Xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh BC là : $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3}=0$, các đỉnh A, B thuộc trục Ox và bán kính đường tròn nội tiếp = 2. Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
Giải
Do $A; B \in Ox \Rightarrow A(x_A; 0); B(x_B; 0)$Mặt khác:
$B \in BC \Rightarrow \sqrt{3}x_B - \sqrt{3} = y_B = 0$
$\Leftrightarrow x_B = 1 \Rightarrow B(1; 0)$
Đặt $x_A = a$.
Tam giác ABC vuông tại A, do đó: $CA \perp Ox \Rightarrow x_C = x_A = a$
Hơn nữa:
$C \in BC \Rightarrow y_C = \sqrt{3}x_C - \sqrt{3} = \sqrt{3}a - \sqrt{3}$
$\Rightarrow C (a; \sqrt{3}a - \sqrt{3})$
Ta lập độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a. Ta có:
$BC = \sqrt{(a - 1)^2 + (\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = 2|a - 1|$
$AB = \sqrt{(1 - a)^2} = |a - 1|$
$AC = \sqrt{(\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = \sqrt{3}|a - 1|$
Ký hiệu S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ta có:
$S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AB.AC}{2} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{2}$
$p_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{|a - 1|(3 + \sqrt{3})}{2}$
$\Rightarrow r_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{|a - 1|(3 + \sqrt{3})} = \dfrac{|a - 1|}{\sqrt{3} + 1}$
Theo giả thiết: $r = 2$
$\Rightarrow |a - 1| = 2(\sqrt{3} + 1) \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 2\sqrt{3} + 3\\a = -2\sqrt{3} - 1\end{array}\right.$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
$G = (\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}) = (\dfrac{2a + 1}{3}; \dfrac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}}{3})$
- Nếu $a = 2\sqrt{3} + 3$
$\Rightarrow G(\dfrac{4\sqrt{3} + 7}{3}; \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3}) $
- Nếu $a = -2\sqrt{3} - 1$
$\Rightarrow G(\dfrac{-4\sqrt{3} - 1}{3}; \dfrac{-6 - 2\sqrt{3}}{3})$
P/S: Hi Yoon, lâu quá rồi nhỉ?