Đề thi OLP toán sinh viên cấp trường đh Kinh tế quốc dân 2013

Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$ ; $u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}}$ $\forall n=1,2,...$

Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$

Câu 2: Cho f : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1
Đặt $f_{k}= \overset{\underbrace{f\circ f\circ f\circ ...\circ f}}{k}$
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x\epsilon [0,1]$
Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x\epsilon [0,1]$

Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm.
Chứng minh rằng $f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x\epsilon \mathbb{R}$

Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$

Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$

b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện

$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$

Chứng minh rằng $f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$

Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương $\alpha$ và $c\epsilon (a,b)$ sao cho

$f( c)+f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)(c+\frac{n}{2}\alpha )$


----------------------------------------------------------
Hết

Tìm qua gg thấy topic này mình cũng đang tìm cuốn này ôn thi OLP
http://www.mediafire...l2b74ftu7d1udd5

Đầy đủ ra thì phải Cm cả phần đủ nữa

Cho $\left \{ A_{n} \right \}$ là dãy các tập con của tập X . Nế A chứa mọi $x\in X$ thuộc vô hạn các tập $A_{n}$ CMR: $A=\bigcap_{n=1}^{\infty }[ \bigcup_{k=n}^{\infty }A_{k} ]$

Tư duy chút là ra thôi mà tuef giả thiết ta có $a+2b+3ab=a+b+ab+1$ <=> $ab=\frac{1-b}{2}$

Nên bđt tương đương: $ab^{2}\leq \frac{1}{8}$

$\frac{b-b^{2}}{2}\leq \frac{1}{8}$

<=> $(2b-1)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=$\frac{1}{2}$

Thấy hay hay làm phát:

I=$\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-2)$ = $\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}\frac{(e^{\frac{1}{x}}-1)^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$

I= $\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}})^{2}.\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}$ = 1 Do $\lim_{a\rightarrow 0}\frac{e^{a}-1}{a}=1$

Giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$ nên theo quy tắc Lobitan ta có

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsin2x-2arcsinx}{x^{2}}$ = $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{2}{x.\sqrt{1-4x^{2}}}-\frac{2}{x.\sqrt{1-x^{2}}})$ = $6\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}.(\sqrt{1-4x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}})})$ = 0

(Có thể bạn thắc mắc vì $arcsin0$ =a thì a= $\pi$ hoặc a= 2.$\pi$)

Mình cũng ko rõ lắm theo mình biết thì lịch sử của ma trận gắn liền với hệ phương trình tuyến tính viết cho gọn thì A.X=B chắc là cho đảm bảo tính thẩm mỹ chăng.Còn ứng dụng phép nhân ma trận thì nhiều lắm như Đây chẳng hạn

8.Mình đã nhận được giấy mời

Ví dụ với trường hợp thứ nhất:

Đầu tiên ta tính $f'_{x}(0,y)$ = $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x-0}$ = $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{y.(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=-y$

$f''_{xy}(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}(\frac{-y-0}{y-0})=-1$

Phần còn lại làm tương tự nhé

Câu 2:Ta có:
$f'\left ( 0 \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$

Xét $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=-1$

Suy ra $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'\left ( x \right )\neq \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'\left ( x \right )$
Hàm số ko có đạo hàm tại x=0
Câu 3: ví dụ nhé

$f'\left ( x,-1 \right )=\lim_{y\rightarrow -1}\frac{f(x,y)-f(x,-1)}{y+1}$

Khai triển ra ta được: $f'\left ( x,-1 \right )=\frac{-2x}{x^{2}+1}$

Tính đạo hàm $y^{'}=3(x-m)^{2}-3$ Hàm số đạt cực trị tại x=0 thì $y^{'}\left ( 0 \right )=0$ => $m=1\veebar m=-1$
p/s:bài này bạn nên gửi trong box THPT

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. CMR

$sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC> 2\pi$

Câu 1: Ta có $\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{x^{p}}{1+x^{q}}:x^{p-q} \right )=1$ . Nếu $p< q$ thì $p- q< 0$ nên $\lim_{x \to \infty }x^{p-q}$=0 => tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối

Nếu $p> q$ thì $p-q> 0$ nên$\lim_{x\rightarrow \infty }x^{p-q}=\infty$ => tích phân đã cho phân kỳ

.

Cho hình thang $ABCD$ có 2 cạnh đáy là $AD$ và $BC$ ($BC>AD$). Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $P$ tùy ý. Đường thẳng qua $B$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt $AB$ tại $M$, đường thẳng qua $P$ và trung điểm $J$ của $AD$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN//AD$.

Là sao???

Gợi ý : Áp dụng $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinkx}{kx}=1$ và $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{kx}{tankx}=1$

cho $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-7x+6} &,x<1 \\
e^{x-1}&,x\geq 1
\end{matrix}\right.$
tính $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$

ta sẽ tính $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f\left ( x \right )$ và $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f\left ( x \right )$ Trong TH này $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f\left ( x \right )$ # $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f\left ( x \right )$ nên ko tồn tại giới hạn trên

Câu 3: a) Ta có $\mu \left ( x:f\left ( x \right )=0\veebar f\left ( x \right ) =3\right )$ = $\mu \left ( x:f\left ( x \right )=0 \right )+\mu \left ( f\left ( x \right )=3 \right )$

$\mu \left ( x:f\left ( x \right )=0\veebar f\left ( x \right )$ = $\mu \left ( 0 \right )+\mu \left ( 1 \right )$ = $F\left ( 0^{+} \right )-F\left ( 0 \right )$ = 2

b) Do hàm số F ko liên tục tuyệt đối tại t=o và t=3 nên ta tách tích phân thành 5 miền như sau

$\int_{f< o}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f= 0}^{.}\left ( \frac{1}{2}f+1 \right )d\mu +\int_{0< f< 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f= 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f> 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu$ = $\int_{-\infty }^{0}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(2t) + 2 + \int_{0}^{3}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(t+2) \int_{3}^{+\infty } \left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(8)+ \frac{5}{2}.(8-5)$

$\int \left ( \frac{1}{2}f(t)+1 \right )d\mu$ = $\int_{-\infty }^{0}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right)d(2t)$ $\frac{59}{4}$ = $\infty$

Vậy f(x) không khả tích Lebesgue =((

1. Họ và tên:Bùi Quang Huy
2. Nick trên Diễn đàn: Draconid
3. Ngày sinh: 4/11/1993
4. Nghề nghiệp: SV
5. Địa chỉ nhà:Bùi Thị Thiệu, Khu 2 thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường tỉnh Vĩnh Phúc
6. Mail/ Số điện thoại liên lạc:01686328770
7. Địa điểm đăng kí tham gia: Hà Nội
8. Bạn có muốn tham gia vào BTC không: Không

P/s:Secrets In Inequalities VP Em ở VP à, đi với anh

Câu 4: a) CM d là 1 metric trên X. Ta có

$d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$

$d\left ( x,y \right )=0$ <=> x=y

$d(x,y)=\left | \frac{2}{x} -\frac{2}{y}\right |=\left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z}+\frac{2}{z}-\frac{2}{y} \right |\leq \left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z} \right |+\left |\frac{2}{z} -\frac{2}{y} \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$ vậy d là 1 metric trên X

b) Ta có $\lim_{m,n \to \infty }d\left ( x_{m},x_{n} \right )=\lim_{m,n \to \infty }\left | \frac{2}{x_{m}}-\frac{2}{x_{n}} \right |=0$ => dãy $\left \{ x_{n}=n\in N \right \}$ là 1 dãy cauchy trong không gian metric (X,d)

Giả sử $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ khi đó $\lim_{n \to \infty }x_{n}=x$ và $\lim_{n \to \infty }d\left ( x_{n},x \right )=0$ => $\left | \frac{2}{x_{n}}-\frac{2}{x} \right |\rightarrow 0$ => $0=\lim_{n \to \infty }\frac{2}{x_{n}}=\frac{2}{x}$ Vô lý do $\frac{2}{x}\neq 0$ Vậy dãy $\left \{ x\left ( n \right ) \right \}$ không hội tụ nên (X,d) không là không gian đủ


Câu 5: A= $\left ( 0,1 \right )*(0,1)$ = $\left \{ \left ( x,y \right ):-1< x,y< 1 \right \}$
Ta lấy X $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ $\in A$ , B(X,r) $\in A$
Dễ thấy $r=min\left \{ 1-\left | x \right |,1-\left | y \right | \right \}$

GọiY $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ $\in B$ kihi đó:

$d\left ( X,Y \right )$ = $\sqrt{\left ( x_{1} -x_{2}\right )^{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )^{2}}< r$ =>

$\left | x_{1}-x_{2} \right |< r$ , $\left | y_{1}-y_{2} \right |< r$


$\left | x_{1} \right |-\left | x_{2} \right |< r$, $\left | y_{1} \right |-\left | y_{2} \right |< r$


$\left | x_{1} \right |< r+\left | x_{2} \right |$ $< 1$ , $\left | y_{2} \right |< r+\left | y_{1} \right |$ $< 1$ Vậy Y $\in A$ nên mọi điểm trong A đều là điểm trong suy ra A là tập mở.

giải: Câu 1: Định nghĩa

Câu 2: Đặt
$A_{0}$ = $\left \{ x:\left | f_{x} -g_{x}\right |> 0 \right \}=\left \{ x:f_{x}\neq g_{x} \right \}$

$A_{\delta }=\left \{ x:\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \delta \right \}$ $\delta > 0$
$A_{k}=\left \{ x:\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |\geq k \right \}$ k$k\in N^{*}$

$B_{n}=\left \{ x:\left |f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right ) \right | \geq \frac{\delta }{2}\right \}$ $n\in N^{*}$

$C_{n}=\left \{ x:\left | f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\geq \frac{\delta }{2} \right \}$, $n\in N^{*}$

Ta có các tập hợp này đều đo đc do fn,f,g đo được trên A

Ta cần chứng minh $\mu \left ( A_{0} \right )=0$

Trước hết ta chứng minh $A_{0}=\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}$ (1)
Lấy $x\in A_{0}$, ta có $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> 0$

Theo tính chất trù mật của số thực sẽ tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> \frac{1}{k_{0}}> 0$ suy ra $x\in A_{k_{0}}$ nên $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$

Ngược lại, lấy $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$ thì tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $x\in A_{k_{0}}$. Suy ra $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \frac{1}{k_{0}}$ nên $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |> 0$ do đó $x\in A_{0}$


Vậy (1) được chứng minh khi đó ta có $\mu \left ( A_{0} \right )\leq \sum_{1}^{\infty }\mu \left ( A_{k} \right )$ (2)


Bây giờ ta chứng minh $A_{\delta }\subset B_{n}\bigcup C_{n}$ hay $\left ( A_{\delta } \right )^{c}\supset \left ( B_{n}\bigcup C_{n} \right )^{c}$ (3)

Thật vậy lấy $x\in \left ( B_{n} \right )^{c}\bigcup \left ( C_{n} \right )^{c}$ ta có $x\in A$ và $\left | f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2} và \left | f_{n}\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |< \frac{\delta }{2}$


Suy ra $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |=\left | f\left ( x \right )-f_{n}\left ( x \right )+f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\leq \left | f_{n}\left ( x \right ) -f\left ( x \right )\right |+\left | f_{n}\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2}=\delta$ Do đó $x\in \left ( A_{\delta } \right )^{c}$ Vậy (3) được chứng minh

Khi đó:

$\mu \left ( A_{\delta } \right )\leq \mu \left ( B_{n} \right )+\mu \left ( C_{n} \right )$ (4)

Mà $\lim_{n \to \infty }\mu \left ( B_{n} \right )=0$, $\lim_{n \to \infty }\mu \left (C_{n} \right )=0$

Vì$f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}f, f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}g$ trên A, nên lấy lim hai vế của (4) ta được $\mu \left ( A_{\delta } \right )=0$, $\forall \delta > 0$


Suy ra $\mu \left ( A_{k} \right )=0$ khi $\delta =\frac{1}{k}> 0$, $\forall k\in N^{*}$
từ (2) ta có $\mu \left ( A_{0} \right )=0$ (ĐPCM)

Mọi người xem có lỗi nào trong phần trình bày ko.

Theo đề $f_{m}\left ( x \right )\overset{hkn}{\rightarrow}f\left ( x \right )$
$g_{m}\left ( x \right )\overset{hkn}{\rightarrow}g_{x}$ khi đó tồn tại tập A, B $\subset$ X Sao cho

$f_{m}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ với mọi x $\epsilon$ X\A

$g_{m}\left ( x \right )\rightarrow g\left ( x \right )$ với mọi x$\in$ X\B

Vậy với mọi x $\in$ X \ $A\cup B$ thì $\lim_{m \to \infty }f_{m}\left ( x \right )$ = $f\left ( x \right )$ = $\lim_{m \to \infty }g_{m}\left ( x \right )$ = $g\left ( x \right )$


$f\left ( x \right )= g\left ( x \right )$ hkn

Có : Đây là metric $d_{p}= \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{k}\left ( x_{i}-y_{i} \right )^{p}}$ với p trong trường hợp


này bằng $\infty$