$\left\{\begin{matrix} x^{2} -5y+3+6\sqrt{y^{2}-7x+4}=0& \\ y(y-x+2)=3x+3& \end{matrix}\right.$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$.Ta sẽ CM :$H\leq \frac{6}{5}$

BĐT $< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \sum \frac{2a+3}{25}< = > (a-1)^2(a+2)\geq 0$(đúng)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi làm thế nào để có kết quả chuẩn hóa bằng 3 vậy bạn?

chuẩn hóa $a+b+c=1$

bđt tuong đương $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}+\frac{b(1-b)}{(1-b)^{2}+b^{2}}+\frac{c(1-c)}{(1-c)^{2}+c^{2}}$

có $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}=\frac{a(1-a)}{2a^{2}-2a+1}=\frac{a(1-a)}{1-2a(1-a)}\leq \frac{a(1-a)}{1-\frac{(a+1)^{2}}{4}}=\frac{a(1-a)}{(1-\frac{a+1}{2})(1+\frac{a+1}{2})}=\frac{4a(1-a)}{(1-a)(a+3)}=\frac{4a}{a+3}=4-\frac{12}{a+3}$

suy ra $H\leq 12-12(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3})\leq 12-12\frac{9}{10}=\frac{6}{5}$

suy ra max= $\frac{6}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi chuẩn hóa nghĩa là thê nào với? làm sao để có được kết quả a+b+c=1

cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$H=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}$

giải phương trình sau:

$2x^{2}-6x+2=log_{2}\frac{2x+1}{\left ( x-1 \right )^{2}}$

$\lim_{x\rightarrow \frac{\Pi }{8}}=\frac{e^{tan2x}-e^{cos16x}}{cos12x}$

Cho ba số thực x,y,z thoả mãn x+y+z=1

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 30$

Tìm các giá trị của x trong khia triển Niutơn của $\left ( \sqrt{2^{log(10-3^{x})}+\sqrt[5]{2^{(x-2)log3}}} \right )^{n}$ , biết rằng số hạng thứ sáu trong khai triển đó bằng 21 và $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=2C_{n}^{2}$

tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

$2\sqrt[4]{x^{2}-4}-3m\sqrt{x+2}=\sqrt{x-2}$

giải bất phương trình sau:

$\frac{log_{3}\left ( x+1 \right )^{2}-log_{4}\left ( x+1 \right )^{3}}{x^{2}-5x-6}> 0$

$\int_{0}^{1}\left ( x^{2}sin^{3} x+\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right )dx$

$\left\{\begin{matrix} x^{4} +x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x& \\ x(y^{3}-x^{3})=7& \end{matrix}\right.$

Đặt: $f(x)=4x^{3}+3x-m, \forall x\epsilon \mathbb{R}$$\Rightarrow$ hàm số f(x) liên tục trên R.

+) $f(0)=m$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=-\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại: $x_{1}<0$ để $f(x_{1})<0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=+\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại $x_{2}> 0$ để $f(x_{2})>0$

+) Với: $m> 0\Rightarrow f(0).f(x_{1})<0$

mà hàm số f(x) liên tục trên $\left ( x_{1} ;0\right )$

$\Rightarrow \forall m>0$ thì phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiêm thuộc $(x_{1};0)$

chứng minh tương tự với m<0

$\left [ 3\sqrt{x}-(x+2) \right ]+\left [ 3\sqrt{5-x}-(7-x) \right ]=3x^{3}-12x^{2}-3x+12$

$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{x}+(x+2)}+\frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{5-x}+(7-x)}=3(x^{2}-5x+4)(x+1)$

$\sqrt{\frac{x^{2}-2x+4}{x-1}}+\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=\sqrt{2x^{2}+3x+2}$

$\left\{\begin{matrix} xy+x-2=0 & \\ 2x^{3} -x^{2}y+x^{2}+y^{2}-2xy-y=0& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm: 

$\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-4}+5}=m$

ĐK: $x\ge 1;y\ge 0$.

Từ PT thứ hai ta có $\sqrt y=x-1$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}$. ĐK $t\ge 0$.

Ta thay vào PT đầu tiên được $t-t^2=8-(t^2+1)^2\Leftrightarrow t^4+t^2+t-7=0$

rồi làm tiếp thế nào vậy bạn? pt ẩn t không có nghiệm đặc biệt.

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}-\sqrt{y} =8-x^{2}& \\ \left ( x-1 \right )^{2}=y& \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $\dpi{100} x\epsilon D=\left [ -3;1 \right ]$

PT (1) ban đầu tương đương: 

$\dpi{100} \Leftrightarrow m=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{1-x}+1}$ (2)

Đặt: 

$\dpi{100} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+3}=2cosy & \\ \sqrt{1-x}=2siny& \end{matrix}\right.$

$\dpi{100} y\epsilon \left [ 0;\frac{\Pi }{2} \right ]$

Khi đó phương trình (2) tương đương:

$\dpi{100} m=\frac{6cosy+8siny+1}{8cosy+6siny+1}(3)$

Đặt: $\dpi{100} t=tan\frac{y}{2}\Rightarrow t\epsilon \left [ 0;1 \right ]$

Ta có: $\dpi{100} cosy=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

$\dpi{100} siny=\frac{2t}{1+t^{2}}$

Khi đó pt(3) $\dpi{100} \Leftrightarrow m=\frac{-5t^{2}+16t+7}{-7t^{2}+12t+9}(4))$

Xét hàm số: $\dpi{100} f(t)=\frac{-5t^{2}+16t+7}{-7t^{2}+12t+9},t\epsilon \left [ 0;1 \right ]$

và : $\dpi{100} y=m$ (là đường thẳng song song với trục hoành)

+) Để pt ban đầu có nghiệm x thì đường thẳng y=m phải cắt đồ thi hàm số F(t) tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc [0;1]

Bảng biến thiên bạn tự vẽ nhé!

Đáp án của mình là: $\dpi{100} m\epsilon \left [ \frac{7}{9};\frac{9}{7} \right ]$

Sau khi  m post bài lại tìm được lời giải. Post lên cho m.n tham khảo 

http://toan.hoctainh...3015/bai-103015

CMR: Với mọi a khác không thì hệ sau có nghiệm duy nhất.

$\dpi{100} \left\{\begin{matrix} & \\ 2y^{2}=x+\frac{a^{2}}{x}& \\ & \\ \ 2y^{2}=x+\frac{a^{2}}{x}& \end{matrix}\right.$

Cho bất phương trình:

$sinx - \sqrt{x-3}\leq m+1$

Tìm m để bất phương trình có nghiệm x?

Câu 1:
Ta có $x^3+y^3+3y^2-3x-2=(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x+2y-2)=0$
Ta lại có $x^2+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{2y-y^2}-2 \leq 3-2=1$
Suy ra $\frac{\sqrt{1-x^2}x^2}{\sqrt{1-x^2}+1} \leq 0$
Suy ra $x \in \{-1,0,1\}$
Từ đó thay vào ta được các nghiệm của phương trình.

Em phân tích giỏi thật! Có thể chia sẻ cho  chị biết ý tưởng phân tích những dạng phương trình kiểu này không?

Phần hệ phương trình này chị học không được tốt