Giải phương trình $\sqrt{1-x^2}+1-2x=2\sqrt{14x^2-12x+1}$

Cố gắng $a(1-2x)^2+b(1-x^2)=14x^2-12x+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-2 \end{matrix}\right.$

Khi đó đặt $\left\{\begin{matrix} 1-2x=f(x)\\ \sqrt{1-x^2}=g(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x)+g(x)=2\sqrt{3f(x)^2-2g(x)^2}$

Đến đây đơn giản rồi 

$PT\Leftrightarrow x^2+7x+4=4(x+2)\sqrt{x}$

Bị nhầm .

Tam giác $SAD$ vuông cân mới tính được chứ.

Viết a,b, cho dễ nhìn nhóe

$\left (\sqrt{a^3+a^2b}+\sqrt{b^3+b^2a}  \right )^2=a^3+b^3+a^2b+b^2a+2\sqrt{(a^3+a^2b)(b^3+b^2a)}$

$=a^3+b^3+a^2b+b^2a+2\sqrt{a^2b^2(a+b)^2}=a^3+b^3+3a^2b+3b^2a$

$=(a+b)^3$

Suy ra Q^3=a^2 Okie

sử dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

$x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2$

$\rightarrow \sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq 3\sqrt{2}$

các mod kiểm tra xem sai chỗ nào nhé, em thấy nó kỳ kỳ...

Nếu dùng $x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$ thì dấu bằng xảy ra $x=y=1$ trái với giả thiết mà :3

$n^{3}-7n=n^{3}-n-6n=n(n^{2}-1)-6n=(n-1)n(n+1)-6n$

Ta thấy $(n-1)n(n+1)$ là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên $\vdots$ 6. 

Mà 6n $\vdots$ 6 

suy ra đpcm

Dễ thấy MN song song với AD suy pt AD :$x+3y+m=0$. Vì P thuộc AD nên ta tìm được M.

Lại có AB tạo với AD một góc 60

$$M \ge \frac{(x+y)^2}{2}+\frac{4}{x+y}$$

Đặt t=x+y

$$M\ge \frac{t^2}{2}+\frac{4}{t}=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2t}+\frac{7}{2t}\ge.....$$

Anh ơi em không rõ chỗ này, cảm phiền anh biến đổi giùm em ạ

Tớ viết nhầm cậu ạ 

Đoạn đó là $$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge0$$ Em khai triển ra mà xem nó đúng = cái gt của em

Chả phải BĐT Schur hay sao

$$ a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$$

$$ \to a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b+a)+c(c-a)(c-b)\ge 0$$

TH1: Có 2 trong 3 số bằng nhau thì BĐT đúng

TH2: Ko có số nào = nhau.Giả sử a>b>c Chia cho  $(a-b)(b-c)(c-a)$ ta có ngay đpcm

 

1,

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và có chu vi là $2p$. CMR:

           $\frac{a}{p-a}+\frac{b}{p-b}+\frac{c}{p-c} >= \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}+\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}+\sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$

2, 

Cho $a,b,c$ là các số dương. CMR:

     $1331(x^3+2y^3+3z^3)>=1590(x+y+z)^3$

 

Bạn coi hộ dùm mình đề câu 1 cái. 

Còn câu 2 thì cho a,b,c mà cm x,y,z @@@

mình nghĩ thì đưa về dạng

P=$3-\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}$

rồi chứng minh $\sum \frac{2(a+b)c}{c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{12}{5}$ 

nhưng mà làm đến đây thì bó tay 

Giúp cậu 1 tay 

Cần chứng minh $$\sum \frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}\le \frac{6}{5}\to \sum \frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}$$

Lại có đánh giá như sau 

$$\frac{a(3-a)}{2a^2-6a+9}\le\frac{21+9a}{25}\to \frac{(a-1)^2(18a+9)}{25(2a^2-6a+9)}\ge 0   \text{   (\text{   True  })}$$

Đánh giá này còn gọi là kĩ thuật tiếp tuyến (u.c.t)

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.

 Chả phải từ BĐT tớ nói thì 

$$\sum \sqrt{a+b-c}\le \sum \sqrt{a} \to 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a+b-c}\ge 2\sum \sqrt{a}-\sum \sqrt{a}=\sum \sqrt{a}$$

Ko để ý cách giải của tác giả. TKVN chỉ để ý thắc mắc của thế thôi =))

BĐT này thì đúng rồi. tuy nhiên để có min thì hiển nhiên nó ngược dấu mất rồi.

Em hãy để ý cái đề bài ý. Cho các số nguyên dương nên $\frac{xy+1}{x+y} \le 1$

=))

Mấy bài này nên cho giả thiết a+b+c=3 có vẻ hay hơn đó

Bạn làm tiếp được không ạ, vì thực ra thì từ điều kiện làm sao mà ra được.

Bởi vì $\sum \sqrt{a} \le \sum a^2$

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{z+y}{2}}+\sqrt{\frac{x+z}{2}}$$

Lại có theo BĐT $\text{CauChy-Schwarzt}$ ta có

$$2(x+y)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\to \frac{x+y}{2}\ge \frac{\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}  \right )^2}{4}\to \sqrt{\frac{x+y}{2}}\ge \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}$$

3 lần như vầy là ra

Đúng k nhở???

_______

TKVN

Bài này cần gì chuẩn hóa. 2 Cách bình thường thôi

=))

Cách 1: Dùng CauChy như sau.

$\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}  \right )+\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}  \right )\ge 2\frac{a+b}{c}$

Tương tự 3 lần là ra  

Cách 2: Một cách tớ làm cho 1 nhóm BĐT có cách làm trong ảnh

______

TKVN

Thiếu đề kìa em cho giả thiết x,y>0 nựa chứ. Bài này quá quen thuộc

$$x\ge xy+1 \to 1 \ge y+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{\frac{y}{x}} \to \frac{x}{y}\ge 4$$ 

Đặt $t=\frac{x}{y}\ge 4$. Ta chuyển tìm Max về Tìm Min cho nó dễ 

Cần tìm Min của 

$$P=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{16}+\frac{1}{t}+15\frac{t}{6}\ge \frac{1}{2}+\frac{15.4}{6}$$

Đề có sai ko hả bạn. Bạn thử (1,2) mà coi được 6,1. Hình như là $\le \frac{13}{2}$ Chứ ??

$$\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1)}}\ge \sum \frac{2}{x^2+2}\le 1$$

$$\sum \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^6}{a^3+a^2b+b^2a} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$$

$$\ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3}$$

Cho $a,b,c\ge0$. $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}+1)\ge 8a^{25092013}b^{25092013}c^{25092013}$$

_____

Mới chế sơ sơ. Có lẽ đề đúng

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$