1. Giải phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^3 - y^2 - y = \dfrac{1}{3}\\y^3 - z^2 - z = \dfrac{1}{3}\\z^3 - x^2 - x = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$

Giải

Hệ phương trình tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^3 = y^2 + y + \dfrac{1}{3}\\y^3 = z^2 + z + \dfrac{1}{3}\\z^3 = x^2 + x + \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$

Ta luôn có:
$y^2 + y + \dfrac{1}{3} = (y + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{12} > 0$

$\Rightarrow x^3 > 0 \Leftrightarrow x > 0$

Tương tự, ta cũng có: $y, z > 0$
Không mất tính tổng quát, giả sử:
$$x = Max(x; y; z) $$
$\Rightarrow x \geq z \Leftrightarrow x^3 \geq z^3$

$\Rightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{3} \geq x^2 + x + \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow (y - x)(y + x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow y \geq x $ (*)
(Do $x; y \geq 0 \Rightarrow x + y + 1 > 0$)

Do $x = max(x; y; z)$ nên $x \geq y$ nhưng từ (*), ta lại có: $y \geq x$

Suy ra: $x = y$. Chứng minh tương tự, ta nhận được:
$$y = z; z = x$$.
Vì vậy, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x = y = z\\x^3 = x^2 + x + \dfrac{1}{3}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\3x^3 = 3x^2 + 3x + 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\4x^3 = (x + 1)^3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\\sqrt[3]{4}x = x + 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y = z\\x(\sqrt[3]{4} - 1) = 1\end{array}\right. \Rightarrow x = y = z = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4} - 1}$

Giải bất phương trình:
$$3\sqrt{3-x}+30+8x>6\sqrt{9-x^{2}}+9\sqrt{3+x}$$

Giải

ĐK: $-3 \leq x \leq 3$
Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{3 - x} \geq 0\\b = \sqrt{3 + x} \geq 0\end{array}\right.$
Bất phương trình trở thành:
$3a + a^2 + 9b^2 > 6ab + 9b$

$\Leftrightarrow (a - 3b)^2 + 3(a - 3b) > 0$

$\Leftrightarrow (a - 3b)(a - 3b + 3) > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a > 3b\\a < 3b - 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{3 - x} > 3 \sqrt{3 + x} \,\,\,\, (1)\\\sqrt{3 - x} + 3 < 3\sqrt{3 + x}\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow 3 - x > 9(3 + x) \Leftrightarrow -10x > 24 $

$\Leftrightarrow x <\dfrac{-24}{10}$
Kết hợp với điều kiện, ta được: $-3 \leq x < \dfrac{-24}{10}$

Lại có:
$(2) \Leftrightarrow 3 - x + 9 + 6\sqrt{3 - x} < 9(3 + x)$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{3 - x} < 15 + 10x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\36(3 - x) < 225 + 300x + 100x^2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\100x^2 + 336x + 117 > 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\\left[\begin{array}{l} x > \dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}\\x < \dfrac{-84 - 9\sqrt{51}}{50}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x > \dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}$

Kết hợp với điều kiện, ta được: $\dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50} < x \leq 3$

Vậy tập nghiệm của BPT là:
$T = [-3; \dfrac{-24}{10}) \cup (\dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}; 3]$

Do ABC là tam giác nhọn, do đó, ta luôn có:
$\cos{A}, \cos{B}, \cos{C} > 0$

Theo đề bài, ta có:
$\dfrac{1}{3}(\cos{3A} + \cos{3B}) - \dfrac{1}{2}( \cos{2A}+ \cos{2B}) + \cos{A} + \cos{B}= \dfrac{5}{6}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}(4\cos^3{A} - 3\cos{A} + 4 \cos^3{B} - 3\cos{B}) - \dfrac{1}{2}(2\cos^2{A} + 2\cos^2{B}) + \cos{A} + \cos{B} = \dfrac{5}{6}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}(\cos^3{A} + \cos^3{B}) - (\cos^2{A} + \cos^2{B}) = \dfrac{- 1}{6}$

$\Leftrightarrow 8(\cos^3{A} + \cos^3{B}) + 1 = 6(\cos^2{A}+ \cos^2{B})$

Do $\cos{A}; \cos{B} > 0$, áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$4\cos^3{A} + 4\cos^3{A}+ \dfrac{1}{2} \geq 3\sqrt{8\cos^6{A}} = 6\cos^2{A}$

Tương tự:
$4\cos^3{B} + 4\cos^3{B} + \dfrac{1}{2} \geq 6\cos^2{B}$

Cộng vế theo vế 2 BĐT nói trên, ta có:
$VT = 8(\cos^3{A} + \cos^3{B}) + 1 \geq 6(\cos^2{A} + \cos^2{B}) = VF$

Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$4\cos^3{A} = \dfrac{1}{2} = 4\cos^3{B}$

$\Rightarrow \cos{A} = \cos{B} = \dfrac{1}{2}$
Khi đó, hai góc A, B có số đo là 60 độ. Suy ra, tam giác ABC đều.

3. $(x^2 - 6x + 11)\sqrt{x^2 - x + 1} = 2(x^2 - 4x + 7)\sqrt{x - 2} \,\, (3)$

Giải

ĐK: $x \geq 2$
Phương trình (3) tương đương:
$(x^2 - x + 1 - 5x + 10)\sqrt{x^2 - x + 1} = 2(x^2 - x + 1 - 3x + 6)\sqrt{x - 2}$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x^2 - x + 1} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\b = \sqrt{x - 2} \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình ban đầu trở thành:
$(a^2 - 5b^2).a = 2(a^2 - 3b^2)b$

$\Leftrightarrow a^3 - 2a^2b - 5ab^2 + 6b^3 = 0$

$\Leftrightarrow 6.(\dfrac{b}{a})^3 - 5(\dfrac{b}{a})^2 - 2 \dfrac{b}{a} + 1 = 0 \,\,\,\, (a \neq 0)$

$\Leftrightarrow (\dfrac{b}{a} - 1)(2\dfrac{b}{a} + 1)(3\dfrac{b}{a} - 1) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{b}{a} = 1\\\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$

Do $a > 0; b \geq 0 \Rightarrow \dfrac{b}{a} \geq 0$
Do đó, ta chỉ nhận 2 giá trị:
$\left[\begin{array}{l}\dfrac{b}{a} = 1\\\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.$

- Với $\dfrac{b}{a} = 1 \Leftrightarrow a = b$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{x - 2} \Leftrightarrow x^2 - 2x + 3 =0$
Phương trình trên vô nghiệm.
- Với $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow a = 3b$

$\Rightarrow \sqrt{x^2 - x + 1} = 3\sqrt{x - 2}$

$\Leftrightarrow x^2 - 10x + 19 = 0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 5 + \sqrt{6}\\x = 5 - \sqrt{6}\end{array}\right.$

Hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Do đó, phương trình ban đầu có tập nghiệm:
$$S = (5 - \sqrt{6}; 5 + \sqrt{6})$$

1.$(x^{2}+x+1)^{2}-7(x-1)^{2}=13(x^{3}-1)$
5.$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2$

Giải

1.
Phương trình ban đầu tương đương:
$(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1) \,\,\, (2)$

Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}a = x^2 + x + 1 \geq \dfrac{3}{4} \\y = x - 1\end{array}\right.$
Phương trình (2) trở thành:
$a^2 - 7b^2 = 13ab$

$\Leftrightarrow 7\dfrac{b^2}{a^2} + 13\dfrac{b}{a} - 1 = 0$

$\Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{-13 \pm \sqrt{197}}{14}$

- Với $\dfrac{b}{a} = \dfrac{-13 + \sqrt{197}}{14}$

$\Leftrightarrow 14b = (- 13 + \sqrt{197})a$

$\Rightarrow 14(x - 1) = (-13 + \sqrt{197})(x^2 + x + 1)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{197} - 13)x^2 + (\sqrt{197} - 27)x + 1 + \sqrt{197} = 0$

Phương trình này có biệt thức:
$\Delta = (\sqrt{197} - 27)^2 - 4(\sqrt{197} - 13)(1 + \sqrt{197})$

$= 190 - 6\sqrt{197}$

$\Rightarrow x = \dfrac{27 - \sqrt{197} \pm \sqrt{190 - 6\sqrt{197}}}{2\sqrt{197} - 26}$

- Với trường hợp còn lại. Bạn làm tương tự.
Kết quả là:
$x = \dfrac{-27 - \sqrt{197} \pm \sqrt{190 + 6\sqrt{197}}}{26 + 2\sqrt{197}}$

Kết quả dài quá. Tớ lại không có máy tính nên không biết có sai chỗ nào không nữa???

5. $2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2 \,\,\, (5)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{2x - 1} = (3x - 1)^3 + 4x - 1$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2x - 1} = a\\3x - 1 = b\end{array}\right.$
$\Rightarrow b = \dfrac{a^3 + 4x - 1}{2} \Leftrightarrow 2b = a^3 + 4x - 1 \,\, (5')$

Với cách đặt như trên, phương trình (5) trở thành:
$2a = b^3 + 4x - 1 \,\,\, (5'')$

Từ (5') và (5''), ta có hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2b = a^3 + 4x - 1\\2a = b^3 + 4x - 1\end{array}\right. \Rightarrow 2(a - b) = b^3 - a^3$

$\Leftrightarrow (a - b)(a^2 + ab + b^2 + 2) = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = b\\a^2 + b^2 + ab + 2 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a = b \Rightarrow \sqrt[3]{2x - 1} = 3x - 1$

$\Leftrightarrow 2x - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \Leftrightarrow 27x^3 - 27x^2 + 7x = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0\\27x^2 - 27x + 7 = 0\end{array}\right. \Rightarrow x = 0$

Tìm x và y biết chúng thỏa
$x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x-1}$ và $y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}= 3y\sqrt{2y-1}$

Giải

ĐK: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$
Giả sử: $x \geq y \,\,\, (1)$

$\Leftrightarrow 3x\sqrt{2x - 1} \geq 3y\sqrt{2y - 1}$

$\Rightarrow x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} \geq y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow y\sqrt{x} - x\sqrt{y} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{y} - \sqrt{x}) \geq 0 \, (2)$

Do $x, y \geq \dfrac{1}{2} $ nên:
$(2) \Leftrightarrow \sqrt{y} \geq \sqrt{x} \Leftrightarrow y \geq x$
Kết hợp điều này với (1), ta có:
$$y \geq x \geq y$$
Điều này chỉ xảy ra khi x = y.
Chứng minh tương tự khi $y \geq x$, ta cũng nhận được giá trị x = y.

Do đó, hệ ban đầu trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}x = y\\3x\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y \geq \dfrac{1}{2}\\\sqrt{x} = \sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = y = 1$

Vậy, hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1)

Ta có:
$2x^2 - 6y^2 = xy$

$\Leftrightarrow (2x^2 - 4xy) + (3xy - 6y^2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2y)(2x + 3y) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{-3y}{2}\\x = 2y\end{array}\right.$

Do x, y là các số thực dương nên chúng cùng dấu, suy ra: x = 2y.

Khi đó:
$A = \dfrac{x - y}{3x + 2y} = \dfrac{2y - y}{3.2y + 2y} = \dfrac{1}{8}$

Giải phương trình: $2\sin 7x\sin x + 8{\sin ^4}2x + \sqrt 3 \sin 6x = 8{\sin ^2}2x$

Thử sức trước kì thi số 8 - THTT

Giải

Phương trình tương đương:
$\cos 6x - \cos 8x + 8{\sin ^4}2x + \sqrt{3} \sin 6x - 8{\sin ^2}2x = 0 \,\, (1)$

Ta lại có:
$\cos 8x = 2{\cos ^2}4x - 1 = 2(2{\cos ^2}2x - 1)^2 - 1 $

$= 2(4{\cos ^4}2x - 4{\cos ^2}2x + 1) - 1$

$= 8{\cos ^4}2x - 8{\cos ^2}2x + 1$

Do đó, PT (1) tương đương:
$\Leftrightarrow \cos 6x + \sqrt{3} \sin 6x - (8{\cos ^4}2x - 8{\cos ^2}2x + 1) + 8{\sin ^4}2x - 8{\sin ^2}2x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 6x + \sqrt{3} \sin 6x + 8({\sin ^4}2x - {\cos ^4}2x) - 8({\sin ^2}2x - {\cos ^2}2x) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos 6x + \sqrt{3} \sin 6x + 8({\sin ^2}2x - {\cos ^2}2x) - 8({\sin ^2}2x - {\cos ^2}2x) - 1 = 0 $

$\Leftrightarrow \cos 6x + \sqrt{3}\sin6x = 1$

$\Leftrightarrow \cos 6x + \dfrac{\cos{\dfrac{\pi}{6}}}{\sin{\dfrac{\pi}{6}}}.\sin 6x = 1$

$\Leftrightarrow \sin{(6x + \dfrac{\pi}{6})} = 1.\sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} 6x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\6x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2k\pi \\x = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{k\pi}{3}\end{array}\right.$

Em chưa học phương trình lượng giác (Mới tìm hiểu sơ qua) nên không biết phần kết luận đúng chưa. Mong các anh chị/ các bạn bổ sung nhé ^^
Thanks!

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

Giải

Trong hệ tọa độ Oxy, chọn:
$A = (\dfrac{a}{2}; \dfrac{\sqrt{3}a}{2}); B = (b \,; 0); C = (\dfrac{c}{2}; \dfrac{-\sqrt{3}c}{2})$

Theo Bất đẳng thức 3 điểm, ta có:
$AB + BC \geq AC$

$\Rightarrow \sqrt{(b - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2})^2} + \sqrt{(b - \dfrac{c}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2} \geq \sqrt{(\dfrac{c}{2} - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2} + \dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2 - ab} + \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \geq \sqrt{a^2 + c^2 + ac}$

Dấu "=" xảy ra khi:
Vectơ BA cùng phương với vectơ BC.
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}} = \dfrac{\dfrac{c}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}c}{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a - 2b}{a} = \dfrac{c - 2b}{c} \Leftrightarrow 2b(a - c) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = c\\b = 0\end{array}\right.$

Do a, b, c là các số thực dương nên $b \neq 0$

Thế điều kiện a = c vào đẳng thức:
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc} = \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$$
Suy ra:
$2\sqrt{a^2 + b^2 - ab} = \sqrt{3a^2}$ $\Rightarrow a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \dfrac{a}{2} = \dfrac{c}{2}$

$2.\,\,\sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} = x + 1$

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}x + x^2 \geq 0\\x - x^2 \geq 0\\x + 1 \geq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x \geq 0\\x \leq -1\end{array}\right.\\0 \leq x \leq 1\\ x \geq -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow 0 \leq x \leq 1$

Áp dụng BĐT:

$a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)}$

với $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + x^2} \geq 0\\b = \sqrt{x - x^2} \geq 0\end{array}\right.$.

Ta có:
$VT \leq \sqrt{2(x + x^2 + x - x^2)} = \sqrt{2.2x} = 2\sqrt{x} \leq x + 1 = VF \,\,\ \forall 0 \leq x \leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x - x^2} = \sqrt{x + x^2}\\x = 1\end{array}\right.$
Không có giá trị x thỏa mãn điều kiện trên.
Do đó phương trình ban đầu vô nghiệm!

Bài 1: (Đề DH khối A - 2002)
Xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh BC là : $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3}=0$, các đỉnh A, B thuộc trục Ox và bán kính đường tròn nội tiếp = 2. Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC.

Giải

Do $A; B \in Ox \Rightarrow A(x_A; 0); B(x_B; 0)$
Mặt khác:
$B \in BC \Rightarrow \sqrt{3}x_B - \sqrt{3} = y_B = 0$
$\Leftrightarrow x_B = 1 \Rightarrow B(1; 0)$

Đặt $x_A = a$.
Tam giác ABC vuông tại A, do đó: $CA \perp Ox \Rightarrow x_C = x_A = a$
Hơn nữa:
$C \in BC \Rightarrow y_C = \sqrt{3}x_C - \sqrt{3} = \sqrt{3}a - \sqrt{3}$

$\Rightarrow C (a; \sqrt{3}a - \sqrt{3})$

Ta lập độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a. Ta có:
$BC = \sqrt{(a - 1)^2 + (\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = 2|a - 1|$

$AB = \sqrt{(1 - a)^2} = |a - 1|$

$AC = \sqrt{(\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = \sqrt{3}|a - 1|$
Ký hiệu S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ta có:

$S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AB.AC}{2} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{2}$

$p_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{|a - 1|(3 + \sqrt{3})}{2}$

$\Rightarrow r_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{|a - 1|(3 + \sqrt{3})} = \dfrac{|a - 1|}{\sqrt{3} + 1}$

Theo giả thiết: $r = 2$
$\Rightarrow |a - 1| = 2(\sqrt{3} + 1) \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 2\sqrt{3} + 3\\a = -2\sqrt{3} - 1\end{array}\right.$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
$G = (\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}) = (\dfrac{2a + 1}{3}; \dfrac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}}{3})$

- Nếu $a = 2\sqrt{3} + 3$

$\Rightarrow G(\dfrac{4\sqrt{3} + 7}{3}; \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3}) $

- Nếu $a = -2\sqrt{3} - 1$

$\Rightarrow G(\dfrac{-4\sqrt{3} - 1}{3}; \dfrac{-6 - 2\sqrt{3}}{3})$

P/S: Hi Yoon, lâu quá rồi nhỉ?

Bài 1: Cho phương trình: $2x^{2} - 2(2m +1) + 4m^{2} + 4m - 3 = 0$
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1} < x_{2}$ và $\left | x_{1} \right | = 2\left | x_{2} \right |$

Giải

Phương trình ban đầu có biệt thức:
$\Delta' = (2m + 1)^2 - 2(4m^2 + 4m - 3) = - 4m^2 - 4m + 7$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ($x_1 < x_2$) khi:
$\Delta' > 0 \Leftrightarrow -4m^2 - 4m + 7 > 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{2} - 1}{2} < m < \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}$

Yêu cầu đề bài tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x_1 = 2x_2\\x_1 = -2x_2\end{array}\right.\\x_1 < x_2\end{array}\right.$

TH1:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 < x_2\\x_1 = 2x_2\end{array}\right. \Rightarrow 2x_2 < x_2 \Rightarrow x_1 < x_2 < 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1 = 2x_2\\S = x_1 + x_2 = 2m + 1 < 0\\P = x_1x_2 = 2m^2 + 2m - \dfrac{3}{2} > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m < \dfrac{-1}{2}\\\left[\begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{-3}{2}\end{array}\right.\\x_2 = \dfrac{2m + 1}{3}\\x_2^2 = m^2 + m - \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} m < \dfrac{-3}{2}\\(\dfrac{2m + 1}{3})^2 = m^2 + m - \dfrac{3}{4}\end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m < \dfrac{-3}{2}\\5m^2 + 5m - \dfrac{31}{4} = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{-5 - \sqrt{180}}{10}$
Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm, ta chọn giá trị m này.

TH2:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 < x_2\\x_1 = - 2x_2\end{array}\right. \Rightarrow - 2x_2 < x_2 \Rightarrow x_1 < 0 < x_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1 = - 2x_2\\S = x_1 + x_2 = 2m + 1 \\P = x_1x_2 = 2m^2 + 2m - \dfrac{3}{2} < 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{1}{2}\\- x_2 = 2m + 1 < 0\\ x_2^2 = - m^2 - m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\x_2^2 = 4m^2 + 4m + 1\\x_2^2 = -m^2 -m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\ 4m^2 + 4m + 1 = - m^2 - m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\5m^2 + 5m + \dfrac{1}{4} = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{-5 - \sqrt{20}}{10}$
Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm, ta chọn giá trị này.

Kết luận: Có 2 giá trị m thỏa mãn đề bài.
P/S: Bài hơi dài nên có thể có sai sót trong tính toán. Mong bạn bỏ qua

Ừ, chỉ có 1 nghiệm S thỏa mãn đề bài. Nên nó cũng chỉ có một nghiệm P thỏa mãn.
Ở đây người ta yêu cầu hệ có nghiệm duy nhất, tức là một cặp số (x; y) duy nhất chứ không phải một tổng x + y duy nhất.

Không liên quan nhiều đến bài này nhưng mà xem một chút nhé:
Chẳng hạn: Ta tìm được:
x + y = 6 là duy nhất (S = const ) nhưng...
có biết bao nhiêu cặp số thỏa mãn điều này? Có tới hàng ngàn, hàng triệu, hàng tỉ số thỏa mãn:
(0; 6); (6; 0); (5; 1); (4; 2); (3; 3)…….(1006; -1000)….
Các cặp số đó có tích khác nhau, do đó, ta cần phải cố định tích của chúng. Chẳng hạn tích của chúng là 5. Vậy bây giờ, có 2 cặp thỏa mãn điều này: (1; 5) và (5; 1)
Vì thế tích của chúng bằng 5 không thể giúp hệ ban đầu có cặp nghiệm duy nhất.
Với tích bằng 9, dễ thấy, chỉ có một nghiệm thỏa mãn đề bài là (x; y) = (3; 3). Vậy tích bằng 9 thỏa mãn yêu cầu.
Vậy thì làm sao bây giờ? Nếu không có một nghiệm S duy nhất thì chắc chắn là không thể có một cặp nghiệm duy nhất rồi !? Chẳng lẽ phải ăn may sao. Phải tìm được S duy nhất, tìm được một P thỏa mãn có nghiệm duy nhất. Đáng tiếc rằng, trên đời, chỉ có được vài ba bài toán hên như thế và có cả đống bài toán không thể làm điều này, cụ thể như bài toán ban đầu…

Nhớ rằng chúng ta bỏ quên mất một điều kiện là: Để tồn tại x, y thỏa mãn x + y = S; xy = P thì $S^2 \geq 4P$
Do đó, chẳng hạn ta tìm được 2 S phân biệt. Từ đó ta dễ dàng có 2 giá trị P.
Nhưng…chỉ có một cặp trong số đó thỏa mãn điều kiện: $S^2 \geq 4P$, cặp còn lại thì không! Đành ngậm ngùi dứt áo ra đi vậy J
Vì vậy, ta vẫn có quyền hi vọng rằng trong 2 cặp số nào đó. Có một cặp (S; P) cho nghiệm duy nhất (x; y) (Khi đó thì x = y) và cặp còn lại không thỏa mãn đề bài!

P/S: Chủ topic, bước thứ 2 kể từ chỗ: Điều kiện để hệ có nghiệm...Tớ đã bỏ đi (làm tắt) một trường hợp đấy .
Ai bảo vô nghiệm, nên tớ bỏ:
$\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} \geq 0 > -2 - \sqrt{m + 4}$

Bạn có thể trình bày được chứ, theo mình thì như vậy là OK rồi ?

Với một S duy nhất, một P duy nhất. Ta luôn có thể có 2 nghiệm khác nhau thỏa mãn phương trình:

$X^2 - SX + P = 0$

Do ở đây, vai trò của x và y như nhau nên trường hợp mà bạn xét không đủ dữ kiện để nói rằng, hệ có nghiệm duy nhất!

Bạn thử lại xem... Với $S = -1; P = \dfrac{-3}{2}$
Hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=m+6 & \\ 2x+xy+2y=m& \end{matrix}\right.$

Giải

Đây là hệ đối xứng loại 1.
Do đó, nếu phương trình có một nghiệm $(x_0; y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(y_0; x_0)$.
Vì vậy, hệ nói trên có nghiệm thực duy nhất khi $x = y$

Khi đó, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}3x^2 = m + 6\\x^2 + 4x = m\end{array}\right.$

Điều kiện để hệ nói trên có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}m + 6 \geq 0\\2^2 + m \geq 0\\\pm\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 \pm \sqrt{m + 4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 + \sqrt{m + 4}\\- \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = -2 - \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + 2= \sqrt{m + 4}\\2 = \sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} + \sqrt{m + 4}\\\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = 2 + \sqrt{m + 4}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq -4\\\left[\begin{array}{l} 2\sqrt{\dfrac{m + 6}{3}} = \dfrac{m - 3}{3} \,\,\, (1)\\-\dfrac{2m + 3}{3} = \sqrt{\dfrac{(m + 6)(m + 4)}{3}} \,\,\, (2)\\-\dfrac{m + 9}{3} = 2\sqrt{m + 4} \,\,\, (3)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \geq 3\\m^2 - 18m - 63 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow m = 21$

$(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m \leq \dfrac{-3}{2}\\m^2 - 18m - 63 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow m = -3$

$(3)$ vô nghiệm do $\forall \, m\geq - 4 \Rightarrow \dfrac{-m - 9}{3} < 0 \leq 2\sqrt{m + 4}$

Vậy $\left[\begin{array}{l} m = - 3\\m = 21\end{array}\right.$

* Với m = -3, hệ ban đầu tương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 3\\2x + xy + 2y = -3\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) = 0\\x^2 + xy + y^2 = 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x = - y\\x = -y - 2\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào hệ ban đầu, ta thấy không thỏa mãn có nghiệm thực duy nhất.

* Với m = 21, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27\\2x + 2y + xy = 21\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)^2 + 2(x + y) - 48 = 0\\x^2 + xy + y^2 = 27\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + xy + y^2 = 27 \\\left[\begin{array}{l}x = -y - 8\\x = 6 - y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Thế các giá trị này vào, giải ra, ta thấy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 3.
Vậy với m = 21, hệ có nghiệm duy nhất!

Câu 1:
a, Hoành độ giao điểm (nếu có) của 2 đồ thị nói trên là nghiệm của phương trình:
$x^2 + 2mx - 3m = -2x + 3$
$\Leftrightarrow x^2 + 2x(m + 1) - 3m - 3 = 0 \,\,\, (1)$
Đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Điều này đồng nghĩa với:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta' = (m + 1)^2 - (-3m - 3) > 0\\S = -(m + 1) > 0\\P = -3m - 3 > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 2m + 1 + 3m + 3 > 0\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 5m + 4 > 0\\m < - 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} m < -4\\m > -1\end{array}\right.\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow m < -4$

Vậy $\forall m < - 4$, đồ thị các hàm số ban đầu cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

b, Bất phương trình ban đầu tương đương:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}10 - 2x < 0\\-x^2 + 8x - 12 \geq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}10 - 2x \geq 0\\-x^2 + 8x - 12 > (10 - 2x)^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\(x - 6)(x - 2) \leq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\-x^2 + 8x - 12 > 100 - 40x + 4x^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\2 \leq x \leq 6\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\4 < x < \dfrac{29}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5 < x \leq 6\\4 < x \leq 5\end{array}\right. \Leftrightarrow 4 < x \leq 6$
Vậy, tập nghiệm của BPT là: T = (4; 6]$
Câu 2.
b, ĐK: $x \geq -1$
Ta có:
$2x^2 - 11x + 23 = 4\sqrt{x + 1}$
$\Leftrightarrow (2x^2 -11x + 15) - 4\sqrt{x + 1} + 8$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5) - 4.\dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0 \,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(2) \Leftrightarrow 2x - 6 + (1 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$

$\Leftrightarrow 2(x - 3) + \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)[2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2}] = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ (do $2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2} > 0 \forall \, x \geq -1$)

Nói tóm lại, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3
Câu 3.
a,
Đặt $A(a; 0); B(0; b)$. (a; b > 0)
Do d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Do đó, phương trình đường thẳng d có dạng:

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$

Mặt khác, d đi qua $M(1; 4)$, suy ra:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1$

Ta thây:
$1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} \geq \dfrac{4}{\sqrt{ab}} ( \forall \, a, b > 0)$

$\Rightarrow \sqrt{ab} \geq 4 \Leftrightarrow ab \geq 16$

Vì thế cho nên:
$S_{OAB} = \dfrac{|a|.|b|}{2} = \dfrac{ab}{2} \geq 8$

Kết luận: $Min_{S_{OAB}} = 8$

Dấu "=" xảy ra khi
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{4}{b}\\\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 2\\b = 8\end{array}\right.$

Khi đó: A(2; 0); B(0; 8)
b,
©: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ có tâm I(2; -3); R = 3.
Ta thấy:
$IA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (- 2 + 3)^2 } = \sqrt{2} \leq 3 = R$
Do đó: A nằm trong đường tròn.

- Gọi M, N là các điểm bất kỳ trên đường tròn sao cho A, M, N thẳng hàng. M', N' là các điểm thuộc đường tròn thỏa mãn: M', A, N' thẳng hàng và IA vuông góc với M'N'.
Ta chứng minh được: $MN \geq M'N'$
Thật vậy:
- Dễ thấy: $\bigtriangleup MAM' \sim \bigtriangleup N'AN (g.g)$
Do đó: $AM.AN = AM'.AN' = AM'^2 = R^2 - IA^2 = 9 - 2 = 7$
- Suy ra:
$MN = MA + NA \geq 2\sqrt{MA.NA} = 2\sqrt{7}$

Kết luận: $Min_{MN} = 2\sqrt{7}$

Dấu "=" xảy ra khi M trùng M', N trùng N'.
Khi đó: PTĐT $\Delta$ là: $-(x - 1) +(y + 2) = 0 \Leftrightarrow y = x - 3$

4. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. CMR:
$$(\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1)(\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1)(\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1) \geq 3(a + b + c)^2 \,\,\, (1)$$

Giải

Ta thấy:
$\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1 = 4.\dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} $

$\geq \dfrac{36}{4(a^2 + b^2) + 2 + 2} = \dfrac{9}{a^2 + b^2 + 1}$

Chứng minh tương tự, ta có:
$\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1 \geq \dfrac{9}{b^2 + c^2 + 1}$

$\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1 \geq \dfrac{9}{a^2 + c^2 + 1}$

Do dó:
$(\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1)(\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1)(\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1) \geq \dfrac{9^3}{(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + c^2 + 1)(b^2 + c^2 + 1)}$

Mặt khác:
$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + c^2 + 1)(b^2 + c^2 + 1) \leq \dfrac{[2(a^2 + b^2 + c^2) + 3]^3}{27} = 27$

Suy ra
$VT_{(1)} \geq \dfrac{729}{27} = 27 \,\,\,\, (2)$

Hơn nữa, ta lại có:
$VF_{(1)} = 3(a + b + c)^2 \leq 3.3(a^2 + b^2 + c^2) = 27 \,\,\,\, (3)$

Từ (2) và (3), ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$

2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}4x^2y^2 - 6xy - 3y^2 + 9 = 0 \,\,\, (1)\\6x^2y - y^2 - 9x = 0 \,\,\, (2)\end{array}\right. \,\,\,\, (I)$

Giải

* Với x = 0, hệ (I) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}- 3y^2 + 9 = 0\\y^2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \pm \sqrt{3}\\y = 0\end{array}\right.$
Hệ trên vô nghiệm. Do đó, hệ ban đầu vô nghiệm.

* Với $x \neq 0$
Từ (2), suy ra:

$6xy - 9 = \dfrac{y^2}{x}$

Thế vào (1), ta được phương trình hệ quả:
$4x^2y^2 - 3y^2 - \dfrac{y^2}{x} = 0$

$\Leftrightarrow y^2.(4x^2 - 3 - \dfrac{1}{x}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = 0 \,\,\,\, (1')\\4x^2 - 3 - \dfrac{1}{x} = 0 \,\,\,\, (2')\end{array}\right.$

* Với y = 0, phương trình (1) của hệ ban đầu tương đương: $9 = 0$ (vô lý).
Do vậy, y = 0 không phải nghiệm của hệ ban đầu.
* Ta có:
$(2') \Leftrightarrow 4x^3 - 3x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(2x + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1\\x = \dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$
- Với x = 1, hệ (I) tương đuơng:
$\left\{\begin{array}{l}4y^2 - 6y - 3y^2 + 9 = 0\\6y - y^2 - 9 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow y = 3$

- Với $x = \dfrac{- 1}{2}$, hệ (I) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}y^2 + 3y - 3y^2 + 9 = 0\\\dfrac{3}{2}y - y^2 + \dfrac{9}{2} = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 2y^2 - 3y - 9 = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y = 3\\y = \dfrac{-3}{2}\end{array}\right.$

Vậy hệ ban đầu có tập nghiệm:
$T = \{(1; 3); (\dfrac{-1}{2}; 3); (\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-3}{2})\}$

Bài 4. Cho a, b là hai số thực sao cho $a^{3}+b^{3}=2$. Chứng minh $0< a+b\leq 2$

Giải

Ta có:
$a^3 + b^3 = 2 \Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 2$

Do $a^2 - ab + b^2 = (a - \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3b^2}{4} \geq 0$
Do đó, để $a^3 + b^3 = 2$ thì $a + b > 0$
Mặt khác, ta có:
$2 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = (a + b)[(a + b)^2 - 3ab]$
$ \geq (a + b)[(a + b)^2 - 3.\dfrac{(a + b)^2}{4}] = \dfrac{(a + b)^3}{4}$
(do $ab \leq \dfrac{(a + b)^2}{4} \Rightarrow -3ab \geq -\dfrac{3(a + b)^2}{4}$)

$\Rightarrow a + b \leq \sqrt[3]{2.4} = 2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = 1$

Vì vậy, ta luôn có: $0 < a + b \leq 2$

P/S: Không ham hố gì chuyện Like hay Không Like nhưng mà cái post kia dài quá, nó chạy hơi lâu nên mình chuyển sang bài mới vậy! ^^

Bài 1. Thu gọn:
$S=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}$

Giải

ĐK: $a \neq b \neq c$
Ta có:
$S=\frac{- a}{(a-b)(c - a)}+\frac{- b}{(b-c)(a - b)}+\frac{- c}{(c-a)(b - c)}$

$S=\frac{-a(b - c) - b(c - a) - c(a - b)}{(a - b)(b - c)(c - a)} = 0$

Bài 3.
a, Cho a,b là hai số thực thỏa 5a + b = 22. Biết phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó.

Giải

Phương trình $x^2 + ax + b = 0$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi:
$\Delta = a^2 - 4b = k^2 (k \in Z)$

$\Leftrightarrow a^2 - 4(22 - 5a) = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10)^2 - 188 = k^2 $

$\Leftrightarrow (a + 10 + k)(a + 10 - k ) = 188 = 188.1 = (-188).(-1) = 94.2 = (-94)(-2) = 47.4 = (-47).(-4)$

Ta thấy:
$a + 10 - k + a + 10 + k = 2a + 20 \, \vdots \, 2$
Do đó:
$a + 10 + k$ và $a + 10 - k$ luôn có cùng tính chẵn lẻ.
Do đó, ta xét 4 TH:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 94\\a + 10 - k = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = 2\\a + 10 - k = 94\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -94\\a + 10 - k = -2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a + 10 + k = -2\\a + 10 + k = -94\end{array}\right.\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = 38\\k = -46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}a = -58\\k = 46\end{array}\right.\end{array}\right.$

Với $a = 38 \Rightarrow b = -168$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 4\\x = -42\end{array}\right.$
Với $a = - 58 \Rightarrow b = 312$
Hai nghiệm đó là: $\left[\begin{array}{l} x = 52\\x = 6\end{array}\right.$

Hình như chị ấy đóng vai Khuynh Thành trong phim Mỹ nhân thiên hạ phải không bạn ^^!?

$ \left\{\begin{array}{l}(x^2 - 7)y^2 - 3xy = -9\,\,\, (1)\\3x^2y - 12y^2 + 9x = 0 \,\,\, (2)\end{array}\right. \,\,\,\, (I)$

Giải

* Với y = 0; phương trình (1) của hệ tương đương:

$0 = -9$ (vô lý)

Do đó: Khi y = 0, hệ vô nghiệm.

* Với x = 0, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}-7y^2 = -9\\-12y^2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y= \dfrac{\pm 3}{\sqrt{7}}\\y = 0\end{array}\right.$
Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.
Vậy: Khi x = 0, hệ ban đầu cũng vô nghiệm.

* Với $x, y \neq 0$, chia 2 vế của (1) cho $y^2$, của (2) cho $3xy$.
Ta có hệ mới tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 - 7 - \dfrac{3x}{y} = \dfrac{-9}{y^2}\\x - \dfrac{4y}{x} + \dfrac{3}{y} = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x^2 + \dfrac{9}{y^2}) - \dfrac{3x}{y} = 7\\(x + \dfrac{3}{y}) - \dfrac{4y}{x} = 0\end{array}\right. \,\,\, (II)$
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{3}{y} = S\\\dfrac{3x}{y} = P\end{array}\right. (S^2 \geq 4P)$
Hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}S^2 - 2P - P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{144}{P^2} - 3P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}144 - 3P^3 - 7P^2 = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(P - 3)(3P^2 - 16P + 48) = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} P = 3\\3P^2 - 16P + 48 = 0 (VN)\end{array}\right.\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P = 3\\S = 4\end{array}\right.$
Do đó: $x$ và $\dfrac{3}{y}$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X = 1\\X = 3\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{3}{y} = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 3\\\dfrac{3}{y} = 1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x =3\\y =3\end{array}\right.\end{array}\right.$
Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: $(x; y) = (1; 1); (3; 3)$

Bài toán: Giải phương trình: \[\frac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + \frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + \frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + \frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} = \frac{{10}}{3}\]

Giải

ĐK: $x \geq 0$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(\dfrac{{3 + \sqrt x }}{{{x^2} + x\sqrt x + x + 3}} + 1) + (\frac{{x + \sqrt x + 2}}{{{x^2} + x\sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{x\sqrt x + x + 2}}{{{x^2} + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + x\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 4}} + 1) + (\frac{{{x^2} + 3}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x + 3}} + 1) = \dfrac{25}{3}$

$\Leftrightarrow (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6).[\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3}] = \dfrac{25}{3} \,\,\, (2)$

Do $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:
$\dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3} + \dfrac{1}{x^2 + x\sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x^2 + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x} + 4} + \dfrac{1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3} \geq \dfrac{25}{3x^2 + 3x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 18} = \dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)}$

Do đó:
$VT_{(2)} \geq (x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)\dfrac{25}{3(x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 6)} = \dfrac{25}{3} = VF_{(2)} $

Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$x^2 + x\sqrt{x} + x + 3 = x^2 + x\sqrt{x} + 4 = x^2 + \sqrt{x} + 4 = x + \sqrt{x} + 4 = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 3$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất: x = 1

Nhạc US - UK (Hiện tại):
1. Rolling in the deep - Adele

2. Someone like you - Adele

3. Set fire to the rain - Adele

4. Stronger - Kelly Clarkson

5. Grenade - Bruno Mars

Adele's fan ^^!

Cho 3 phương trình
$x^2 + ax + 1 = 0 \,\,\, (1)$
$x^2 + bx + 1 = 0(2) \,\,\, (2)$
$x^2 + cx + 1 = 0(3) \,\,\, (3)$
Biết rằng tích 1 nghiệm của phương trình (1) với nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3).
CMR: $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Giải

Gọi $x_1; x_2$ lần lượt là nghiệm của các phương trình (1); (2) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Dễ thấy $x_1; x_2 \neq 0$
Theo giả thiết, ta có: $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3).

Do $x_1$ là nghiệm của (1), suy ra:
$x_1^2 + ax_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1 + \dfrac{1}{x_1} = - a \,\,\,\, (1a)$

$\Leftrightarrow x_1^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + 2 = a^2 \,\,\,\, (2a)$

Tương tự, vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (2) nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x_2 + \dfrac{1}{x_2} = -b \,\,\, (1b)\\x_2^2 + \dfrac{1}{x_2^2} + 2 = b^2 \,\,\, (2b)\end{array}\right.$

Do $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3), suy ra:

$x_1.x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2} = -c$

Nhân (1a) và (1b) vế theo vế, ta có:
$(x_1 + \dfrac{1}{x_1})(x_2 + \dfrac{1}{x_2}) = ab$

$\Leftrightarrow (x_1x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2}) + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Rightarrow -c + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Leftrightarrow c.(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) = abc + c^2 \,\,\, (4)$

Cộng (2a) và (2b) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4\,\,\,(5)$

Cộng (4) và (5) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = c(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) + x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4 $

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = (x_1^2 + x_2^2)(\dfrac{c}{x_1x_2} + 1 + \dfrac{1}{x_1^2x_2^2}) + 4 \,\, (6)$

Ta thấy: $(x_1.x_2)^2 + c.x_1.x_2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{c}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1^2.x^2 } = 0$

Do đó, đẳng thức (6) tương đương:

$a^2 + b^2 + c^2 +abc = 4$

Đây là điều phải chứng minh. ^^!