TÍnh tích phân bất định sau:

$I=\int \frac{dx}{sin^{4}x+cos^{4}x}$

Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 3 &2 &-2 \\ 3 & 4 & -3\\ 4& 4 & -3 \end{bmatrix}$.

Tính $A^{2013}$.

Tính môdum của số phức z:

$\sqrt[3]{z^{2}.(2+2i)^{2}}=\frac{(1+i\sqrt{3})^{4}}{3+4i}$.

Bác nhầm rồi

 

Kết quả bài giới hạn này ra bằng không

Sao nó ra bằng 0 vậy anh ???

Chỉ rõ cho em với ạ !

Tính giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}(sinx)^{tanx}$

b) $\lim_{x\rightarrow 0}(x.sin\frac{1}{x})$

Tính tổng $S=sin\varphi +sin2\varphi +...+sinn\varphi $ với $\varphi \neq k2\pi $ và $k\epsilon Z$

Đặt $K = 1 + cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha$

ta có: 

$K+iS$ $=(1+cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha +...+cosn\alpha )+i(sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha )$

$=1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos2\alpha +isin2\alpha )+(cos3\alpha +isin3\alpha )+...+(cosn\alpha +isinn\alpha )$

=$1+(cos\alpha +isin\alpha )+(cos\alpha +isin\alpha )^{2}+(cos\alpha +isin\alpha )^{3}+...+(cos\alpha +isin\alpha )^{n}$

$=\frac{1-(cos\alpha +isin\alpha )^{n+1}}{1-(cos\alpha +sin\alpha )}$

$=\frac{1-cos(n+1)\alpha -isin(n+1)\alpha }{1-cos\alpha -sin\alpha }$

$=\frac{2sin^{2}\frac{(n+1)\alpha }{2}-2isin\frac{(n+1)\alpha }{2}.cos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{2sin^{2}\frac{\alpha }{2}-2isin\frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}-icos\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}-icos\frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.\frac{cos(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1 )\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}{cos(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})+isin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{2})}$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.[cos(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})+isin(\frac{(n+1)\alpha }{2}-\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{2})]$

$=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$

$K+iS=\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}.(cos\frac{n\alpha }{2}+isin\frac{n\alpha }{2})$

$\Rightarrow S=sin\alpha +sin2\alpha +sin3\alpha +...+sinn\alpha =\frac{sin\frac{(n+1)\alpha }{2}.sin\frac{n\alpha }{2}}{sin\frac{\alpha }{2}}$

Viết số phức sau dưới dạng đại số:

$z=(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+...+(1+i)^{2014}$.

Viết số phức sau dưới dạng đại số:

$z=(\frac{1+3\sqrt{3}i}{2-\sqrt{3}i})^{2014}$.

Gọi $A, B , C$ là 3 điểm lần lượt biểu diễn các số phức

$a=-1-i$, $b=i$, $c=1+ki$ $(k\in \mathbb{R})$.

a) Đinh k để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Xét hàm số $w=f(z)=z^{2}$. Đặt $a^{,}=f(a)$, $b^{,}=f(b)$, $c^{,}=f(c)$. Tính $a^{,}, b^{,}, c^{,}$.

c) Gọi $A^{,}, B^{,}, C^{,}$ là 3 điểm lần lượt biểu diễn các số phức $a^{,}, b^{,}, c^{,}$. Định k để $A^{,}, B^{,}, C^{,}$ là 3 điểm thẳng hàng.

d) Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt biểu diễn số phức $z, z^{,}$. Chứng minh rằng $\vec{u}\perp \vec{v}$ $\Leftrightarrow \frac{z}{z^{,}}$ là số ảo.

Áp dụng: Tính k để $\Delta A^{,}B^{,}C^{,}$ vuông tại $A^{,}$.

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} &xlog_{2}3+log_{2}y=y+log_{2}\frac{3x}{2} & \\ &xlog_{3}12+log_{3}x=y+log_{3}\frac{2y}{3} & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng hệ:

$\left\{\begin{matrix} &e^{x}=2010-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}} & \\ &e^{y}=2010-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} & \end{matrix}\right.$

có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $x>0,y>0$.

Ta có : $\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+y^{2}}.4^{x+y}=32 & \\ &(x^{2}+y^{2})^{2}+4(x^{3}+y^{3})+4(x^{2}+y^{2})=13+2x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+y^2}.2^{2x+2y}=32\\ x^4+y^4+4(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)=13 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{x^2+2x}.2^{y^2+2y}=32\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)^2=13 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+2x+y^2+2y=5\\ (x^2+x)^2+(y^2+y)=13 \end{matrix}\right.$

Bạn nhầm 1 chút rồi, cái hệ cuối cùng phải ra vậy mới đúng nè:

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}+2x+y^{2}+2y=5 & \\ &(x^{2}+2x)^{2}+(y^{2}+2y)^{2}=13 & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2^{x^{2}+y^{2}}.4^{x+y}=32 & \\ &(x^{2}+y^{2})^{2}+4(x^{3}+y^{3})+4(x^{2}+y^{2})=13+2x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{matrix} &(4x)^{lg4}=(3y)^{lg3} & \\ & 3^{lgx}=4^{lgy} & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix} &y^{\frac{5-2log_{x}y}{5}} =x^{\frac{2}{5}} & \\ &1-log_{x}4 =log_{x}(1-\frac{3y}{x}) & \end{matrix}\right.$

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.

Giải bất phương trình sau:

$\frac{1}{log_{\frac{1}{3}}\sqrt{2x^{2}-3x+1}}> \frac{1}{log_{\frac{1}{3}}(x+1)}$.

$\int_{0}^{\pi ^{2}}\sqrt{x}sin\sqrt{x}dx$

$I=\int_{0}^{\pi ^{2}}\sqrt{x}sin\sqrt{x}dx$

đặt: $t=\sqrt{x}$ $\Rightarrow dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ $\Rightarrow dx=2tdt$

đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=0$

$x=\pi ^{2}\Rightarrow t=\pi$

$\Rightarrow I=2\int_{0}^{\pi }t^{2}.sintdt$

đặt: $\left\{\begin{matrix} &u=t^{2} & \\ &dv=sintdt & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &du=2tdt & \\ &v=-cost & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=-2t^{2}.cost|_{0}^{\pi }+4\int_{0}^{\pi }t.costdt$

$=2\pi ^{2}+4I_{1}$

$I_{1}=\int_{0}^{\pi }t.costdt$

đặt: $\left\{\begin{matrix} &u_{1}=t & \\ &dv_{1}=costdt & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &du_{1}=dt & \\ &v_{1}=sint & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I_{1}=t.sint|_{0}^{\pi }-\int_{0}^{\pi }sintdt$ $=cost|_{0}^{\pi }=-2$

$\Rightarrow I=2\pi ^{2}+4.(-2)=2\pi ^{2}-8$

Giải phương trình sau:

$2^{3x}-8.2^{-3x}-6.(2^{x}-\frac{1}{2^{x}})=1$.

Giải bất phương trình sau:

$\frac{4^{x}-2^{x+2}-x^{2}+2x+3}{\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt{2x+1}}>0$

Giải phương trình sau:

$4^{x^{2}-4}+(x^{2}-4).2^{x-2}=1$

Cho hàm số: $y=\frac{x^{2}}{2}-3x-\frac{1}{x}$ $(C)$.

a) Chứng minh rằng hàm số có 3 điểm cực trị phân biệt A, B, C.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

tính tích phân: 

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^{3}x}{1+cos^{4}x}dx$ $=4\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-cos^{2}x}{1+cos^{4}x}sinxdx$

Đặt $t=cosx$ $\Rightarrow dt=-sinxdx$

đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=1$

$x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow I=4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t^{4}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt$

$=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{(t+\frac{1}{t})^{2}-2}dt$

đặt: $u=t+\frac{1}{t}$ $\Rightarrow$ $du=(1-\frac{1}{t^{2}})dt$

đổi cận:

$t=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow u=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$t=1\Rightarrow u=2$

$\Rightarrow I=4\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{u^{2}-2}$ $=\sqrt{2}\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}(\frac{1}{u-\sqrt{2}}-\frac{1}{u+\sqrt{2}})du$

$=\sqrt{2}ln|\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}}|$

tới đây thay cận vô ta được kết quả là: $I=\sqrt{2}ln\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$

Tính tích phân sau:

$I=\int_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{11+2\sqrt{6}}}{2}}\frac{(x^{2}+1).(x^{2}+2x-1)dx}{x^{6}+14x^{3}-1}$

y'= $4x^3-4mx$ mà bạn tính ra nghiệm là m = 1, $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

À, xin lỗi bạn, mình tính nhầm y' rồi.

Mình sửa lại rồi đó, bạn xem còn chỗ nào sai thì nói mình với ..   

Tính các tích phân sau:

$I=\int_{0 }^{\pi }(x.sinx)^{2}dx$ và $J=\int_{0 }^{\pi }(x.cosx)^{2}dx$