t_1 + t_2 = 3 > - 8 \, (TM) \\(t_1 + 4)(t_2 + 4) > 0\end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9 - 4m > 0\\t_1t_2 + 4(t_1 + t_2) + 16 > 0\end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m < \dfrac{9}{4}\\m + 28 > 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow -28 < m < \dfrac{9}{4} $



#316242 $thu gọn: S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\fr...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-05-2012 - 20:31 trong Đại số

Bài 1. Thu gọn:
$S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$


Giải

ĐK: $a \neq b \neq c$
Ta có:
$S=\frac{- a}{(a-b)(c - a)}+\frac{- b}{(b-c)(a - b)}+\frac{- c}{(c-a)(b - c)}$

$S=\frac{-a(b - c) - b(c - a) - c(a - b)}{(a - b)(b - c)(c - a)} = 0$

Bài 3.
a, Cho a,b là hai số thực thỏa 5a + b = 22. Biết phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó.



Giải

Phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi:
$\Delta = a^2 - 4b = k^2 (k \in Z)$

$\Leftrightarrow a^2 - 4(22 - 5a) = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10)^2 - 188 = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10 + k)(a + 10 - k ) = 188 = 188.1 = (-188).(-1) = 94.2 = (-94)(-2) = 47.4 = (-47).(-4)$

Ta thấy:
$a + 10 - k + a + 10 + k = 2a + 20 \, \vdots \, 2$
Do đó:
$a + 10 + k$ và $a + 10 - k$ luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó, ta xét 4 TH:

$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 94\\a + 10 - k = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 2\\a + 10 - k = 94\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -94\\a + 10 - k = -2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -2\\a + 10 + k = -94\end{array}\right.\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = -46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\end{array}\right.$

Với $a = 38 \Rightarrow b = -168$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 4\\x = -42\end{array}\right.$
Với $a = - 58 \Rightarrow b = 312$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 52\\x = 6\end{array}\right.$



#423952 Giải phương trình: $3x^4-6x^3+9x^2-10x+4=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-06-2013 - 22:53 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Phương trình bậc 3 nếu không có nghiệm nguyên thì bạn đưa về dạng a3=b3 là có thể giải được ngay mà :P

 

Ra là $x-2=x\sqrt[3]{5} \rightarrow x(1-\sqrt[3]{5})=2 \rightarrow x=\frac{2}{1-\sqrt[3]{5}}$

Ở trên bài giải của bạn type thiếu rồi kia kìa :D :P

 

Xong rồi nhá!!  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

Í cậu ơi! Hình như là $x = \dfrac{2}{1 + \sqrt[3]{5}}$ chứ nhỉ?




#423942 Giải phương trình: $3x^4-6x^3+9x^2-10x+4=0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-06-2013 - 22:33 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$(x - 1)(3x^3 - 3x^2 + 6x - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $3x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$

 

Nhận thấy:     
$3x^3 - 3x^2 + 6x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow 6x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)^3 = - 5x^3$

$\Leftrightarrow x - 2 = - \sqrt[3]{5}x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{1 + \sqrt[3]{5}}$




#447665 $\frac{a}{2c^{2}+1}+\frac{b}{2a^{2}+1}+\frac{c}{2b^{2}+1}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2013 - 10:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giải

Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$ với x, y, z > 0

Ta cần chứng minh:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2} \geq 1$

Theo BĐT Schwarz:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2}$ 

 

$= \dfrac{x^4}{2xyz^2 + x^3y} + \dfrac{y^4}{2yzx^2 + y^3z} + \dfrac{z^4}{2xzy^2 + z^3x}$

$\geq \dfrac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{2xyz(x + y + z) + x^3y + y^3z + z^3x}$

 

Ta chứng minh được:
$(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq (xy + yz + zx)^2 \geq 3xyz(x + y + z) \, (1)$

Và $(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq 3(x^3y + y^3z + z^3x) \,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$

Phần chứng minh (1) thì là BĐT cơ bản rồi.

BĐT (2) tương đương:
$2(x^2 + y^2 + z^2)^2 \geq 6(x^3y + y^3z + z^3x)$

$\Leftrightarrow (x^2 – 2xy + yz + zx – z^2)^2 + (y^2 – 2yz + xz + xy – x^2)^2 + (z^2 – 2zx + xy + yz – y^2)^2 \geq 0$

BĐT trên luôn đúng.

Chứng minh được 2 BĐT nói trên, từ đó suy ra: $P \geq 1$




#447846 Bất đẳng thức

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2013 - 21:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1.

Giải

Ta có:

$\tan{A} = -\tan{\left ( B + C\right )} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1}$ 

 

$\Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$

Do tam giác ABC nhọn nên:

$\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} = 3\sqrt{tan{A} + \tan{B} + \tan{C}}$
$\Leftrightarrow (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^2 \geq 27 \Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt{3}$

 

 




#317402 Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-05-2012 - 20:47 trong Đại số

Bạn có thể trình bày được chứ, theo mình thì như vậy là OK rồi ? :icon6:



Với một S duy nhất, một P duy nhất. Ta luôn có thể có 2 nghiệm khác nhau thỏa mãn phương trình:

$X^2 - SX + P = 0$

Do ở đây, vai trò của x và y như nhau nên trường hợp mà bạn xét không đủ dữ kiện để nói rằng, hệ có nghiệm duy nhất!

Bạn thử lại xem... Với $S = -1; P = \dfrac{-3}{2}$

Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt :)



#317394 Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 17-05-2012 - 20:39 trong Đại số

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

Giải

Đây là hệ đối xứng loại 1.
Do đó, nếu phương trình có một nghiệm $(x_0; y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(y_0; x_0)$.
Vì vậy, hệ nói trên có nghiệm thực duy nhất khi $x = y$

Khi đó, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}3x^2 = m + 6\\x^2 + 4x = m\end{array}\right.$


Điều kiện để hệ nói trên có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}m + 6 \geq 0\\2^2 + m \geq 0\\\pm\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 \pm \sqrt{m + 4}\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 - \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + 2= \sqrt{m + 4}\\2 = \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + \sqrt{m + 4}\\\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = 2 + \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} 2\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = \dfrac{m - 3}{3} \,\,\, (1)\\-\dfrac{2m + 3}{3} = \sqrt{\dfrac{(m + 6)(m + 4)}{3}} \,\,\, (2)\\-\dfrac{m + 9}{3} = 2\sqrt{m + 4} \,\,\, (3)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq 3\\m^2 - 18m - 63 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow m = 21$

$(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \leq \dfrac{-3}{2}\\m^2 - 18m - 63 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow m = -3$

$(3)$ vô nghiệm do $\forall \, m\geq - 4 \Rightarrow \dfrac{-m - 9}{3} < 0 \leq 2\sqrt{m + 4}$

Vậy $\left[\begin{array}{l} m = - 3\\m = 21\end{array}\right.$

* Với m = -3, hệ ban đầu tương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 3\\2x + xy + 2y = -3\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) = 0\\x^2 + xy + y^2 = 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x = - y\\x = -y - 2\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào hệ ban đầu, ta thấy không thỏa mãn có nghiệm thực duy nhất.

* Với m = 21, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27\\2x + 2y + xy = 21\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) - 48 = 0\\x^2 + xy + y^2 = 27\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27 \\\left[\begin{array}{l}x = -y - 8\\x = 6 - y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào, giải ra, ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 3.
Vậy với m = 21, hệ có nghiệm duy nhất!