Bài 2:a,b,c>=0:a+b+c=2.CM $\sum a^2b^2+abc\leq 2$

Bất đẳng thức chặt hơn sau đây vẫn đúng

\[a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2+\frac{11}8abc \leqslant 2.\]

Bài 3 của VQBC với dấu $\leqslant$

Áp dụng $AM-GM$ ta có $\frac{ab}{a^2+3b^2}\leq{\frac{ab}{2\sqrt{2b^2(a^2+b^2)}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}$

Do đó cần CM BĐT:$\sum{\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}}\leq{\frac{3}{\sqrt{2}}}$ Đúng theo BĐT $ VASILE$

Không đúng nguồn thì đừng trích dẫn sai em nhé. Bài này không phải của anh Cẩn đâu.

1,Tìm Min: $P = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8 - 5(a+b+c) \geqslant 0 (DK:a,b,c\geq 0)$

Giả sử $c(a-1)(b-1) \geqslant 0,$ khi đó

\[P = c(a-1)(b-1) + \frac{(4a+c-5)^2 + (4b+c-5)^2 + 14(c-1)^2}{8} \geqslant 0.\]

Tìm Min: $\frac{4bc}{(b+c)^{2}}+\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}$ ($a,b,c>0$)

Có thể tách

\[a + b + c = a + \frac{b+c}2 + \frac{b+c}2,\;ab + bc +ca = bc +\frac{a(b+c)}2+\frac{a(b+c)}2.\]

sau đó dùng bất đẳng thức AM-GM để quy bài toán về 1 biến.

$\boxed{\text{Bài toán}}$ ( cristianoronaldo )

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a(c+a-b)^2}{(a+b-c)[3a^2+(b-c)^2]}\geq 1$

Sau khi áp dụng phép thế Ravi bất đẳng thức trở thành

\[\left(\sum \frac{y^3}{z(y^2+yz+z^2)} -1\right) + \left(\sum \frac{y^2}{y^2+yz+z^2} - 1\right) \geqslant 0,\quad \forall \; x,y,z > 0.\]

Hai bất đẳng thức này chứng minh đơn giản bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Cho x,y,z là các số thực ,tìm min max của x+2y nếu x^2+y^2=x+y

Ta có

\[x+2y = \frac{9\big( 3-\sqrt{10}\big)(x^2+y^2) + \big(\sqrt{10}-1\big)\left[\big(\sqrt{10}+1\big)y+3x\right]^2}{18(x+y)} \geqslant \frac{\big( 3-\sqrt{10}\big)(x^2+y^2)}{2(x+y)} = \frac{3-\sqrt{10}}{2}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $x= \frac{5-\sqrt{10}}{10},\;y= \frac{5-2\sqrt{10}}{10}.$

\[x+2y = \frac{9\big( 3+\sqrt{10}\big)(x^2+y^2) - \big(\sqrt{10}+1\big)\left[\big(\sqrt{10}-1\big)y-3x\right]^2}{18(x+y)} \leqslant \frac{\big( 3+\sqrt{10}\big)(x^2+y^2)}{2(x+y)} = \frac{3+\sqrt{10}}{2}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $x= \frac{5+\sqrt{10}}{10},\;y= \frac{5+2\sqrt{10}}{10}.$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

Bài toán tổng quát của bài này anh đã từng giải trên diễn đàn (dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Ngoài ra ta có

\[x^2+y^2+2z^2 - (\sqrt5-1)(xy+xz+yz) = \frac14\left(  \sqrt{5}y+ \sqrt{5}z-2x-y-z \right) ^{2}+\frac18\left(\sqrt{5}-1 \right)  \left(  \sqrt{5}z-2y+z \right) ^{2}.\]
 

Bạn viết rõ ra hộ mk dk k

Bạn đổi biển như sau $a = \frac yx,\,b = \frac zy,\, c = \frac xz$ sau đó thế vào bất đẳng thức đầu bài và quy đồng sẽ thu được được bất đẳng thức Schur bậc 3.

Cho a,b,c dương :abc=1

CM:$\sum \frac{a}{b}+5\geq \prod (1+a)$

Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3 sau khi thuần nhất.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$xyz(x+y+2z)(x+2y+z)(2x+y+z) \leq [(x+y)(y+z)(z+x)]^2$

Bài này có một cách thuần túy bằng AM-GM.

Hèn ci cày mãi không ra

P/s: Anh Huyện thử làm bài 3 coi cái

Giá trị lớn nhất là $\frac18,$ anh có lời giải nhưng không phải của anh nên không post. Nó là đề thi của Hàn Quốc 2012.

Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:

 

$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$

 

Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé! 

Bất đẳng thức này không thể vận dụng bất cứ phương pháp cổ điển hay hiện đại nào để giải cả, vì nó sai. :v

Chứng minh rằng $4(a^4+b^4)+3(a^3-b^3)+a^2+b^2-2ab \ge 0$ với mọi $a,b.$

Bất đẳng thức này sai với $a = \frac16,\;b = \frac13.$

Cho x, y, z > 0 . CMR : $\frac{-1}{8}\leq \frac{(x+y)(y+z)(z+x)(1-xy)(1-yz)(1-xz)}{(x^{2}+1)^{2}(y^{2}+1)^{2}(z^{2}+1)^{2}}\leq \frac{1}{8}$

Chú ý rằng

\[(x^2+1)(y^2+1) = (x+y)^2+(1-xy)^2 \geqslant 2\left|(x+y)(1-xy)\right|.\]

mình làm được 10,5 điểm và được giải ba. Trong lúc trong phòng thi bài hình làm thấy khó wá mà thấy mọi người giải dễ ghê

Đoàn của em về chưa?

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$ biết $x,y>0$ thoả mãn $xy(x+y)=2$

P/s: Hóng cách dùng hàm

Ta có

\[P = 1 + \left(x+y+\frac12\right) (x-y)^2+\left(x+\frac12\right) (x-1)^2+\left(y+\frac12\right) (y-1)^2+[xy(x+y)-2].\]

Cho $xy(x+y) = 2$ ta suy ra được giá trị nhỏ nhất của $P.$

Mình xin góp thêm 2 bài nữa ủng hộ:

Bài 1: ( Sưu tầm) Cho a,b,c là các số thực dương 

                              CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\geq{5}$

Bài này phân tích về dạng chuẩn tắc của kỹ thuật S-S sẽ ra một bất đẳng thức hiển nhiên.

Bài 2: ( Lê Khánh Sỹ ) Cho a,b,c là các số thực không âm

                              CMR: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{8(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq{18}$

Sử dụng đánh giá

\[\sum \frac{a^2}{b^2+c^2} \geqslant \sum \frac{a}{b+c} \geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.\]

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên theo bất đẳng thức AM-GM.

Problem: Let $a,b,c$ be positive numbers 

                Prove that : $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + \frac{3(a^3b+b^3c+c^3a)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 4$

We have

\[\text{LHS - RHS} = \frac{\displaystyle \sum c^2a^2(a+b-2c)^2+3abc \sum c(a-c)^2}{(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}.\]

Bài toán : Cho $a,b,c$ là các số thực dương:

CMR: $(a^{4}+b^{4}+c^{4})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3abc(a^4b+b^4c+c^4a)$

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac12 \sum\left[a^2(b^2+c^2)(a+b-c)^2+a(a^3b^2+2c^3a^2+2c^5)\right] (a-b)^2.\]

anh còn phầm mềm Maple SOS của anh không ạ em kiếm link nhưng bị die rồi 

Lúc trước anh cũng tìm trên mạng, em thử tải bằng torrent.

1, $CMR: (\frac{a}{b+c})^{2}+(\frac{b}{c+a})^{2}+4(\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{3}{2} ( c\geq a)$

Bất đẳng thức này sai với $(a,b,c) = \left(\frac{11}{12},\frac32, 1\right).$

Bài này là của anh ?

Anh chỉ đề nghị đề cho thầy, tác giả là một bạn người TQ.

Anh ơi có ai full điểm không ạ .__.

Không ai full hết, có một bạn gần full thôi (sai ý ở câu PTH).

Câu bất đẳng thức khối 11 là do một bạn người bạn người Trung Quốc nhờ mình đề nghị.

Từ cái chỗ đó về sau bác giải thích với. Làm tắt quá em cũng khó hiểu.

Chứng minh $a^2+b^2+c^2+abc \geqslant 4$ thì dùng Schur hoặc Dirichlet. Bạn tìm trong bài viết  “Về một bài toán bất đẳng thức” của mình trên diễn đàn có bài này.

Cái chỗ lập phương đưa về bình phương bạn giải thích kĩ hơn được không ạ?

Do $a+b+c=3$ nên $a^3+b^3+c^3 \geqslant a^2+b^2+c^2$ cái này dùng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.