Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Phạm Hữu Bảo Chung nội dung

Có 549 mục bởi Phạm Hữu Bảo Chung (Tìm giới hạn từ 11-07-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#280272 Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-10-2011 - 19:49 trong Đại số

Cho các số dương x, y, z thoả mãn: $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz} = 1$
Tính giá trị biểu thức: $P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$

Giải


Ta có: $x + 1 = x + \sqrt{xy} + \sqrt{xz} + \sqrt{yz} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
$= (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})$

Tương tự:
$y + 1 = (\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})$

$z + 1 = (\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})$

Do đó:
$P = \sqrt{(1 + x)(1 + y)(1 + z)}.(\dfrac{\sqrt{x}}{1 + x} + \dfrac{\sqrt{y}}{1 + y} + \dfrac{\sqrt{z}}{1 + z})$

$P = \sqrt{[(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})]^2}.(\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})})$

$P = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})(\sqrt{y} + \sqrt{z})[\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} + \sqrt{z})} + \dfrac{\sqrt{z}}{(\sqrt{z} + \sqrt{x})(\sqrt{z} + \sqrt{y})}]$

$P = \sqrt{x}(\sqrt{y} + \sqrt{z}) + \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{z}) + \sqrt{z}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

$P = 2(\sqrt{xy} + \sqrt{zx} + \sqrt{yz}) = 2$



#280975 Phương trình

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 31-10-2011 - 23:22 trong Đại số

Bạn chú ý bất đẳng thức sau:
Với $a, b \geq 0$ thì: $a + b \leq \sqrt{2( a^2 + b^2}$
Bình phương hai vế để chứng minh nhé.



#281120 Phân thức 8

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 01-11-2011 - 22:52 trong Đại số

1) Cho: $ax+by=c, bx+cy=a, cx+ay=b$
CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Giải






Cộng vế theo vế 3 đẳng thức ở trên, ta được:
$(ax + by) + (bx + cy) + (cx + ay) = a + b + c$

$\Leftrightarrow x( a + b + c ) + y(a + b + c) = a + b + c $

$\Leftrightarrow (a + b + c)(x + y - 1 ) = 0$

- Nếu a + b + c = 0

$\Leftrightarrow a + b = -c \Leftrightarrow (a + b)^3 = -c^3$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = -c^3 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = -3ab.(-c) = 3abc$

Suy ra điều phải chứng minh.

- Nếu x = 1 - y, thế vào phương trình thứ nhất, ta được: $a(1 - y) + by = c$

$\Leftrightarrow y.(b - a) = c - a (1)$
Tương tự sẽ có: $y.(c - b) = a - b (2); y.(a - c) = b - c (3)$

+ Nếu a = b = c; suy ra: $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

+ Nếu a, b, c đôi một khác nhau thì nhân (1); (2); (3) vế theo vế, ta sẽ tính được : y = - 1. Khi đó x = 2. Từ đó suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}2a - b = c \\2b - c = a\\2c - a = b \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{b + c}{2}\\a = 2c - b\end{array}\right. $

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{b + c}{2} = 2c - b\\a = \dfrac{b + c}{2}\end{array}\right. \Rightarrow a = b = c \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

Nói tóm lại là với:
$ax+by=c$, $bx+cy=a$, $cx+ay=b$
Thì $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$



#281126 GIAI HO. PHUONG TRINH KHO'

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 01-11-2011 - 23:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$2^{X} + 2\sqrt{7-2^{X}} = 2\sqrt{2^{X}-1} + \sqrt{-4^{X}+8.2^{X}-7}+1$

Giải




ĐK: $1 \leq 2^X \leq 7$
Đặt $\sqrt{2^X – 1} = a; \sqrt{7 - 2^X} = b (a, b \geq 0)$.
Phương trình ban đầu tương đương:
$(2^X - 1) + 2\sqrt{7 - 2^X} = 2\sqrt{2^X - 1} + \sqrt{(7 - 2^X)(2^X - 1)}$

$\Leftrightarrow a^2 + 2b = 2a + ab \Leftrightarrow (a – b)(a - 2) = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a = b\\a = 2\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{2^X - 1} = \sqrt{7 - 2^X}\\\sqrt{2^X - 1} = 2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2^X - 1 = 7 - 2^X\\2^X - 1 = 4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2^X = 4\\2^X = 5\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X = 2\\X = …\end{array}\right.$
Chỗ $2^X = 5$ em không hiểu gì hết (Em đang học lớp 10). Không biết có phải :
$x = \dfrac{\log{5}}{\log{2}}$



#281467 Hình học 9

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-11-2011 - 05:25 trong Hình học

Hình đã gửi
Ta thấy:

$AM^2 = AH^2 + HM^2 = AB^2 - BH^2 + HM^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Tương tự:

$AM^2 = AH^2 + HM^2 = AC^2 - HC^2 + HM^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:
$2AM^2 = c^2 + b^2 - (BH^2 + CH^2 - 2HM^2)$

Mặt khác, ta thấy:
$BH^2 + CH^2 - 2HM^2 = (BM - HM)^2 + (CM + HM)^2 - 2HM^2 $

$= BM^2 - 2BM.HM + HM^2 + CM^2 + 2CM.HM + HM^2 - 2HM^2$

$= (BM^2 + CM^2) - 2HM(BM - CM) = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{a^2}{2}$

Do đó: $2AM^2 = b^2 + c^2 - \dfrac{a^2}{2} $
$\Rightarrow AM^2 = \dfrac{b^2 + c^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}$



#283028 CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-11-2011 - 08:02 trong Đại số

a, $4x^4 + y^4 = (2x^2)^2 + 4x^2y^2 + (y^2)^2 - 4x^2y^2 $

$= (2x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (2x^2 + y^2 - 2xy)(2x^2 + y^2 + 2xy)$

c, $4x^4 + 1 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x +1)$
(Áp dụng câu a với y = 1)
Tổng quát
Với những biểu thức có dạng:

$A^{4m} + B^{4n}$



Ta phân tích như sau:

$A^{4m} + B^{4n} $

$= (A^{2m})^2 + 2.A^{2m}.B^{2n} + (B^{2n})^2 - 2.(A^{m}.B^{n})^2$

$= (A^{2m} + B^{2n} )^2 - (\sqrt{2}.A^{m}.B^{n})$

$= (A^{2m } - \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})(A^{2m} + \sqrt{2}.A^{m}.B^{n} + B^{2n})$

Câu a áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = y; m = 1; n = 1.
Câu c áp dụng với A = $\sqrt{2}x$; B = 1; m = 1; n = 1

b, $x^5 + x^4 + 1 = (x^5 + x^4 + x^3) - (x^3 + x^2 + x) + x^2 + x + 1$

$= x^3(x^2 + x + 1) - x(x^2 + x + 1) + x^2 + x + 1$

$= (x^2 + x + 1)(x^3 - x + 1)$

d, $x^8 + x^7 + 1 $

$= (x^8 + x^7 + x^6) - (x^6 + x^5 + x^4) + x^5 + x^4 + x^3 - (x^3 - 1)$

$ = (x^6 - x^4 + x^3)( x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$ = (x^2 + x + 1)(x^6 - x^4 + x^3 - x + 1)$

e, $x^7 + x^5 + 1 $

$ = (x^7 + x^6 + x^5 ) - (x^6 - 1) = x^5(x^2 + x + 1) - (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

$= x^5(x^2 + x + 1) - [(x - 1)(x^3 + 1)](x^2 + x + 1)$

$= (x^2 + x + 1)(x^5 - x^4 + x^3 - x + 1)$



#283039 $\dfrac{3a^{2}+4ab}{5a^{2}-7b^{2}}= \dfrac{3c^{2}+4cd}{5c^{2}-...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 13-11-2011 - 09:31 trong Đại số

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(3a^2 + 4ab)(5c^2 - 7d^2) = (3c^2 + 4cd)(5a^2 - 7b^2)$

$\Leftrightarrow 15a^2c^2 - 21a^2d^2 + 20abc^2 - 28abd^2 = 15a^2c^2 -21b^2c^2 + 20a^2cd - 28b^2cd $

$\Leftrightarrow 20abc^2 - 21a^2d^2 - 28abc^2 = 20a^2cd - 21b^2c^2 - 28b^2cd$

Từ đẳng thức: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$
Ta có:
$VT = 20abc^2 - 21a^2d^2 - 28abd^2 $

$= 20ac.bc - 21(ad)^2 - 28ad.bd = 20ac.ad - 21(bc)^2 - 28bc.bd$

$= 20a^2cd - 21b^2c^2 - 28b^2cd = VF$

Vậy, ta có đpcm. (Hơi quá sức với lớp 7)



#284084 Bài toán chia tỉ lệ

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-11-2011 - 05:25 trong Đại số

Bài 1 : Số M được chia thành 3 số tỉ lệ 2/5:3/4:1/6 . Biết tổng các bình phương của 3 số đó là 24309. Tìm số M?

Giải

Gọi 3 số đó lần lượt là a, b, c (a, b, c cùng dấu).
Dễ thấy:

$a^2 + b^2 + c^2 = 24309$

Theo bài ra ta có:
$\dfrac{a}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{b}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{c}{\dfrac{1}{6}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{\dfrac{4}{25}} = \dfrac{b^2}{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{c^2}{\dfrac{1}{36}} = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{\dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{1}{36}} = 32400$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{a^2}{\dfrac{4}{25}} = 32400\\\dfrac{b^2}{\dfrac{9}{16}} = 32400\\ \dfrac{c^2}{\dfrac{1}{36}} = 32400\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2 = 5184\\b^2 = 18225\\c^2 = 900\end{array}\right.$

Đến đây tùy theo từng khối lớp sẽ có cách giải riêng.
Nếu là lớp 7 thì nhận các giá trị (a; b; c) = (72; 135; 30). Khi đó: M = 237
Nếu là lớp 9 thì nhận các giá trị (a; b; c) = (72; 135; 30) = (-72; -135; -30). Khi đó M = 237 hoặc M = -237



#284085 Cho $b > a > 0$ và $2{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} = 5{...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 19-11-2011 - 05:36 trong Đại số

Cho b > a > 0 và 2a2 + 2b2 = 5ab. Tính $\dfrac{{a + b}}{{a - b}}$

Giải

Ta có:
$2a^2 + 2b^2 = 5ab \Leftrightarrow (2a^2 - 4ab) - (ab - 2b^2) = 0$
$\Leftrightarrow (2a - b)(a - 2b) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = 2b\\b = 2a\end{array}\right.$


Do b > a > 0 nên 2b > a. Do đó chỉ có trường hợp b = 2a.
Thay b = 2a vào biểu thức cần tính, dễ thấy giá trị nhận được là -3.



#284768 Xôn xao câu chuyện bi thảm về người nữ tài xế xe bus

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-11-2011 - 21:31 trong Góc giao lưu

Câu chuyện được cư dân trên Facebook và các trang mạng xã hội chia sẻ cực nhiều trong một hai ngày gần đây. Nội dung có một vài dị bản, nhưng sự khác nhau là không nhiều, đại ý như sau:

"Một chiếc xe bus chở đầy khách đang chạy trên đường đồi. Giữa đường, ba thằng du côn có vũ khí để mắt tới cô lái xe xinh đẹp. Chúng bắt cô dừng xe và muốn ìvui vẻ” với cô. Tất nhiên là cô lái xe kêu cứu, nhưng tất cả hành khách trên xe chỉ đáp lại bằng sự im lặng.

Lúc ấy một người đàn ông trung niên nom yếu ớt tiến lên yêu cầu ba tên du côn dừng tay; nhưng ông đã bị chúng đánh đập. ông rất giận dữ và lớn tiếng kêu gọi các hành khách khác ngăn hành động man rợ kia lại nhưng chẳng ai hưởng ứng. Và cô lái xe bị ba tên côn đồ lôi vào bụi rậm bên đường.

Một giờ sau, ba tên du côn và cô lái xe tơi tả trở về xe và cô sẵn sàng cầm lái tiếp tục lên đường… - ìNày ông kia, ông xuống xe đi!” cô lái xe la lên với người đàn ông vừa tìm cách giúp mình. Người đàn ông sững sờ, nói: - ìCô làm sao thế? Tôi mới vừa tìm cách cứu cô, tôi làm thế là sai à?” -ìCứu tôi ư? ông đã làm gì để cứu tôi chứ?” Cô lái xe vặn lại, và vài hành khách bình thản cười. Người đàn ông thật sự tức giận. Dù ông đã không có khả năng cứu cô, nhưng ông không nên bị đối xử như thế chứ. ông từ chối xuống xe, và nói: ìTôi đã trả tiền đi xe nên tôi có quyền ở lại xe.” Cô lái xe nhăn mặt nói: ìNếu ông không xuống, xe sẽ không chạy.”

Điều bất ngờ là hành khách, vốn lờ lảng hành động man rợ mới đây của bọn du côn, bỗng nhao nhao đồng lòng yêu cầu người đàn ông xuống xe, họ nói: - ìông ra khỏi xe đi, chúng tôi có nhiều công chuyện đang chờ và không thể trì hoãn thêm chút nào nữa!”. Một vài hành khách khỏe hơn tìm cách lôi người đàn ông xuống xe.

Ba tên du côn mỉm cười với nhau một cách ranh mãnh và bình luận: -ìChắc tụi mình đã phục vụ cô nàng ra trò đấy nhỉ!” Sau nhiều lời qua tiếng lại, hành lý của người đàn ông bị ném qua cửa sổ và ông bị đẩy ra khỏi xe. Chiếc xe bus lại khởi tiếp hành trình. Cô lái xe vuốt lại tóc tai và vặn radio lên hết cỡ.

Xe lên đến đỉnh đồi và ngoặt một cái chuẩn bị xuống đồi. Phía tay phải xe là một vực thẳm sâu hun hút. Tốc độ của xe bus tăng dần. Gương mặt cô lái xe bình thản, hai bàn tay giữ chặt vô lăng. Nước mắt trào ra trong hai mắt cô. Một tên du côn nhận thấy có gì không ổn, hắn nói với cô lái xe: ìChạy chậm thôi, cô định làm gì thế hả?”. Tên du côn tìm cách giằng lấy vô lăng, nhưng chiếc xe bus lao ra ngoài vực như mũi tên bật khỏi cây cung. Hôm sau, báo địa phương loan tin một tai nạn bi thảm xảy ra ở vùng ìPhục Hổ Sơn”. Một chiếc xe cỡ trung rơi xuống vực, tài xế và 13 hành khách đều thiệt mạng.

Người đàn ông đã bị đuổi xuống xe đọc tờ báo và khóc. Không ai biết ông khóc cái gì và vì sao mà khóc!".



#284775 Hình học lớp 6

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-11-2011 - 21:52 trong Hình học

Lưu ý: Post đúng box: Bài hình nên đưa vào box Hình học. Tên topic không nên dùng các tiêu đề như: help, giúp… và Help chứ không phải Hepl

Giải

Bài 1.
Kẻ Bz // Ax. Dễ thấy: $\widehat{ABz} = 40^o$
( Hai đường thẳng song song có hai góc trong cùng phía bù nhau).
Ta có:
$\widehat{CBz} = \widehat{CBA} - \widehat{ABz} = 70^o – 40^o = 30^o$

Ta thấy:
$\widehat{BCy} + \widehat{CBz} = 150^o + 30^o = 180^o \Rightarrow Bz // Cy$.

Mà Bz // Ax. Do đó: Ax // Cy
Tương tự bài 2 chính là trường hợp tổng quát của bài này. Chúc bạn giải thành công.



#284786 Đại số

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 23-11-2011 - 22:43 trong Đại số

Bài 2. Rút gọn: $C= \dfrac{x^{24}+x^{20}+x^{16}+....+x^4+1}{x^{26}+x^{24}+x^{22}+x^{20}+...+x^4+x^2+1}$

Giải

Đặt: $X = x^{24}+x^{20}+x^{16}+....+x^4+1$
Dễ thấy:
$MS = x^{26}+x^{24}+x^{22}+x^{20}+...+x^4+x^2+1 = (x^{26} + x^{22} + … + x^2) + (x^{24} + x^{20} + … + x^4 + 1) $


$= x^2.(x^{24} + x^{20} + … + x^4 + 1) + x^{24} + x^{20} + … + x^4 + 1 = X(x^2 + 1)$
Do đó:
$C = \dfrac{X}{X(x^2 + 1)} = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

Bài 3. Cho biết: $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\neq 0$
Rút gọn $D=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(ax+by+cz)^2}$

Giải

Ta có:
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c} = \dfrac{x^2}{ax}=\dfrac{y^2}{by}=\dfrac{z^2}{zc}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{x^2}{ax}=\dfrac{y^2}{by}=\dfrac{z^2}{zc} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2 }{ax + by + cz}$

Ta lại có:
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c} = \dfrac{ax}{a^2}=\dfrac{yb}{b^2}=\dfrac{zc}{c^2} $

Lại Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$\dfrac{ax}{a^2}=\dfrac{yb}{b^2}=\dfrac{zc}{c^2} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$

Dễ thấy:
$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2 }{ax + by + cz} = \dfrac{ax + by + cz}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\Rightarrow D = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(ax + by + cz)^2} = \dfrac{1}{a^2 + b^2 + c^2}$



#285306 Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 26-11-2011 - 22:02 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 1 (tiếp theo phần giải của Ispectorgadget)
$x^3 + \sqrt{3}x^2 + x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow x^3 + 3.x^2.\dfrac{1}{\sqrt{3}} + 3.x.(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\dfrac{1}{\sqrt{3}})^3 = \dfrac{10}{\sqrt{27}}$

$\Leftrightarrow (x + \dfrac{1}{\sqrt{3}})^3 = \dfrac{10}{\sqrt{27}}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt[3]{10} - 1}{\sqrt{3}} (tm)$



#285340 Giải $\sqrt{x^2 + 91} =\sqrt{x-2} + x^2$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 27-11-2011 - 07:34 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2 + 91} =\sqrt{x-2} + x^2$

Cách 2:
ĐK: $x \geq 2$
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{x^2 + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^2 - 9$


$\Leftrightarrow \dfrac{(\sqrt{x^2 + 91})^2 - 10^2}{\sqrt{x^2 + 91} + 10} = \dfrac{(\sqrt{x - 2})^2 - 1}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)[\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}] = (x - 3)[\dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} + x + 3]$

$\Leftrightarrow (x - 3)[\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}- \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - (x + 3)] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}- \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - (x + 3) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array}\right.$

Phương trình (1) tương đương:
$(x + 3)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 91} + 10} - 1] - \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = 0$


$\Leftrightarrow (x + 3)[\dfrac{- \sqrt{x^2 + 91} - 9}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}] - \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = 0 $

Do $x \geq 2 \Rightarrow VT < 0 = VF$
Vậy (1) vô nghiệm. Phương tình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3



#285434 Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 27-11-2011 - 16:21 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 2: (Xin lỗi mình chỉ có thể làm được cách này thôi)

Giải

$\left\{\begin{array}{l}x^3 + y^3 = 1\\x^5 + y^5 = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 1\\(x^3 + y^3 )(x^2 + y^2) - x^2y^2(x + y) = 1\end{array}\right. \,\,\,\,\,\,\,\,\, (I)$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array}\right. (S^2 \geq 4P; S \neq 0)$

Hệ phương trình (I) tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}S(S^2 - 3P) = 1\\S^2 - 2P - P^2S = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P = \dfrac{S^3 - 1}{3S} \,\,\,\,\, (1)\\S^2 - 2P - P^2S = 1 \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Do $P \leq \dfrac{S^2}{4}\Rightarrow \dfrac{S^3 - 1}{3S} \leq \dfrac{S^2}{4}$
Giải bất phương trình này, ta được: $S \in (0; \sqrt[3]{4}]$

Thế (1) vào (2), ta có:
$S^2 - 2\dfrac{S^3 - 1}{3S} - (\dfrac{S^3 - 1}{3S})^2.S = 1$


$\Leftrightarrow S^2 - \dfrac{2S^3 - 2}{3S} - \dfrac{S^6 - 2S^3 + 1}{9S} = 1 $

$\Leftrightarrow S^6 - 5S^3 + 9S - 5 = 0 \Leftrightarrow (S - 1)^3(S^3 + 3S^2 + 6S + 5) = 0$
(Đoạn này do áp dụng sơ đồ Hoocne nên phân tích như trên)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}S = 1\\S^3 + 3S^2 + 6S + 5 = 0\,\,\,\,\, (3)\end{array}\right.$

Do S > 0 nên VT(3) > 0 hay (3) vô nghiệm.

Do S = 1 nên P = 0. Từ đó suy ra cặp nghiệm (x; y) = (0; 1); (1; 0)



#286480 [Hỏi]

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-12-2011 - 07:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Cho:
$\left\{\begin{matrix} mx+y=2m& \\x+my=m+1 & \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên m để hệ phương trình trên có có nghiệm duy nhất với x, y là số nguyên

Giải

* m = 0. Hệ phương trình có nghiệm x = 1; y = 0.
* $m \neq 0$, hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}mx + y = 2m\\mx + m^2y = m(m + 1)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m^2 - 1)y = m(m + 1) - 2m\\x + my = m + 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(m - 1)(m + 1)y = m(m - 1)\\x = m + 1 - my\end{array}\right. \,\,\,\,\,\,\,\, (II)$

- Nếu m = 1, hệ (II) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}0y = 0\\x = 2 - y\end{array}\right.$
Hệ có vô số cặp nghiệm nguyên (x; y) = (2 - t; t)

- Nếu $m \neq 1$, hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}y = \dfrac{m }{m + 1}\\x = m + 1 - m.\dfrac{m }{m + 1} = \dfrac{2m + 1}{m + 1} = 1 + y\end{array}\right.$


Do đó $y \in Z \Rightarrow x \in Z$.
Ta thấy: $y \in Z \Leftrightarrow \dfrac{m}{m + 1} \in Z \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{m + 1} \in Z$

$\Rightarrow m + 1 \in U_{(1)} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} m + 1 = 1\\m + 1 = -1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 (Loai)\\m = - 2 (tm)\end{array}\right.$

Nói tóm lại, hệ có nghiệm nguyên khi vào chỉ khi: m = 0; m = 1; m = -2



#286513 giúp mình giải bài hình lớp 10 này với?! c/m thẳng hàng nè

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 04-12-2011 - 13:03 trong Hình học phẳng

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho:

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{CP}{CD} = \dfrac{1}{3}$

Trên AN lấy điểm E thỏa mãn: $\dfrac{AE}{AN} = k$. Tìm k để M, P, E thẳng hàng.

Giải

Đặt
Vectơ AB = Vectơ DC = $\vec{a}$.
Suy ra: Vectơ AM = Vectơ PC = $\dfrac{1}{3}.\vec{a}$
Vectơ BC = $\vec{b}$
Suy ra: Vectơ BN = $\dfrac{1}{3}.\vec{b}$

Do: $\dfrac{AE}{AN} = k \Rightarrow \dfrac{Vecto(AE)}{Vecto(AN)} = k$
(Điều này luôn đúng với hai vectơ cùng hướng)

$\Leftrightarrow Vecto(NE) = (k - 1).Vecto(AN)$

Ta thấy:
$Vecto(ME) = Vecto(MB) + Vecto(BN) + Vecto(NE) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1).Vecto(AN)$


$= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[Vecto(AB) + Vecto(BN)] = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[\vec{a} + \dfrac{1}{3}.\vec{b}]$

$= \vec{a}(k - 1 + \dfrac{2}{3}) + \vec{b}[\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(k - 1)]$

$= \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b}$

Lại có:
$Vecto(MP) = Vecto(MB) + Vecto(BC) + Vecto(CP) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a} $


$= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$

M, P, E thẳng hàng khi và chỉ khi:
$Vecto(ME) = x.Vecto(MP) (x \in R) \Rightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b} = x(\dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b})$


$\Leftrightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3}) + \vec{b}(\dfrac{k}{3} - x) = \vec{0} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3} = 0\\\dfrac{k}{3} - x = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3k - x - 1 = 0\\k = 3x\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\k = \dfrac{3}{8}\end{array}\right.$

Vậy $k = \dfrac{3}{8}$ thì M, P, E thẳng hàng.

P/S: Mình không giỏi phần vectơ lắm. Một số chỗ trong bài làm, để đảm bảo tính "thẩm mỹ" thì mình viết Vecto(XY) thay vì viết bằng mũi tên trên đầu vectơ.



#287660 $x^{3}-3x^{2}-8x +40 -8\sqrt[4]{4x+4} =0$

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-12-2011 - 08:48 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Bài 3:
Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x = 0\\xy + y^2 +3y +1 = 0\end{array}\right.$$

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$$\left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x= 0\\2xy + 2y^2 +6y +2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 +2xy +2y^2 +3x + 2xy + 2y^2 +6y +2 = 0\\xy + y^2 +3y +1 = 0\end{array}\right.$$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x^2 + 4xy + 4y^2) + (3x + 6y) + 2 = 0\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + 2y)^2 + 3(x + 2y) + 2 = 0\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x + 2y = -1\\x + 2y = -2\end{array}\right.\\xy + y^2 + 3y + 1 = 0\end{array}\right. $


Đến đây thì chắc là Hà làm được rồi nhỉ. Dạo này, mình thường hay mắc lỗi sai ở những chỗ không đáng như giải hệ đẳng cấp hay phương trình bậc hai có chứa căn. Thiệt tình!!!



#289989 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Chứng minh: $\dfrac{a-1}{a}+...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 24-12-2011 - 21:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c dương sao cho a + b + c = 6 chứng minh:
$\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{b-1}{b}+\dfrac{c-4}{c}\leq \dfrac{1}{3}$

Giải


$\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{b-1}{b}+\dfrac{c-4}{c} \leq \dfrac{1}{3} = 3 - (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{4}{c})$

$\leq 3 - \dfrac{(1 + 1 + 2)^2}{a + b + c} = \dfrac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi :
$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{2}{c}\\a + b = c = 6\end{array}\right. \Rightarrow a = b = \dfrac{3}{2}; c = 3$



#293338 Cho $a,b,c: a+b+c=1$. Chứng minh $$a+b+2c\geq (1-b)(...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 11-01-2012 - 15:32 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c$ dương có tổng là 1. CM: $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Giải

BĐT nói trên tương đương với:

$1 + c \geq 4(b + c)(a + c)(1 - c)$

Ta thấy: $VF \leq 4.[\dfrac{b + c + a + c}{2}]^2( 1 - c)$

$ = (a + b + c + c)^2(1 - c) = (c + 1)^2(1 - c) = (c + 1)(1 - c^2)$

Do a + b + c = 1 và a, b, c > 0 nên c < 1. Suy ra : $1 - c^2 < 1$

Do đó: $VF < c + 1 = VT$.
Dấu "=" ở BĐT không xảy ra.



#293527 ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TRƯỜNG THPT KỲ LÂM NĂM 2011 - 2012

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-01-2012 - 19:11 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THPT KỲ LÂM NĂM 2011 - 2012

Môn thi: Toán 10 - Thời gian: 150 phút


Câu 1. Giải các phương trình:
a, $\sqrt{x} + \sqrt[4]{17 - x^2} = 3$
b, $1 + x - 2x^2 = \sqrt{4x^2 - 1} - \sqrt{2x + 1}$

Câu 2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}xy + y^2 + x = 7y\\\dfrac{x^2}{y} + x = 12\end{array}\right.$


Câu 3. Xét tất cả các tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c $ sao cho a < b và $f(x) \geq 0 \forall x$. Tìm GTNN:
$$M = \dfrac{a + b + c}{b - a}$$

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ cho A(-2; -1), B(2; -4)
a, Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho vecto OA và vecto CB cùng phương.
b, Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho $\widehat{MBA} = 45^{o}$

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} \geq 30$



#294565 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 18-01-2012 - 22:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 114. Ta thấy: $a + b + c = 0 \Rightarrow b = -a - c.$
Ta có:
$VT = ab + 2bc + 3ac = a(- a - c) + 2(- a - c).c + 3ac = -a^2 - 2c^2 \leq 0 = VF$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 0.

___
Sr nhé bài 115 tớ gõ nhầm đề :P



#299165 CM:\[\frac{8}{{17}} \le 2\left( {{x^4} + {y^4}} \rig...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 12-02-2012 - 22:20 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Giải (Biến đổi tương đương)
Ta có:
$xy + 1 = 2(x^2 + y^2) \geq 4xy\Leftrightarrow xy \leq \dfrac{1}{3}$
Bình phương hai vế của giả thiết ban đầu, ta được:
$4(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = x^2y^2 + 2xy + 1$


$\Leftrightarrow -7x^2y^2 + 2xy + 1 = 4(x^4 + y^4) \geq 8x^2y^2 \Leftrightarrow 15x^2y^2 - 2xy - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow (5xy + 1)(3xy - 1) \leq 0 \Rightarrow \dfrac{-1}{5} \leq xy \leq {1}{3}$

Ta có: $S = 2(x^4 + y^4) + 12x^2y^2 = \dfrac{-7x^2y^2 + 2xy + 1}{2} + 12x^2y^2 = \dfrac{17x^2y^2 + 2xy + 1}{2}$

$= \dfrac{17^2x^2y^2 + 2.17.xy + 1 + 16}{2.17} = \dfrac{(17xy + 1)^2 + 16}{2.17} \geq{8}{17}$
Dấu "=" xảy ra khi $xy = \frac{-1}{17}$. Bạn thế vào giả thiết rồi dùng Viets giải ra nghiệm.

Ta cần CM: $S = \dfrac{17x^2y^2 + 2xy + 1}{2} \leq \dfrac{16}{9}$

$\Leftrightarrow 153x^2y^2 + 18xy + 9 \leq 32 \Leftrightarrow (51xy + 23)(3xy - 1) \leq 0$

Do $xy \leq \dfrac{1}{3}$ và $xy \geq \dfrac{-1}{5} > \dfrac{-23}{51}$ nên BĐT cần chứng minh đúng.
Dấu "=" xảy ra khi $xy = \dfrac{1}{3}$. Tương tự, thế vào giả thiết rồi giải ra nghiệm.



#299313 Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-02-2012 - 00:00 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 26. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{array}{1}2x - y - xy^2 = 2xy(1 - x) \,\,\,\,\,\, (1) \\(x^2 + 2y^2)(1 + \dfrac{1}{xy})^2 = 9 \,\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$$

Giải

ĐK: $x, y \neq 0$
Ta có:
$(1) \Leftrightarrow 2x + 2x^2y = 2xy + y + xy^2 \Leftrightarrow 2x(1 + xy) = y(2x + 1 + xy)$


Do $xy \neq 0$, chia hai vế phương trình cho xy, ta có:
$2.\dfrac{xy + 1}{y} = \dfrac{2x + 1 + xy}{x}$


$\Leftrightarrow 2(x + \dfrac{1}{y}) = 2 + (\dfrac{1}{x} + y)$

Mặt khác:
$(2) \Leftrightarrow [x.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 + 2[y.(1 + \dfrac{1}{xy})]^2 = 9$


$\Leftrightarrow (x + \dfrac{1}{y})^2 + 2(y + \dfrac{1}{x})^2 = 9$

Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{y} = A\\y + \dfrac{1}{x} = B\end{array}\right.$

Hệ phương trình ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}2A = 2 + B\\A^2 + 2B^2 = 9\end{array}\right.$


Hệ phương trình này dễ dàng giải được. Từ đó, ta suy ra nghiệm cần tìm.



#299419 Cho x,y,z>0 t/m:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ CMR:$xy+yz+xz+9...

Đã gửi bởi Phạm Hữu Bảo Chung on 14-02-2012 - 21:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z > 0 t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$
CMR: $xy+yz+xz+9 \geq 4(x+y+z)$

Giải


Áp dụng BĐT Côsi (AM - GM) cho 4 số thực dương xy, yz, zx và 9, ta có:

$xy + yz + zx + 9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4\sqrt{3xyz} = 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}$


(Chú ý giả thiết: $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$)

Lại có: $3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2$

(Bạn có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Do đó: $VT \geq 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)} \geq 4.|x + y + z| = 4(x + y + z) (x, y, z > 0)$

Vậy, BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi : x = y = z = 3