Giải

ĐK: $x \neq 0; \dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x}, x\sqrt{4356} ­ - x^2 \geq 0$

Nhận xét:
$\sqrt{x\left (\sqrt{x^2 + 4356} - x\right )} = \sqrt{\dfrac{4356x}{\sqrt{x^2 + 4356} + x}} = 66\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4356} + x}}$

Vậy, đặt: $t = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x}} \geq 0$, ta được:

$t - \dfrac{66}{t} = 5 \Leftrightarrow t^2 - 5t - 66 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t = 11\\t = -6\end{matrix}\right.$

Vì $t \geq 0$ nên $t = 11$. Suy ra:

$\dfrac{\sqrt{x^2 + 4356} + x}{x} = 121 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 4356} = 120x$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq 0\\14399x^2 = 4356\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{4356}{14399}}$ 

Ta có:
$\tan{(a + b)} = 2\tan{b}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sin{(a + b)}}{\cos{(a + b)}} = 2\dfrac{\sin{b}}{\cos{b}}$

$\Leftrightarrow \sin{(a + b)}.\cos{b} = 2\cos{(a + b)}.\sin{a}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ \sin{(2a + b)} + \sin{b}\right] = \sin{(2a + b)} - \sin{b}$

$\Leftrightarrow \sin{(2a + b)} = 3\sin{b}$

Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Bài 3.

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{2}{3}$

Bất phương trình tương đương:

$(x^2 - x - 2) + \left (\sqrt{x + 2} - \sqrt{3x - 2} \right ) \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 1) + \dfrac{4 - 2x}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}} \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left [ x + 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}}\right ] \leq 0$

Ta thấy, với $x \geq \dfrac{2}{3}$ thì $x + 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{3x - 2}} \geq \dfrac{10 - 3\sqrt{6}}{6} > 0$

Vậy, bất phương trình ban đầu tương đương: $x \leq 2$
Kết hợp điều kiện, ta có: $\dfrac{2}{3} \leq x \leq 2$

Bài 2

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{5}{3}$

Bất phương trình tương đương:
$2x\left (\sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3}\right ) < 5\left (\sqrt{2x + 9} - 3 \right )\left (\sqrt{2x + 9} + 3 \right )$

$\Leftrightarrow 2x\left (\sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3}\right ) < 10x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x - 5} + \sqrt{4x - 3} < 5$ (Do $x \geq \dfrac{5}{3}$)

$\Leftrightarrow (x - 3)\left ( \dfrac{3}{\sqrt{3x - 5} + 2} + \dfrac{4}{\sqrt{4x - 3} + 3}\right ) < 0$

$\Leftrightarrow x < 3$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $\dfrac{5}{3} \leq x < 3$

Bài 1.

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Nhận thấy: $\sqrt{2(x^2 - x + 1)} = \sqrt{2\left ( x - \dfrac{1}{2}\right )^2 + \dfrac{3}{2}} > 1$

Vậy: $1 - \sqrt{2(x^2 - x + 1)} < 0$

Bất phương trình tương đương:

$x - \sqrt{x} \leq 1 - \sqrt{2(x^2 - x + 1)}$
Do x = 0 không phải là nghiệm nên chia hai vế cho $\sqrt{x}$, ta được:
$\sqrt{x} - 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2\left ( x + \dfrac{1}{x} - 1\right )} \leq 0$

Đặt: $\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = t \Rightarrow t^2 + 2 = x + \dfrac{1}{x}$, ta được:
$t - 1 + \sqrt{2t^2 + 2} \leq 0$

Bạn tự giải tiếp nhé

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

Phương trình tương đương:
$3x(x - 2)(\sqrt{2x - 1} + 1) = (x - 2)(2x^2 - x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left [2x^2 - x + 2 – 3x(\sqrt{2x - 1} + 1)\right ] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\2x^2 - 4x + 2 – 3x\sqrt{2x - 1} = 0 \, (1)\end{matrix}\right.$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow 2x^2 - 3x\sqrt{2x - 1} - 2(2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2x + \sqrt{2x - 1})(x - 2\sqrt{2x - 1}) = 0$

Còn lại bạn tự giải nhé.

$$f(x) + m.\dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)} = (x - x_0).k(x)$$

Từ đó, giải các hệ thu được.

VD: Giải hệ:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1 - x^{1000}}(y + 2) = 1 \,\, (1)\\x^3 + x^2y + x^2 + y = x - 1 \,\, (2)\\(x + 1)^2 + 5y + 3xy^2 + 4 = 0\,\, (3)\end{array}\right.$

Giải

Giải

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ.

Do đó:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra:
$$y^2 = \dfrac{5 - x^3}{3x}$$

Thế vào (2), ta được:
$x^2 + \dfrac{5 - x^3}{3x} - 13x + 3 + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x^3 - 39x^2 + 9x + 5}{3x} + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2x - 1)(x^2 - 19x - 5)}{3x} - 5y(2x - 1) = 0$

$\Rightarrow (2x - 1)\left[\dfrac{x^2 - 19x - (x^3 + 3xy^2)}{3x} - 5y \right] = 0$

$\Leftrightarrow (2x - 1)\dfrac{- x + 19 + x^2 + 3y^2 + 15y}{3} = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x^2 - x + 3y^2 + 15y + 19 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\(x - \dfrac{1}{2})^2 + 3(y + \dfrac{5}{2})^2 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{-5}{2}\end{array}\right. (KTM)\end{array}\right.$

Với $x = \dfrac{1}{2}$, từ (1), suy ra: $y = \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

Thử lại, ta nhận cả 2 cặp nghiệm nói trên.

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm: $(x; y) = { (\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{13}}{2}); (\dfrac{1}{2}; \dfrac{- \sqrt{13}}{2})} $

Điểm bài: 10

Mình có ý kiến về đoạn này, có thể chứng minh ngắn hơn: $\left\{\begin{matrix} AD=AB=AC\\ MB=MC=MD \end{matrix}\right.$

nên $AM$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Từ đó $AM$ vuông với $(BCD)$

Ừ! Tớ chưa được về cái đó Dù sao cũng cảm ơn cậu nhé!

Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: (d): $y = kx + m$

Tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là: $M(x_o; y_o)$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\kx_o + m = \dfrac{2x_o}{x_o + 2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}k = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}\\m = \dfrac{2x_o^2}{x_o + 2}\end{matrix}\right.$

Khi đó: (d) có phương trình: $y = \dfrac{4}{(x_o + 2)^2}x + \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2}$

Khoảng cách từ A đến (d) được xác định bằng:
$d_{(A; (d))} = \dfrac{|-2k - 2 + m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

$\Rightarrow d^2_{(A; (d))} = \dfrac{(2k - m + 2)^2}{k^2 + 1} = \dfrac{\left ( \dfrac{8}{(x_o + 2)^2} - \dfrac{2x_o^2}{(x_o + 2)^2} + 2\right )^2}{\dfrac{16}{(x_o + 2)^4} + 1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{192}{25} = \dfrac{64(x_o + 2)^2}{(x_o + 2)^4 + 16}$

Đặt $a = (x_o + 2)^2$, ta được:
$\dfrac{3}{25} = \dfrac{a}{a^2 + 16} \Leftrightarrow 3a^2 - 25a + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = \dfrac{16}{3}\\a = 3\end{matrix}\right.$

Việc còn lại là thay vào Bạn thử kiểm tra lại kết quả cái nhé.

Giải

$$sin2x-12(sinx-cosx)+12=0$$

Giải

Giải

Phương trình tương đương:
$\left [ (x - 1)(x + 5)\right ]\left [ (x + 1)(x + 3)\right ] = m$
$\Leftrightarrow (x^2 + 4x - 5)(x^2 + 4x + 3) = m$

Đặt $a = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \geq 0$, ta được:
$(t - 9)(t - 1) = m \Leftrightarrow t^2 - 10t + 9 - m = 0 \, (1)$

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm thực phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là:
$\left\{\begin{matrix}\Delta = (- 5)^2 - (9 - m) > 0\\S = 10 > 0 (TM)\\P = 9 - m > 0\end{matrix}\right.$

Bạn tự giải tiếp nhé

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải

Giải