Đến nội dung

Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#317813 Tìm toạ độ các điểm

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-05-2012 - 08:11 trong Hình học phẳng

Bài 1: (Đề DH khối A - 2002)
Xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình cạnh BC là : $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3}=0$, các đỉnh A, B thuộc trục Ox và bán kính đường tròn nội tiếp = 2. Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC.

Giải

Do $A; B \in Ox \Rightarrow A(x_A; 0); B(x_B; 0)$
Mặt khác:
$B \in BC \Rightarrow \sqrt{3}x_B - \sqrt{3} = y_B = 0$
$\Leftrightarrow x_B = 1 \Rightarrow B(1; 0)$


Đặt $x_A = a$.
Tam giác ABC vuông tại A, do đó: $CA \perp Ox \Rightarrow x_C = x_A = a$
Hơn nữa:
$C \in BC \Rightarrow y_C = \sqrt{3}x_C - \sqrt{3} = \sqrt{3}a - \sqrt{3}$

$\Rightarrow C (a; \sqrt{3}a - \sqrt{3})$

Ta lập độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a. Ta có:
$BC = \sqrt{(a - 1)^2 + (\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = 2|a - 1|$

$AB = \sqrt{(1 - a)^2} = |a - 1|$

$AC = \sqrt{(\sqrt{3}a - \sqrt{3})^2} = \sqrt{3}|a - 1|$
Ký hiệu S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ta có:


$S_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AB.AC}{2} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{2}$

$p_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{|a - 1|(3 + \sqrt{3})}{2}$

$\Rightarrow r_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\sqrt{3}(a - 1)^2}{|a - 1|(3 + \sqrt{3})} = \dfrac{|a - 1|}{\sqrt{3} + 1}$


Theo giả thiết: $r = 2$
$\Rightarrow |a - 1| = 2(\sqrt{3} + 1) \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = 2\sqrt{3} + 3\\a = -2\sqrt{3} - 1\end{array}\right.$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
$G = (\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}) = (\dfrac{2a + 1}{3}; \dfrac{\sqrt{3}a - \sqrt{3}}{3})$


- Nếu $a = 2\sqrt{3} + 3$

$\Rightarrow G(\dfrac{4\sqrt{3} + 7}{3}; \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3}) $


- Nếu $a = -2\sqrt{3} - 1$

$\Rightarrow G(\dfrac{-4\sqrt{3} - 1}{3}; \dfrac{-6 - 2\sqrt{3}}{3})$

P/S: Hi Yoon, lâu quá rồi nhỉ?



#333851 pt lượng giác: $sin2xcosx+sinxcosx=cos2x+sinx+cosx$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 22:47 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$\sin{2x} \cos{x} + \sin{x} \cos{x} = \cos{2x} + \sin{x} + \cos{x}$

Giải

Phương trình tương đương:
$2.\sin{x}.\cos^2{x} + \sin{x}.\cos{x} - \sin{x} - \cos{x} + 1 - 2\cos^2{{x}} = 0$


$\Leftrightarrow 2\cos^2{x}(\sin{x} - 1) + (\sin{x} - 1)(\cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} - 1)(2\cos^2{x} + \cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} - 1)(\cos{x} + 1)(2\cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = 1\\\cos{x} = -1\\\cos{x} = \dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \pi + 2k\pi\\x = \dfrac{\pm \pi}{3} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$



#443171 $sin4x-cos4x=1+4.(sinx-cosx)$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 22:07 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{4x} - (\cos{4x} + 1) + 4(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
 
$\Leftrightarrow 2\sin{2x}\cos{2x} - 2\cos^2{2x} + 4(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
 
$\Leftrightarrow \cos{2x}(\sin{2x} - \cos{2x}) + 2(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
 
$\Leftrightarrow (\cos^2{x} - \sin^2{x}) (\sin{2x} - \cos{2x}) + 2(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
 
$\Leftrightarrow (\cos{x} - \sin{x})\left [ (\cos{x} + \sin{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) + 2\right ] = 0$
 
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\tan{x} = 1\\(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2 \, (2)\end{matrix}\right.$
 
Giải (2) như sau:
Ta có: $(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2 \Leftrightarrow \sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )}.\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = -1$
 
Do $-1 \leq \sin{\alpha} \leq 1 \Rightarrow \sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )}.\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} \geq - 1$
 
Dấu "=" xảy ra khi $\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = 1\\\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = -1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = -1\\\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
 
Hoặc cách khác: $(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2$ 
 
$\Leftrightarrow (\sin{x}\sin{2x} - \cos{x}\cos{2x}) + \sin{2x}\cos{x} - \sin{x}\cos{2x} = -2$
 
$\Leftrightarrow - \cos{3x} + \sin{x} = -2 \Leftrightarrow 1 - \cos{3x} + \sin{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos{3x} = 1\\\sin{x} = -1\end{matrix}\right.$



#443486 $sin4x-cos4x=1+4.(sinx-cosx)$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-08-2013 - 21:56 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Do $\cos{x} - \sin{x} = 0 \Leftrightarrow \sin{x} = \cos{x}$.
 

- Nếu $\cos{x} = 0 \Rightarrow \sin{x} = 0$ (VN)

 

- Vậy: $\cos{x} \neq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} = 1$ 




#443250 $sin4x-cos4x=1+4.(sinx-cosx)$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 16-08-2013 - 08:32 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

 

 

MÌnh gõ lộn! Sorry bạn nhé :)




#344898 Tìm m để $\Delta$ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tí...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-08-2012 - 22:10 trong Hình học phẳng

Cho đường tròn ©: x2 + y2 + 4x + 4y +6 =0
$\Delta$ : x + my - 2m + 3 =0
Gọi I là tâm đường tròn ©. Tìm m để $\Delta$ cắt © tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

Giải

Ta có: $I(-2; -2); R_{©} = \sqrt{2}$

Nhận thấy: $S_{\triangle IAB} = \dfrac{1}{2}IA.IB.\sin{AIB} \leq \dfrac{1}{2}R^2$

Do đó: $S_{\triangle IAB Max} = \dfrac{1}{2}R^2 = 1$
Điều này xảy ra khi: $\sin{AIB} = 1 \Rightarrow \widehat{AIB} = 90^o $

$\Rightarrow $ Tam giác AIB là tam giác vuông.


- Gọi H là hình chiếu của I trên AB, ta có:
$\dfrac{1}{IH^2} = \dfrac{1}{IA^2} + \dfrac{1}{IB^2} = \dfrac{2}{R^2} = 1$

$\Rightarrow IH = 1 \Leftrightarrow d(I; \Delta) = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{|-2 - 2m - 2m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 \Leftrightarrow (1 - 4m)^2 = m^2 + 1$

$\Leftrightarrow 15m^2 - 8m = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0\\m = \dfrac{8}{15}\end{array}\right.$



#446397 $sin^23x-cos^24x=sin^25x-cos^26x$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 30-08-2013 - 21:36 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Bài 2
Giải
Phương trình tương đương:
$\dfrac{1}{2}\left ( 1 - \cos{6x}\right ) - \dfrac{1}{2}\left ( 1 + \cos{8x}\right ) = \dfrac{1}{2}\left ( 1 - \cos{10x}\right ) - \dfrac{1}{2}\left ( 1 + \cos{12x}\right )$
 
$\Leftrightarrow \cos{6x} + \cos{8x} = \cos{10x} + \cos{12x}$
 
$\Leftrightarrow 2\cos{x}\left ( \cos{11x} - \cos{7x}\right ) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\cos{x} = 0\\\cos{11x} = \cos{7x}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{k\pi}{2}\\x = \dfrac{k\pi}{9}\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$



#333862 Phương trình lượng giác: $(1+sin^{2}x)cosx+(1+cos^{2}x)sinx=1+sin2x$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-07-2012 - 23:12 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$$(1+\sin^2{x})\cos{x}+(1+\cos^2{x})\sin{x}=1+\sin{2x}$$

Giải

Phương trình tương đương:
$\sin{x} + \cos{x} + \sin^2{x}.\cos{x} + \cos^2{x}.\sin{x} = \sin^2{x} +\cos^2{x} + 2\sin{x}.\cos{x}$


$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})( 1 + \sin{x}.\cos{x}) = (\sin{x} + \cos{x})^2$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(\sin{x}.\cos{x} - \sin{x} - \cos{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin{x} + \cos{x})(\sin{x} - 1)(\cos{x} - 1) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sin{x} = -\cos{x}\\\sin{x} = 1\\\cos{x} = 1\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\\x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$



#344705 GPT $4sin^2\frac{x}{2}-\sqrt{3}c...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-08-2012 - 12:08 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

4. $4sin^2\frac{x}{2}-\sqrt{3}cos2x=1+2cos^2(x-\frac{3\pi }{4})$.

Giải

Phương trình tương đương:
$2(1 - \cos{x}) - \sqrt{3}\cos{2x} = 1 + 1 + \cos{(2x - \dfrac{3\pi}{2})}$

$\Leftrightarrow -2\cos{x} - \sqrt{3}\cos{2x} = - \sin{2x}$


$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin{2x} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{2x} = \cos{x} $

$\Leftrightarrow \cos{(2x - \dfrac{5\pi}{6})} = \cos{x}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x - \dfrac{5\pi}{6} = x + 2k\pi\\2x - \dfrac{5\pi}{6} = - x + 2k\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\\x = \dfrac{5\pi}{18} + \dfrac{2k\pi}{3}\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$



#344905 GPT $4sin^2\frac{x}{2}-\sqrt{3}c...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 08-08-2012 - 22:22 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Mod gộp bài hộ mình nhé. Không hiểu sao khi mình sửa thì font chữ lại đột ngột xuất hiện nhiều dòng mã [\font....]...

3. $\cos^2{3x}.\cos{2x}-\cos^2{x}=0$

Giải

Phương trình trên tương đương:
$\dfrac{1 + \cos{6x}}{2}.\cos{2x} - \dfrac{1 + \cos{2x}}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos{2x} + \cos{2x}.\cos{6x} - 1 - \cos{2x} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos{8x} + \cos{4x}) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2\cos^2{4x} + \cos{4x} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{4x} = 1 \\\cos{4x} = \dfrac{3}{2} \,\, (VN)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{k\pi}{2} \,\, (k \in Z)$



#328792 Giải phương trình: $sin2x=cos3x$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-06-2012 - 20:33 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình:
$$\sin{2x} = \cos{3x}$$

Giải

Phương trình tương đương:
$2\sin{x}.\cos{x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x} \Leftrightarrow \cos{x}(4\cos^2{x} - 2\sin{x} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = 0\\4\cos^2{x} - 2\sin{x} - 3 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = 0\\4(1 - \sin^2{x}) - 2\sin{x} - 3 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = 0\\4\sin^2{x} + 2\sin{x} - 1 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = 0\\\sin{x} = \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x = \dfrac{\pi}{10} + 2k\pi\\x = \dfrac{9\pi}{10} + 2k\pi\\x = \dfrac{- 3\pi}{10} + 2k\pi\\x = \dfrac{-7\pi}{10} + 2k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$



#447240 Gọi d là đt qua M(2;0) và có hệ số góc k.Tìm k để d cắt $(C):y=\lef...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 02-09-2013 - 13:57 trong Hàm số - Đạo hàm

Em thử làm theo cách này xem có được không?

Giải

Phương trình đường thẳng đi qua $M(0; 2)$ có hệ số góc k là: $y = k(x – 2)$

Vẽ đồ thị hàm số $y = |x|^3 – 3|x| - 2$

(Bạn tự nêu cách vẽ nhé)

Nhận thấy: $M(0; 2) = (d) \cap (C)$
 

Dựa vào đồ thị, ta thấy (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt khi (d) nằm giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$

Với:
+ $d_1$ là đường thẳng đi qua $M(0; 2)$ và $N(-2; 0)$

+ $d_2$ là đường thẳng tiếp xúc với nửa bên trái trục Oy của đồ thị được ký hiệu trên hình.

Dễ dàng tìm được $(d_1): y = x + 2$ có hệ số góc $k = 1$

Với x < 0, xét hàm số: $y = |x|^3 – 3|x| + 2 = -x^3 + 3x + 2$

Dễ dàng tìm được đường thẳng $d_2$ là tiếp tuyến kẻ từ M của nửa đồ thị (C) bên trái Oy.

$d_2$ có $k = 6\sqrt{3} - 9$

 

Vậy $1 < k < 6\sqrt{3} - 9$ thì (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt.

 

@WWW: Anh ơi, hình như trường hợp $x < 0$ thì phương trình ra là: $- x^3 + (3 - k)x + 2k - 2 = 0$ ạ?




#328168 Giải pt: $3cot^2x+2\sqrt{2}sin^2x=(3\sqrt{2}+2)cosx$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 22-06-2012 - 22:35 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình: $3cot^2x+2\sqrt{2}sin^2x=(3\sqrt{2}+2)cosx$


Giải


ĐK: $\cos{x} \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
Phương trình ban đầu tương đương:
$3.\dfrac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} + 2\sqrt{2}\sin^2{x} = (3\sqrt{2} + 2).\cos{x}$


$\Leftrightarrow 3\cos^2{x} - 3\sqrt{2}.\cos{x}.\sin^2{x} + 2\sqrt{2}\sin^4{x} - 2.\cos{x}.\sin^2{x} = 0$

$\Leftrightarrow 3\cos{x}(\cos{x} - \sqrt{2}.\sin^2{x}) - 2.\sin^2{x}(\cos{x} - \sqrt{2}.\sin^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow (\cos{x} - \sqrt{2}.\sin^2{x})(3\cos{x} - 2\sin^2{x}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = \sqrt{2}.\sin^2{x}\\3\cos{x} = 2\sin^2{x} \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{2}\cos^2{x} + \cos{x} - \sqrt{2} = 0\\2\cos^2{x} + 3\cos{x} - 2 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos{x} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\cos{x} = -\sqrt{2} \,\, (VN)\\\cos{x} = \dfrac{1}{2}\\\cos{x} = -2 \,\, (VN)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \,\, ™\\x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \,\, ™\end{array}\right.$



#594268 Bài tập xác xuất thống kê

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 15:48 trong Xác suất - Thống kê

Câu 2

- Đặt X là biến ngẫu nhiên chỉ số phát bắn trúng.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc và X = {0,1,2,3}

Dễ thấy {X = 0, X = 1, X = 2, X = 3} là 1 nhóm đầy đủ biến cố.

- Đặt H: "Máy bay bị hạ"

$A_i$: "Khẩu thứ i bắn trúng$ (i = 1,2,3)

Theo giả thiết, $A_1, A_2, A_3$ độc lập trong toàn thể và $P(A_1) = 0,5; P(A_2) = 0,7; P(A_3) = 0,8$

- Ta có:
$P(X = 0) = P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}) = 0,5.0,3.0,2 = 0,03$

$P(X = 1) = P(A_1.\bar{A_2}\bar{A_3}+ A_2.\bar{A_1}\bar{A_3} + A_3.\bar{A_2}\bar{A_1}) = 0,22$

$P(X = 2) = P(A_1.A_2\bar{A_3} + A_2.\bar{A_1}A_3 + A_3.\bar{A_2}A_1) = 0,47$

$P(X = 3) = P(A_1A_2A_3) = 0,28$

$P(H/X = 0) = 0; P(H/X = 1) = 0,6; P(H/X = 2) = P(H/X = 3) = 1$

Vậy, áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta tính được: P(H) = 0,882




#594267 Bài tập xác xuất thống kê

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-10-2015 - 15:31 trong Xác suất - Thống kê

Câu 1. (Hơi dài)

Đặt $A_i$: "Chọn được công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

H: "Trong 4 sản phẩm công nhân đó làm ra trong lượt đầu tiên, có 1 sản phẩm là phế phẩm"

Ta thấy {$A_1, A_2, A_3, A_4$} là nhóm đầy đủ biến cố. 

Theo giả thiết: 

$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \dfrac{1}{3}$

$P(H/A_1) = P(H/A_2) = C_4^1.0,1.0,9^3, \,\,\, P(H/A_3) = C_4^1.0,2.0,8^3$

Vậy, áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P(A_1/H) = \dfrac{P(A_1).P(H/A_1)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_2/H) = \dfrac{P(A_2).P(H/A_2)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_3/H) = \dfrac{P(A_3).P(H/A_3)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,412$

 

Đặt $B_i$:: "Người sản xuất 4 sản phẩm thì có 1 phế phẩm là công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

Ta có {$B_1, B_2, B_3$) là nhóm đầy đủ biến cố.

Đặt G: "Trong 4 sản phẩm tiếp theo, cả 4 sản phẩm là chính phẩm"

Ta có:
$P(B_1) = P(B_2) = P(A_1/H) = P(A_2/H)= 0,294; \,\, P(B_3) = P(A_3/H) = 0,412$

$P(G/B_1) = P(G/B_2) = 0,9^4; \,\, P(G/B_3) = 0,8^4$

Vậy, áp dụng công thức xác suất đầy đù, xác suất cần tìm là:
$P(G) = P(B_1).P(G/B_1) + P(B_2).P(G/B_2) + P(B_3).P(G/B_3) = 0,555$ 

 

 

 
 

 




#346129 giải hệ:$\left\{\begin{matrix} x^2-2xy+x+y...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-08-2012 - 11:46 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Giải

Hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l} x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) - 6x^2y + 3x^2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^2 + y)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)(2y - 1 - 3) = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\\left[\begin{array}{l}x = 0\\y = \dfrac{1}{2} \,\, (VN)\\y = 2\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x = 0\\y = 0 \end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = 2\\x = 1 \end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = 2\\x = 2\end{array}\right. \end{array}\right.$



#309352 Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011-2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 09-04-2012 - 22:13 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1
a) Giải phương trình: $x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
b) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3
& \\y^2-2xy+2x=-4
&
\end{matrix}\right.$$


Giải

a, ĐK: $x \geq 2$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(x - 2)(x - 5) - 2\sqrt{x - 2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2}[(x - 5)\sqrt{x - 2} - 2] = 0$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\(x - 5)\sqrt{x - 2 } = 2 \,\,\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có: $(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\(x - 5)^2(x - 2) = 4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^3 - 12x^2 + 45x - 54 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\(x - 6)(x^2 - 6x + 9) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\ \left[\begin{array}{l} x = 3\\x = 6\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = 6$
Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm: x = 6 và x = 2
b, Hơi dài.
$\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2-2x+2y=-3\\y^2-2xy+2x=-4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x - 1)^2 - (y - 1)^2 = -3\\(y - x)^2 - (x - 1)^2 = -5\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = x - 1\\b = y - 1\end{array}\right. \Rightarrow b - a = y - x$

Phương trình ban đầu trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}a^2 - b^2 = -3\\(b - a)^2 - a^2 = -5\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2 - b^2 = - 3\\b^2 - 2ab = -5\end{array}\right. \,\,\,\,(II)$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5a^2 - 5b^2 = -15\,\,\,\, (1)\\3b^2 - 6ab = -15\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta được:
$5a^2 + 6ab - 8b^2 = 0 \Leftrightarrow (a + 2b)(5a - 4b) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = -2b\\a = \dfrac{4b}{5}\end{array}\right.$
- Với a = -2b, hệ (II) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} a = -2b\\(-2b)^2 - b^2 = -3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = -2b\\b^2 = -1\end{array}\right.$

Hệ phương trình này vô nghiệm.
- Với $a = \dfrac{4b}{5}$, hệ trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} a = \dfrac{4b}{5}\\\dfrac{16b^2}{25} - b^2 = - 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{4b}{5}\\b^2 = \dfrac{25}{3}\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{4}{5}b = \pm \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\b = \pm \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y - 1 = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{- 4}{\sqrt{3}}\\y - 1 = \dfrac{- 5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y = 1 + \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y = 1 - \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\end{array}\right.$

P/S: Đề thi 150 phút. không được sử dụng máy tính cầm tay trong phòng thi. :(



#308871 Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+5}+3x =\sqrt{x^{2}+12}+5$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-04-2012 - 22:13 trong Đại số

Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}+5}+3x =\sqrt{x^{2}+12}+5$

Giải

Dễ thấy, nếu x < 0:
$VT = \sqrt{x^2 + 5} + 3x < \sqrt{x^2 + 12} < \sqrt{x^2 + 12} + 5$.

Phương trình vô nghiệm. Vậy $x \geq 0$.

Phương trình ban đầu tương đương:
$(\sqrt{x^2 + 5} - 3) - (\sqrt{x^2 + 12} - 4) + 3x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)[\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3 = 0\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(2) \Leftrightarrow (x + 2)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12} + 4}] + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2).\dfrac{\sqrt{x^2 + 12} - \sqrt{x^2 + 5} + 1}{(\sqrt{x^2 + 5} + 3)(\sqrt{x^2 + 12} + 4)} = 0 $

Do x > 0 nên VT > 0 = VF. Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.



#443086 1 số bài về tập xác định

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-08-2013 - 17:11 trong Các bài toán Đại số khác

Giải
Bài 1.
a) Hàm số xác định khi:
$\left\{\begin{matrix}\sin{\left (\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{4} \right )} \neq 0\\\tan{4x} \neq -1\\\cos{4x} \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq \dfrac{3\pi}{4} + 3k\pi\\x \neq \dfrac{-\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4}\\x \neq \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$
 
b) Hàm số xác định khi:
$\left\{\begin{matrix}\cos{\left (2x + \dfrac{\pi}{7} \right )} \neq 0\\\cos{4x} \neq 0\\\tan{4x} \neq \cos{2x}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq \dfrac{5\pi}{28} + \dfrac{k\pi}{2}\\x \neq \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{4}\\\tan{4x} \neq \cos{2x} \, (1)\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$
 
Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \cos{2x}\left ( \dfrac{2\sin{2x}}{\cos{4x}} - 1\right ) \neq 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos{2x} \neq 0\\2\sin{2x} - (1 - 2\sin^2{2x}) \neq 0\end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\\\sin{2x} \neq \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\\x \neq \dfrac{\arcsin{\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}}}{2} + k\pi\\x \neq \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\arcsin{\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}}}{2} + k\pi\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$
 
Bài 2.
a) $y = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\cos{4x} - \dfrac{2\tan{x}}{1 + \tan^2{x}}$
 
$y = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}(1 - 2\sin^2{2x}) - \sin{2x} = 2 + \sin^2{2x} - \sin{2x}$
 
$y = \sin^2{2x} - 1 - (\sin{2x} + 1) + 4 \leq 4$
 
Dấu "=" xảy ra khi $\sin{2x} = -1$
 
b) $y = \sin^2{\left ( \dfrac{15\pi}{8} - 4x\right )} - \sin^2{\left ( \dfrac{17\pi}{8} - 4x\right )}$
 
$= \dfrac{1 - \cos{\left ( \dfrac{15\pi}{4} - 8x\right )}}{2} - \dfrac{1 - \cos{\left ( \dfrac{17\pi}{4} - 8x\right )}}{2}$
 
$= \dfrac{1}{2}\left [ \cos{\left ( \dfrac{17\pi}{4} - 8x \right )} - \cos{\left ( \dfrac{15\pi}{4} - 8x\right )} \right ]$
 
$= - \sin{\dfrac{\pi}{4}}\sin{\left (4\pi - 8x \right )} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{8x} \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
 
Dấu "=" xảy ra khi $\sin{8x} = 1$
 
Bài 3.
a) $y = \sin^6{x} + \cos^6{x} = 1 - \dfrac{3}{4}\sin^2{2x} \geq \dfrac{1}{4}$
 
Dấu "=" xảy ra khi $\sin{2x} = \pm 1$
 
b) $y = 2(1 + \sin{2x}\sin{3x}) - \dfrac{1}{2}(\cos{4x} + \cos{6x})$
 
$= 2 + \cos{x} - \cos{5x} - \cos{x}\cos{5x} = (\cos{x} + 1)(1 - \cos{5x}) + 1 \geq 1$
 
Dấu "=" xảy ra khi $\cos{x} = -1$ hoặc $\cos{5x} = 1$
 
c) $y = \dfrac{\cot{x} - \tan{x}}{1 + \cos{4x}}$ 
 
$= \dfrac{\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}}{2\cos^2{2x}} = \dfrac{\cos{2x}}{2\sin{x}\cos{x}\cos^2{2x}}$
 
$= \dfrac{1}{\sin{2x}\cos{2x}} = \dfrac{2}{\sin{4x}}$
 
Do $x \in \left (0; \dfrac{\pi}{4} \right )$ nên $4x \in (0; \pi)$
 
Vậy $0 < \sin{4x} \leq 1$. Vậy: $y \geq 2$. Dấu "=" xảy ra khi $\sin{4x} = 1$



#317992 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-05-2012 - 21:55 trong Các dạng toán khác

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

Giải

Trong hệ tọa độ Oxy, chọn:
$A = (\dfrac{a}{2}; \dfrac{\sqrt{3}a}{2}); B = (b \,; 0); C = (\dfrac{c}{2}; \dfrac{-\sqrt{3}c}{2})$


Theo Bất đẳng thức 3 điểm, ta có:
$AB + BC \geq AC$


$\Rightarrow \sqrt{(b - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2})^2} + \sqrt{(b - \dfrac{c}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2} \geq \sqrt{(\dfrac{c}{2} - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2} + \dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2 - ab} + \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \geq \sqrt{a^2 + c^2 + ac}$

Dấu "=" xảy ra khi:
Vectơ BA cùng phương với vectơ BC.
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}} = \dfrac{\dfrac{c}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}c}{2}}$


$\Leftrightarrow \dfrac{a - 2b}{a} = \dfrac{c - 2b}{c} \Leftrightarrow 2b(a - c) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = c\\b = 0\end{array}\right.$


Do a, b, c là các số thực dương nên $b \neq 0$

Thế điều kiện a = c vào đẳng thức:
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc} = \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$$

Suy ra:
$2\sqrt{a^2 + b^2 - ab} = \sqrt{3a^2}$ $\Rightarrow a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \dfrac{a}{2} = \dfrac{c}{2}$



#448417 $x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} \\ x^...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 07-09-2013 - 13:47 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$

 

Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$

Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$

Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$

 

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$

Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$ 

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$




#381042 GPT: $\sqrt{x-2} +\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 27-12-2012 - 21:53 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải

ĐK: $2 \leq x \leq 4$
Phương trình tương đương:
$\sqrt{x - 2} - 1 + \sqrt{4 - x} - 1 - (2x^2 - 5x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + \dfrac{3 - x}{\sqrt{4 - x} + 1} - (x - 3)(2x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)\left[ \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{4 - x} + 1} -(2x + 1)\right] = 0$


$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 3 ™\\\dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = \dfrac{1}{\sqrt{4 - x} + 1} + (2x + 1) \,\, (2)\end{matrix}\right.$

Nhận thấy: $\forall \, 2 \leq x \leq 4 \Rightarrow VT_{(2)} \leq 1 < VF_{(2)}$

(2) vô nghiệm. Đồng nghĩa, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3.



#316904 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 TỈNH HẢI DƯƠNG

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 15-05-2012 - 22:25 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:
a, Hoành độ giao điểm (nếu có) của 2 đồ thị nói trên là nghiệm của phương trình:
$x^2 + 2mx - 3m = -2x + 3$
$\Leftrightarrow x^2 + 2x(m + 1) - 3m - 3 = 0 \,\,\, (1)$
Đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt dương.
Điều này đồng nghĩa với:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta' = (m + 1)^2 - (-3m - 3) > 0\\S = -(m + 1) > 0\\P = -3m - 3 > 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 2m + 1 + 3m + 3 > 0\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2 + 5m + 4 > 0\\m < - 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} m < -4\\m > -1\end{array}\right.\\m < -1\end{array}\right. \Leftrightarrow m < -4$

Vậy $\forall m < - 4$, đồ thị các hàm số ban đầu cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

b, Bất phương trình ban đầu tương đương:
$\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}10 - 2x < 0\\-x^2 + 8x - 12 \geq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}10 - 2x \geq 0\\-x^2 + 8x - 12 > (10 - 2x)^2\end{array}\right.\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\(x - 6)(x - 2) \leq 0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\-x^2 + 8x - 12 > 100 - 40x + 4x^2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x > 5\\2 \leq x \leq 6\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x \leq 5\\4 < x < \dfrac{29}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5 < x \leq 6\\4 < x \leq 5\end{array}\right. \Leftrightarrow 4 < x \leq 6$

Vậy, tập nghiệm của BPT là: T = (4; 6]$
Câu 2.

b, ĐK: $x \geq -1$
Ta có:
$2x^2 - 11x + 23 = 4\sqrt{x + 1}$

$\Leftrightarrow (2x^2 -11x + 15) - 4\sqrt{x + 1} + 8$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5) - 4.\dfrac{x - 3}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\2x - 5 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0 \,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(2) \Leftrightarrow 2x - 6 + (1 - \dfrac{4}{\sqrt{x + 1} + 2}) = 0$


$\Leftrightarrow 2(x - 3) + \dfrac{\sqrt{x + 1} - 2}{\sqrt{x + 1} + 2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)[2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2}] = 0$


$\Leftrightarrow x = 3$ (do $2 + \dfrac{1}{(\sqrt{x + 1} + 2)^2} > 0 \forall \, x \geq -1$)

Nói tóm lại, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3
Câu 3.
a,
Đặt $A(a; 0); B(0; b)$. (a; b > 0)
Do d cắt Ox tại A, cắt Oy tại B. Do đó, phương trình đường thẳng d có dạng:

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$

Mặt khác, d đi qua $M(1; 4)$, suy ra:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1$

Ta thây:
$1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} \geq \dfrac{4}{\sqrt{ab}} ( \forall \, a, b > 0)$


$\Rightarrow \sqrt{ab} \geq 4 \Leftrightarrow ab \geq 16$

Vì thế cho nên:
$S_{OAB} = \dfrac{|a|.|b|}{2} = \dfrac{ab}{2} \geq 8$

Kết luận: $Min_{S_{OAB}} = 8$


Dấu "=" xảy ra khi
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{4}{b}\\\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 2\\b = 8\end{array}\right.$

Khi đó: A(2; 0); B(0; 8)
b,
©: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$ có tâm I(2; -3); R = 3.
Ta thấy:
$IA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (- 2 + 3)^2 } = \sqrt{2} \leq 3 = R$

Do đó: A nằm trong đường tròn.

- Gọi M, N là các điểm bất kỳ trên đường tròn sao cho A, M, N thẳng hàng. M', N' là các điểm thuộc đường tròn thỏa mãn: M', A, N' thẳng hàng và IA vuông góc với M'N'.
Ta chứng minh được: $MN \geq M'N'$

Thật vậy:
- Dễ thấy: $\bigtriangleup MAM' \sim \bigtriangleup N'AN (g.g)$
Do đó: $AM.AN = AM'.AN' = AM'^2 = R^2 - IA^2 = 9 - 2 = 7$
- Suy ra:
$MN = MA + NA \geq 2\sqrt{MA.NA} = 2\sqrt{7}$

Kết luận: $Min_{MN} = 2\sqrt{7}$

Dấu "=" xảy ra khi M trùng M', N trùng N'.
Khi đó: PTĐT $\Delta$ là: $-(x - 1) +(y + 2) = 0 \Leftrightarrow y = x - 3$



#431580 2sin2x – cos2x =7sinx + 2 cosx – 4

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 29-06-2013 - 14:53 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải
Phương trình ban đầu tương đương:
$4\sin{x}\cos{x} + 2\sin^2{x} - 1 - 7\sin{x} - 2\cos{x} + 4 = 0$
 
$\Leftrightarrow (4\sin{x}\cos{x} - 2\cos{x}) + (2\sin^2{x} - 7\sin{x} + 3) = 0$
 
$\Leftrightarrow 2\cos{x}(2\sin{x} - 1) + (2\sin{x} - 1)(\sin{x} - 3) = 0$
 
$\Leftrightarrow (2\sin{x} - 1)(2\cos{x} + \sin{x} - 3) = 0$
 
:) Phương trình lượng giác cơ bản rồi nhỉ!



#447851 Cho HS: $y=\frac{x+1}{x-1} ( C )$.Tìm nhữn...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-09-2013 - 21:23 trong Hàm số - Đạo hàm

Giải

b) Đặt A$(0; y_o)$ là một điểm bất kỳ trên trục tung và k là hệ số góc của đường thẳng d.

Khi đó, d có dạng: $y = kx + y_o$

Để d là tiếp tuyến của (C) thì:
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x + 1}{x - 1} = kx + y_o\\\dfrac{-2}{(x - 1)^2} = k\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{­- 2x}{(x - 1)^2} + y_o$

$\Leftrightarrow x^2 – 1= - 2x + y_o(x - 1)^2 \Leftrightarrow (y_o - 1)x^2 -2x(y_o + 1) + y_o + 1 = 0 \, (1)$

Để có duy nhất một tiếp tuyến đến (C) thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất khác 1.

Khi đó:
$\left\{\begin{matrix}y_o – 1- 2(y_o + 1) + y_o + 1 \neq 0 (TM)\\\Delta’ = (y_o + 1)^2 – (y_o^2 - 1)  = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow y_o = -1$

Vậy: $A(0; - 1)$ là điểm thỏa mãn đề bài.

 

Chú ý rằng đường thằng có dạng x = k qua A, mà cụ thể là x = 0 không phải là tiếp tuyến của đường cong.