Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


WhjteShadow nội dung

Có 139 mục bởi WhjteShadow (Tìm giới hạn từ 23-01-2017)



Sắp theo                Sắp xếp  

#713608 Chứng minh rằng dãy ${un}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì 2...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 31-07-2018 - 17:07 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Đề bài cần bổ sung : $a,b$ là các số thực và $a\neq b$

-------------------------------------------------------

 

Dãy $(u_n)$ tuần hoàn cộng tính chu kỳ $2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{2k}=b\\u_{2k+1}=a \end{matrix}\right.(a\neq b),\forall k\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{2k}=\frac{1}{2}[a+b-(a-b)]\\u_{2k+1}=\frac{1}{2}[a+b+(a-b)] \end{matrix}\right.(a\neq b),\forall k\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{2k}=\frac{1}{2}[a+b+(a-b)(-1)^{2k+1}]\\u_{2k+1}=\frac{1}{2}[a+b+(a-b)(-1)^{2k+2}] \end{matrix}\right.(a\neq b),\forall k\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow u_{n}=\frac{1}{2}\left ( a+b+(a-b)(-1)^{n+1} \right )(a\neq b),\forall n\in\mathbb{N}$

Bạn làm đúng rồi, 10 điểm PSW ạ




#713607 $f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 31-07-2018 - 17:06 trong Các bài toán và vấn đề về Phương trình hàm

Để khỏi nhầm lẫn hàm và biến, xin sửa lại đề như sau :

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(3u-v+a)=3f(u)-f(v),\forall u,v\in \mathbb{R}$ (1)

Trong đó $a$ là số thực cho trước.

 

GIẢI :

Thay $u$ bằng $u+\alpha$, thay $v$ bằng $v+3\alpha$, với $\alpha$ là số thực tùy ý khác $0$, ta được :

$f(3u-v+a)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha )$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $3f(u)-f(v)=3f(u+\alpha )-f(v+3\alpha ),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 3[f(u+\alpha )-f(u)]=f(v+3\alpha )-f(v),\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v,\alpha \in \mathbb{R}$ ($\alpha \neq 0$)

$\Leftrightarrow \lim_{\alpha \to0}\frac{f(u+\alpha )-f(u)}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{f(v+3\alpha )-f(v)}{3\alpha },\forall u,v\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'(u)=f'(v)=A,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ($A$ là hằng số)

$\Leftrightarrow f(x)$ có dạng $Ax+B$

Cho $u=v=-a\Rightarrow f(-a)=2f(-a)\Rightarrow f(-a)=0$

Xét 2 trường hợp :

1) $a=0\Rightarrow f(0)=0\Rightarrow f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

2) $a\neq 0$ :

   Đặt $f(0)=p\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{f(0)-f(-a)}{0-(-a)}=\frac{p}{a}\\B=f(0)=p \end{matrix}\right.$

   $\Rightarrow f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Thử lại đều thấy thỏa mãn điều kiện đề bài.

  

Kết luận :

+ Nếu $a=0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=Ax$ (với $A$ là số thực tùy ý)

+ Nếu $a\neq 0$, tập hợp các hàm cần tìm là $f(x)=\frac{p}{a}\ x+p$ (với $p$ là số thực tùy ý)

Bạn làm đúng rồi. +10 điểm PSW




#713606 $n\epsilon \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 31-07-2018 - 17:05 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Ta có $10^{3n+1}\equiv 10^{3n}.10\equiv 1000^n.3 \equiv \pm 3 \ (mod\ 7)$

Tức $10^{3n+1}$ chia 7 dư 3 hoặc 4 với mọi $n$. Mà $a^3\equiv 0, 1, 6 \ (mod\ 7)$ nên $a^3+b^3 \not\equiv 3, 4 \ (mod\ 7)$

Suy ra PT vô nghiệm

Bạn làm đúng rồi ạ. +10 điểm PSW.




#707539 Seminar tính toán ma trận trong khoa học dữ liệu

Đã gửi bởi WhjteShadow on 02-05-2018 - 21:04 trong Hội thảo, Hội nghị, Seminar

Khoa học dữ liệu ngày càng phát triển trong thời đại công nghệ 4.0. và đang trở thành một trong những ngành quan trọng nhất trong toán ứng dụng. Khi làm việc với ngành khoa học dữ liệu, ta luôn có nhu cầu xử lí những dữ liệu, ma trận có kích cỡ lớn với thuật toán hiệu quả.

 

Vì những lí do đó, VIASM sắp tổ chức chuỗi bài giảng của giáo sư Vũ Hà Văn (ĐH Yale) về tính toán ma trận trong khoa học dữ liệu từ 6/5 đến 11/5, 10h-12h hàng ngày. Link thông tin và đăng kí cho những ai quan tâm ạ:

http://www.viasm.edu.vn/hdkh/mcds2018




#704250 Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 25-03-2018 - 08:07 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Nếu đề là $\left [ (n+1)\sqrt{2015} \right ]-\left [ n\sqrt{2015} \right ]$ thì mình xin giải lại như sau :

 

Xét dãy số $\left \{ u_n \right \}$ (n = 1, 2,...) xác định bởi $u_n=\left [ n\sqrt{2015} \right ]$ (ký hiệu $[x]$ là phần nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

Vì $44< \sqrt{2015}< 45\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\left [ (n+1)\sqrt{2015} \right ]-\left [ n\sqrt{2015} \right ]\in \left \{ 44;45 \right \}$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\left [ (n+1)\sqrt{2015} \right ]-\left [ n\sqrt{2015} \right ]=44+x_n$ (vì $x_n=0$ khi $u_{n+1}-u_n=44$ và $x_n=1$ khi $u_{n+1}-u_n=45$)

$\Rightarrow u_{n+k}-u_n=\left [ (n+k)\sqrt{2015} \right ]-\left [ n\sqrt{2015} \right ]=44k+\sum_{i=n}^{n+k-1}x_i$ ($k\in\mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow \sum_{i=n}^{n+k-1}x_i=u_{n+k}-u_n-44k=\left [ (n+k)\sqrt{2015} \right ]-\left [ n\sqrt{2015} \right ]-44k$

 

Cho $n=1975$ ; $k=41$, ta được :

$S=\sum_{i=1975}^{2015}x_i=\left [ 2016\sqrt{2015} \right ]-\left [ 1975\sqrt{2015} \right ]-44.41=36$.

Bạn làm đúng rồi ạ, +10 điểm PSW (y)




#703782 Nhờ giải bài phân phối Thống kê bằng tiếng Anh

Đã gửi bởi WhjteShadow on 17-03-2018 - 20:42 trong Xác suất - Thống kê

Xin lỗi m.n ảnh bị lỗi, mình gửi lại ảnh ạ

Giúp mình giải bài 2,3 và 6 với ạ :(

Untitled5cc4d.png

Bạn nên học gõ $\LaTeX$ để có thể thảo luận trên diễn đàn tốt hơn nhé :D (nhưng tớ không hiểu mấy bài này liên quan gì đến phân phối thống kê nhỉ)

Bài 2 thì ta chỉ cần dung tính tuyến tính của kì vọng là được: $EX= \phi EY + E\epsilon = \phi EX + \mu$ suy ra $EX = \mu/(1-\phi)$.

Bài 3 ta sử dụng tiêu chuẩn về bán kính hội tụ của một chuỗi: cần có $\lim \sup |\rho|^n/|\rho|^{n-1} < 1$, tương đương $|\rho| <1$, đây cũng là điều kiện để chuỗi hội tụ luôn (tham khảo thêm về chuỗi hình học), và khi nó hội tụ, nó nhận giá trị là $1/(1-\rho)$.

Bài 6 ta viết lại $\sum_{i=0}^{\infty} KB \phi^i = B$, suy ra $K\sum_{i=0}^{\infty} \phi^i  = Id$, suy ra $K(Id - \phi)^{-1} = Id$ hay $K = Id - \phi$. 




#703781 $$E \max (X,Y) = \sqrt{\dfrac{1-\rho...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 17-03-2018 - 20:32 trong Xác suất - Thống kê

Mình đang làm một số bài tâp về kì vọng, post lên cho mọi người luyện tập cùng cho vui:

Giả sử $(X,Y)$ là vector ngẫu nhiên 2 chiều phân bố chuẩn, $EX=EY = 0$, $DX=DY=1$, $EXY=\rho$. Chứng minh rằng

$$E \max (X,Y) = \sqrt{\dfrac{1-\rho}{\pi}}.$$




#702955 $\sum a.MB.MC \geq abc$

Đã gửi bởi WhjteShadow on 06-03-2018 - 22:04 trong Hình học phẳng

Em làm đúng rồi, +10 điểm PSW em nhé.




#702950 Hội nghị về giải tích ngẫu nhiên và hệ động lực ngẫu nhiên

Đã gửi bởi WhjteShadow on 06-03-2018 - 20:58 trong Hội thảo, Hội nghị, Seminar

Ở viện toán học Hà Nội đang có hội nghị về giải tích ngẫu nhiên và hệ động lực ngẫu nhiên. Link dành cho bạn nào quan tâm:

 

http://math.ac.vn/vi...c-analysis.html




#702948 CM tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m=4$ và $a...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 06-03-2018 - 20:51 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Theo đề bài, ta có $a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor$$> \frac{2a_{n+1}}{a_n}+\frac{2a_n}{a_{n+1}}-2\geq 4-2=2\Rightarrow$$a_n\geq 3\forall n\geq 3$. Do đó ta có thể xét dãy $\left \{ a_n \right \}$ mới bắt đầu từ $a_3$ của dãy cũ và lúc này $a_n\geq 3 \forall n$.

Giả sử $max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}>5\forall n$

Xét một bộ $\left ( a_n,a_{n+1} \right )$ bất kỳ và giả sử $a_{n+1}\geq a_n$. Ta xét các trường hợp sau:

+Trường hợp 1: $\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{1}{2}$$\Rightarrow \frac{2a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=0$

$a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor<\frac{2a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{2a_{n+1}}{2}=a_{n+1}\Rightarrow a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 2: $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow a_{n+2}=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 3: $\frac{1}{2}<\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<1\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}<2\Rightarrow a_{n+2}=\left \lfloor \frac{2a_{n}}{a_{n+1}} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_{n}} \right \rfloor\leq 1+\left \lfloor 2.2 \right \rfloor=5 < max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

+Trường hợp 4: $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1\Rightarrow a_{n+2}=4< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$.

Vậy với mọi trường hợp thì $a_{n+2}< max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}$. Tương tự ta có $a_{n+3}< max\left \{ a_{n+1},a_{n+2} \right \}\leq max\left \{ a_n,a_{n+1} \right \}\Rightarrow max\left \{ a_{n+2},a_{n+3} \right \}< max\left \{ a_{n},a_{n+1} \right \}$. Điều này mâu thuẫn với giả sử cho nên tồn tại $k$ sao cho $max\left \{ a_k,a_{k+1} \right \}\leq 5$.

Do đó $a_k,a_{k+1}\in \left \{ 3,4,5 \right \}$. Bằng tính toán trực tiếp ta suy ra được từ 9 bộ này luôn suy ra được một trong hai bộ $\left ( 4,3 \right )$ hoặc $\left ( 4,4 \right )$. Như vậy tồn tại $m$ để $a_m=4, a_{m+1}\in \left \{ 3,4 \right \}$.

Em làm đúng rồi, +10 điểm PSW nhé.




#701706 Toán tử giao hoán tử

Đã gửi bởi WhjteShadow on 16-02-2018 - 10:11 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Chúc mừng năm mới diễn đàn toán học, đặc biệt là box toán đại cương. Hi vọng năm nay chúng có nhiều bài viết và thảo luận hơn nữa.

 

Cùng khai bút đầu xuân với một bài trong đề thi nói Ecole Normale nào

 

Bài toán: Cho $E$ là một $\mathbb{C}$ không gian véc-tơ $n$ chiều. $f \in \mathcal{L}(E)$, ta định nghĩa $A_f \colon \mathcal{L}(E) \to \mathcal{L}(E)$, $g \mapsto f \circ g  - g\circ f$. Chứng minh rằng

(1) Nếu $f$ lũy linh thì $A_f$ cũng lũy linh;

(2) Nếu $f$ chéo hóa được thì $A_f$ cũng vậy;

(3) Ngược lại, nếu $A_f$ chéo hóa được thì $f$ cũng chéo hóa được.




#701022 Hỏi cách chứng minh Tính chất hai biến cố độc lập

Đã gửi bởi WhjteShadow on 31-01-2018 - 22:41 trong Xác suất - Thống kê

Nếu A, B , C là các biến cố. A, B độc lập, B và C xung khắc thì A và C có độc lập không (nếu có hãy chứng minh, còn không thì cho phản ví dụ )

Không biết câu trả lời muộn này có giúp ích được gì bạn không, nếu không thì coi như có thêm kiến thức: Câu trả lời là từ hai điều kiện trên không thể suy ra $A$ và $C$ là độc lập.

Phản ví dụ: Xét phép thử tung 2 đồng xu cân đối đồng chất, gọi $A$ là biến cố "tung đồng xu 1 được ngửa", $B$ là "tung đồng xu 2 được ngửa" và $C$ là "tung đồng xu 1 được ngửa, đồng xu 2 được sấp". Rõ ràng $A$ và $B$ là độc lập vì kết quả tung 2 đồng xu là độc lập, $B$ và $C$ là xung khắc vì đồng xu thứ 2 không thể vừa sấp vừa ngửa; hơn nữa, $A,C$ không độc lập vì $P(A)= 1/2 \neq P(A|C) = 1$.




#701020 Cho quan hê tương đương R trên A sao cho A đc phân.hoạch thành 3 lớp C, D,E...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 31-01-2018 - 22:27 trong Đại số đại cương

giúp mình với mình cảm ơn rất nhiều

 Cho quan hê tương đương R trên A sao cho A đc phân.hoạch thành 3 lớp C, D,E xác định R

Khi một quan hệ tương đương phân hoạch tập hợp $A$ ban đầu của bạn thành 3 lớp $C,D,E$ thì chỉ đơn giản là hai phần tử bất kì trong cùng một lớp thì tương đương thôi. Rõ hơn, với hai phần tử $a,b$ bất kì của $A$, $aRb$ nếu và chỉ nếu $a,b$ cùng thuộc $C$ hoặc $D$ hoặc $E$.




#699101 Đề cử Thành viên nổi bật 2017

Đã gửi bởi WhjteShadow on 28-12-2017 - 20:50 trong Thông báo tổng quan

Mình xin đề cử thành viên vutuanhien. Năm qua bạn ấy đã có rất nhiều đóng góp cho box Toán đại cương (y) 




#698690 $ |detA_n| \le (n-1)(n-1)! $

Đã gửi bởi WhjteShadow on 21-12-2017 - 10:02 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A_n= [a_{ij}]_n \in Mat(n, \mathbb{R}), n \ge 3$, trong đó $ a_{ij}= \pm 1$. Chứng minh rằng:

$ |detA_n| \le (n-1)(n-1)! $

Mình có biết bất đẳng thức này đơn giản mà mạnh hơn điều cần chứng minh cho trường hợp $n\geq 4$

Với $A = (v_1 | v_2 | \dots | v_n)$ là một ma trận $n\times n$, các $v_i$ là các cột $n\times 1$ thì

$$ |\det(A)| \leq |v_1| |v_2| \cdots |v_n|,$$

với $|v_i|$ là độ dài của vector $v_i$ (chuẩn $\left \| \cdots \right \|_2$).

 

Chứng minh cực kì đơn giản:Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt cho hệ vector $v_1,v_2,\dots, v_n$ ta nhận được $w_1,w_2,\cdots,w_n$. Để ý quan hệ của $v_i$ với $w_i$, dễ dàng chứng minh rằng

$$\det(A) = \det(w_1 | w_2 | \cdots | w_n) = |w_1| |w_2| \cdots |w_n|.$$

Mặt khác, $|w_i| \leq |v_i| \,\, \forall \, i$ (vì quá trình trực giao hóa về cơ bản chỉ là biến vector thành chân đường vuông góc, mà cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền) (hoặc có thể chứng minh bằng đại số cũng được). Vậy 

$$ |\det(A)| \leq |v_1| |v_2| \cdots |v_n|.$$

Áp dụng vào bài toán trên, ta có

$$ \det(A_n)| \leq n^{n/2} < (n-1)(n-1)!,$$

với mọi $n\geq 4$.

Với $n=3$ xác suất $\det(A_n) = 0$ cũng khá lớn, xét thêm vài trường hợp chắc là được :D 

Nhưng mà chắc ý tưởng chứng minh của bất đẳng thức của bạn không giống với cái mình trình bày ở trên. 




#698492 Toán học và duy vật biện chứng

Đã gửi bởi WhjteShadow on 17-12-2017 - 21:05 trong Các môn xã hội (Văn học, Địa lý, Lịch sử, GDCD)

Toán học và duy vật biện chứng ? 
 

Bài thuyết trình Marx-Lenin 1 của em à?




#697418 PT Tuyến Tính Thuần Nhất

Đã gửi bởi WhjteShadow on 29-11-2017 - 18:13 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

em mới học, k biết làm sao làm được bài này mn giải rõ giúp em vs ạ

 

a)  $3X_{1}-4X_{2}+X{3}-X_{4}=0\\6X_{1}-8X_{2}+2X_{3}+3X_{4}=0$

 

 

Bạn có thể nói rõ yêu cầu đề bài, kiến thức về môn học mà bạn biết và cái mà bạn thấy khó trong bài này được không?




#697417 Bài tập đại số hiện đại

Đã gửi bởi WhjteShadow on 29-11-2017 - 18:00 trong Đại số đại cương

Thầy làm ơi giải chi tiết cho em một bài với ạ. Đây là một dạng trong bài thi cuối kỳ đại số hiện đại của em. Mà em quả thật không biết phải trình bày như thế nào ạ. Em cảm ơn

Bạn thử nói xem nó khó ở chỗ nào. Vì mọi người cũng không biết là học trình của bạn đến đâu nên cũng khó có thể giúp bạn một cách như mong muốn. Khi hỏi bài trên diễn đàn tốt nhất các bạn nên nói xem mình đã học được những gì và mình thấy bài toán vướng ở chỗ nào, mọi người sẽ vui lòng giúp đỡ bạn.




#697159 $$\frac{1}{x}+\frac{1}...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 25-11-2017 - 08:21 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Ta chứng minh bài toán tổng quát:

Bạn phải đặt 2 dấu đô la ($) kẹp giữa công thức toán thì nó mới hiện lên dưới dạng LaTeX được, xem thêm
https://diendantoanh...công-thức-toán/
Bạn thử vào sửa lại đi rồi mình nhận xét bài.




#697158 $ f(n) | p^{n}-1 $

Đã gửi bởi WhjteShadow on 25-11-2017 - 08:13 trong Các bài toán và vấn đề về Đa thức

bài 1 :

Bài 2:

Đầu tiên mình xin lỗi thời gian qua bận quá chưa lên chấm bài PSW nhanh được.

 

Về bài của em, nhìn chung là tạm ổn rồi nhưng có 1 số chỗ em hay đánh tráo khái niệm các giả thiết với điều cần suy ra. Ví dụ em thử giải thích thêm xem tại sao

 

$0 = P(\varepsilon ) = \varepsilon ^{a_1}+..+\varepsilon ^{a_n} = T(\varepsilon )$ với $T(x) = x^{a_1}+..+x^{a_n}$ . 

Suy ra $Q(x) | T(x)$

Về suy luận chung là cái này không đúng, giả dụ,

$$3 \phi_{9}(x) =3( x^6 + x^3 + 1) = x^6 + x^3 + 1+x^6 + x^3 + 1+x^6 + x^3 + 1 $$

(đủ 9 số hạng) nhận $e^{2\pi i/9}$ làm nghiệm, nhưng ta thấy rõ ràng

$$1+x+\cdots + x^8 \not |  x^6 + x^3 + 1. $$

Em nên vào sửa lại chỗ này. Ví dụ trên lấy ý tưởng từ các 'đa thức phân cầu':

https://en.wikipedia...omic_polynomial

 

Còn ở bài 1, đến đoạn

 

 

$f(n) |p-1$ với vô hạn giá trị của $n$

Em nên lí luận rằng nếu $f$ là đa thức khác hằng thì $\lim_{n\to \infty} f(n) = \pm \infty$, nên không thể tồn tại dãy tăng các giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện trên. Vậy $f$ là đa thức hằng.




#697157 $\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 25-11-2017 - 07:42 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Ta có các khai triển sau

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{1}{6}\left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^3\right)+\text{o}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3,$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) ++\text{o}\left(\sin^4{x}\right)$.

Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)= x \left(1-x+x^2-x^3\right)-\frac{x^3}{6}\left(1-x\right)^3+\text{o}\left(x^4\right)=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4+\text{o}\left(x^4\right),$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) +\text{o}\left(\sin^4{x}\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left[ 1-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\right]=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4+\text{o}\left(x^4\right)$.
  • $\sin^4 x= x^4+\text{o}(x^4).$

 

Do đó, 

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$

Bài làm của bạn chuẩn xác rồi ạ, +10 điểm PSW.




#696213 Tìm cơ sở và chiều của không gian con V.

Đã gửi bởi WhjteShadow on 08-11-2017 - 07:41 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho V là một không gian con của Rn gồm các vectơ thỏa mãn x1+x2+...+x=0. TÌm cơ sở và số chiều của V.

Cách thông thường để làm bài này là bạn chỉ ra một cơ sở cho $V$: Cụ thể là $\{ (1,0,0,\dots, -1), (0,1,0,\dots, -1), \dots, (0,0,0,\dots, 1,-1)\}$. Việc ta cần làm là chứng minh hệ này vừa độc lập tuyến tính vừa là hệ sinh của $V$. (Cả hai đều chỉ sử dụng định nghĩa.)

Cách khác mà bạn có thể thấy ngay số chiều của $V$ là coi nó như hạt nhân của đồng cấu $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, biến $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ thành $x_1+x_2+\cdots + x_n$. Ta thấy ngay đây là toàn ánh nên theo định lí đồng cấu 

$$ \mathbb{R}^{n}/ V \cong \mathbb{R}.$$

Từ đó suy ra 

$$ \text{dim} V  = \text{dim} \mathbb{R}^n -  \text{dim} \mathbb{R} = n-1.$$




#695142 $\sum\left(\frac{2}{\sqrt{\...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 21-10-2017 - 07:19 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

phía trên e tính nhầm $m = - 1$ mới đúng. A kiểm tra thử xem. Hi vọng nó sẽ không sai !

Ý bạn là hàm này đúng không? Nhìn đồ thị thi thấy có vẻ không đúng lắm.

VMF.png

Còn @Duy Thai2002, phần "ta cần chứng minh" của em, cho $a\to 0$ thì bất đẳng thức không đúng nữa. (Hãy thử với $a$ đủ nhỏ, $a=0.1$ gì đó.)

 

 

 

Bài toán này được PSW đăng lên đã lâu nhưng chưa có ai giải được trọn vẹn, BTC quyết định để hoa hồng hi vọng cho bài toán này.




#694771 $\sum\left(\frac{2}{\sqrt{\...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 14-10-2017 - 20:52 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cũng có thể nói là vậy kiến thức về toán mình có hạn biết gì làm nấy thôi.
Thật ra ngay từ bước tìm $m$ đã là may mắn rồi.

http://www.wolframal...1)) where a=0.5

 

Có vẻ bạn không được may mắn lắm khi $a=0.5$.




#694765 Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac...

Đã gửi bởi WhjteShadow on 14-10-2017 - 20:33 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Hệ thức truy hồi được viết lại: $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}.$

 

Dễ thấy $\{x_n\}$ tăng và không bị chặn. Vì thế $\lim x_n=\infty$.

 

Xét $\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}\right)^3}-\sqrt{x_{n}^3}.$

 

 

 

Ta thử tính $\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right).$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}.$

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\sqrt{x^3}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

$=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}^9 + 3\sqrt{x}^8 + 3\sqrt{x}^7 + 3\sqrt{x}^6 + 3\sqrt{x}^5 + 2\sqrt{x}^3 + 3\sqrt{x}^2 + 1}{(\sqrt{x}+1)^3f(x)}=1.$

 

Suy ra $\lim \left(\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}\right)=1.$ Do đó, theo Césaro, $\lim \frac{\sqrt{x_n^3}}{n}=1.$ Vì thế $\lim \frac{x_n^6}{n^4}=1.$ 

Bạn làm đúng ý tưởng cơ bản của những bài sử dụng định lí Cesàro rồi, nhưng bạn thử kiểm tra lại cái giới hạn xem. Có vẻ nó không giống máy tính 

 

http://www.wolframal..., x = infinity)