Đến nội dung

letankhang nội dung

Có 1000 mục bởi letankhang (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#517811 $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}...

Đã gửi bởi letankhang on 05-08-2014 - 16:46 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chứng minh bất đẳng thức : $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
Với $a;b;c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh tương đương với :
$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \sum \frac{a}{\sqrt[3]{4}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{a}{\sqrt[3]{4}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a^{3}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a}{4}\Leftrightarrow a(3-a)^{2}-4\leq 0\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a-4)\leq 0$
Đẳng thức cuối luôn đúng do $a+b+c=3$ nên $a<4$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại ta có $Q.E.D$




#516799 Đường thẳng Euler

Đã gửi bởi letankhang on 31-07-2014 - 23:20 trong Hình học

Chứng minh rằng: Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.

Một cách ngắn gọn hơn ( lớp 10 ) :)
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG} & \\ \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH} & \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\vec{OG}=\vec{OH}$
Từ đẳng thức trên ta dễ thấy $O;G;H$ thẳng hàng.




#514574 Tìm $x;y$ thỏa mãn : $x+y\geq 1; 3y\geq 2x-1$ v...

Đã gửi bởi letankhang on 22-07-2014 - 13:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Tìm khoảng giá trị của các số thực $x;y$ thỏa mãn hệ bất phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x+y\geq 1 & \\ 3y\geq 2x-1 & \\ 3x\geq 2y & \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của $y-2x$



#513619 Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{b^{3...

Đã gửi bởi letankhang on 18-07-2014 - 10:28 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

1 cách khác  :)
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\Rightarrow \frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{3}}+\frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{a^{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại và cộng vế theo vế 
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)$ $(1)$
Mặt khác :
$\sum a^{2}b^{2}\geq \frac{(\sum ab)^{2}}{3}$
Ta có : $(ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}\geq abc(a+b+c)$
Suy ra $(1)$ được chứng minh
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}=1\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq 1$
Dấu $=$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Vậy ta có $Q.E.D$




#513609 Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{b^{3...

Đã gửi bởi letankhang on 18-07-2014 - 09:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$




#505793 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Đã gửi bởi letankhang on 11-06-2014 - 16:54 trong Tài liệu - Đề thi

Đề thi vòng 1

Đề chung nha. Làm tốt bài chứ em, ngày mai nhớ full nhá :))

10384959_421508504657635_79823743_n.jpg




#504221 ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 2014

Đã gửi bởi letankhang on 05-06-2014 - 16:42 trong Tài liệu - Đề thi

c2

ta có $\widehat{ACD}= \widehat{ABD}= 60$

$AD= R\sqrt{3}$

$\Rightarrow DK=\sqrt{3R^{2}-x^{2}}$

lại có

$BK= x\sqrt{3}$

$\Rightarrow BD=x\sqrt{3}+\sqrt{3R^{2}-x^{2}}$

p/s mấy bạn lớp c làm bài thế nào

Bạn với Hiếu có nhầm không nhỉ !?

Bởi tam giác $ABK$ vuông tại $K$ có góc $\angle ABK=60^o$ nên : $BK=\frac{AK}{tan(60^o)}=\frac{x}{\sqrt{3}}$ mới đúng chứ nhỉ !?




#503053 Chứng minh rằng : $2kx_1y_1\geq z_1$ và tìm $k$ để p...

Đã gửi bởi letankhang on 31-05-2014 - 20:53 trong Đại số

Cho phương trình : $x^2+y^2+z^2=kxyz$

a) Chứng minh rằng nếu $(x_1;y_1;z_1)$ là nghiệm của phương trình thì $(x_1;y_1;kx_1y_1-z_1)$ cũng là nghiệm của phương trình. Từ đó suy ra $2kx_1y_1\geq z_1$

b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm 




#502454 Chứng minh rằng : $(a_1-b_1)(a_2-b_1)(a_1+b_2)(a_2+b_2)=q^3-p^3$

Đã gửi bởi letankhang on 29-05-2014 - 16:02 trong Đại số

Cho phương trình $x^2+px+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $a_1;a_2$ và phương trình $x^2+qx+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $b_1;b_2$. Chứng minh rằng : $(a_1-b_1)(a_2-b_1)(a_1+b_2)(a_2+b_2)=q^3-p^3$




#501318 Cho $xyz=1$. Chứng minh rằng : $3+\sum \frac{x...

Đã gửi bởi letankhang on 24-05-2014 - 21:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng :
 $3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$




#501059 Hỏi có hay không 16 số tự nhiên có 3 chữ số được tạo thành từ 3 chữ số $...

Đã gửi bởi letankhang on 23-05-2014 - 21:33 trong Số học

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên có 3 chữ số được tạo thành từ 3 chữ số $a;b;c$ thỏa mãn 2 số bất kì trong chúng có cùng số dư khi chia cho 16 ?




#499696 1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+...

Đã gửi bởi letankhang on 17-05-2014 - 22:48 trong Bất đẳng thức và cực trị

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

Đặt : $\frac{1}{b}=k$
$gt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+k\leq 1 & \\ P=a+\frac{1}{a^{2}}+k+\frac{1}{k^{2}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{16x^2})+(\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16k^2})+\frac{15}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{k^{2}})\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{15}{16}.\frac{2}{ak}\geq \frac{3}{2}+\frac{15}{8}.\frac{4}{(a+k)^{2}}\geq \frac{3}{2}+\frac{15}{2}=9$
Vậy : $P_{\min}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2} & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$




#498904 $A=(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})(ab+bc+ac)^{...

Đã gửi bởi letankhang on 13-05-2014 - 22:35 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tớ cũng nghĩ vậy Khang à.Nãy onl FB đứa bạn đưa cho,thấy nghi nên hỏi,nếu là max cậu giải ra sao?

Mình thì giải như vậy

Áp dụng BĐT phụ : $ab^2+bc^2+ca^2\leq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}=a+b+c\leq 3$
Mặt khác : $(ab+bc+ac)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=9$
$\Rightarrow A\leq 27\Leftrightarrow ...$




#498895 $A=(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})(ab+bc+ac)^{...

Đã gửi bởi letankhang on 13-05-2014 - 22:14 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3.$ Tìm min: $A=(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})(ab+bc+ac)^{2}$

Nếu mình nhớ không lầm thì bài này là tìm $\max$ chứ nhỉ !?




#498891 $\frac{x^{2}-x+y^{2}-y}{x^{...

Đã gửi bởi letankhang on 13-05-2014 - 22:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Em thấy thế này sai thì thôi nhé .

 

$TH1:x^2+y^2-x-y\ge 0; x^2+y^2-1 < 0$

 

$\rightarrow x^2+y^2 <1 \rightarrow x,y<1;x^2+y^2\ge x+y $

 

khi $x,y <1$ thì $x \ge x^2$ và $y \ge y^2 \rightarrow x^2+y^2 \le x+y$

 

Vô lý 

 

$TH2 : x^2+y^2-x-y \le 0; x^2+y^2 >1$

 

cũng vô lí thì phải . Không biết có sai ko .

Sai chỗ đó vì đề nói là với các số thực $x;y$
Nếu $x$ âm thì $x<x^2$ rồi !!




#498852 Chứng minh rằng : $$(\frac{a+b}{a-b})^...

Đã gửi bởi letankhang on 13-05-2014 - 21:16 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a;b;c$ là các sô thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : $$(\frac{a+b}{a-b})^{2}+(\frac{b+c}{b-c})^{2}+(\frac{c+a}{c-a})^{2}\geq 2$$




#498303 Chứng minh rằng : $MN$ đi qua 1 điểm cố định trên $OA$.

Đã gửi bởi letankhang on 10-05-2014 - 22:25 trong Hình học

Cho đường tròn $(O)$ và một đường thẳng $d$ cố định. Cho $A$ là 1 điểm cố định trên $d$ và $B$ là 1 điểm di động trên $d$. Từ $B$ kẻ các tiếp tuyến $BE;BF$ tới đường tròn $(O)$. Kẻ $BM;BN$ lần lượt vuông góc với $BE;BF$ ( $M;N$ thuộc $BE;BF$ ). Chứng minh rằng : $MN$ đi qua 1 điểm cố định trên $OA$.




#498133 Chứng minh rằng : trọng tâm tam giác $ABC$ thuộc 1 đường tròn cố định.

Đã gửi bởi letankhang on 09-05-2014 - 21:56 trong Hình học

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $BC$ cố định thuộc đường tròn đó. Gọi $A$ là 1 điểm di động trên cung lớn $BC$. Chứng minh rằng : trọng tâm tam giác $ABC$ thuộc 1 đường tròn cố định.




#498131 Chứng minh rằng : $\left\{\begin{matrix} m...

Đã gửi bởi letankhang on 09-05-2014 - 21:53 trong Các dạng toán khác

Cho bát giác lồi và $O$ là 1 điểm bên trong bát giác nhưng không nằm trên các đường chéo. Gọi số tứ giác chứa $O$ là $m$, số tam giác chứa $O$ là $n$. Chứng minh rằng : $\left\{\begin{matrix} m\vdots 5 & \\ n\vdots 2 & \end{matrix}\right.$




#498128 Trận 9 - Bất đẳng thức

Đã gửi bởi letankhang on 09-05-2014 - 21:43 trong Thi giải toán Marathon cấp THCS 2014

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}=\frac{xyz}{x^{3}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}=\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq \frac{1}{x}\Rightarrow \frac{1}{x^{3}(y+z)}\geq \frac{1}{x}-\frac{1}{4y}-\frac{1}{4z}$
Chứng minh tương tự ta có :
$\frac{1}{y^3(x+z)}\geq \frac{1}{y}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{4z};\frac{1}{z^3(x+y)}\geq \frac{1}{z}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{4y}$
Cộng tất cả vế theo vế :
$\Rightarrow E\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{2}$
Vậy :
$E_{\min}=\frac{3}{2}$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

S = 45




#496236 Tìm giá trị lớn nhất của $A=x^{3}+y^{3}+z^{3...

Đã gửi bởi letankhang on 30-04-2014 - 23:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho ba số x, y, z thoả mãn $0\leq x,y,z\leq 2$ và $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=x^{3}+y^{3}+z^{3}$.

Ta có :
$gt\Rightarrow (2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\Rightarrow xy+yz+zx\geq 2+\frac{xyz}{2}$
Mặt khác :$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(z+x)$
Vậy ta cần tìm $\min$ của $(x+y)(y+z)(z+x)$
$(x+y)(y+z)(z+x)=(xy+yz+zx)(x+y+z)-xyz=3(xy+yz+zx)-xyz\geq 6+\frac{xyz}{2}\geq 6$
Từ đó dễ tìm được $\max$ của $A$
Dấu $"="$ xảy ra khi trong 3 số $x;y;z$ có 1 số bằng 2; 1 số bằng 1 và 1 số bằng 0.
 




#496010 Chứng minh rằng : $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $O'$

Đã gửi bởi letankhang on 29-04-2014 - 23:06 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $O$. Vẽ đường tròn $O'$ đi qua $A$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $P;Q$ sao cho $\angle BOP=\angle COQ$. Gọi $d$ là đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $PQ$. Chứng minh rằng : $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $O'$




#495649 Chứng minh rằng : $MN//AC$

Đã gửi bởi letankhang on 28-04-2014 - 13:21 trong Hình học

Ta có  : $\frac{FC}{FB}=\frac{ED}{BD}$ nữa

Chứng minh đi Toàn !!




#495618 Chứng minh rằng : $MN//AC$

Đã gửi bởi letankhang on 28-04-2014 - 09:29 trong Hình học

Gợi ý : Sử dụng định lý mê nê la uýt ( tam giác $BCE$ có $M,F,A$ thẳng hàng và $D,N,A$ thẳng hàng ) sau đó nhân lại ta được $MB=ME$ nên $MN$ là đường trung bình từ đó ta có $MN//AC$

P/s: Anh gửi lời giải cho con Hòa r. okie :))

Chứng minh $\frac{EA}{CA}.\frac{CF}{BF}=1$ như thế nào :?




#495573 Chứng minh rằng : $MN//AC$

Đã gửi bởi letankhang on 27-04-2014 - 21:41 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Trên tia đối tia $CA$ lấy điểm $E$, kẻ phân giác $AN$ của góc $BAC$ ( $N$ thuộc $BC$ ). GỌi $D$ là giao điểm của $AN$ và $BE$, kẻ $DF//AB$ ( $F$ thuộc $BC$ ), $AF$ cắt $BE$ tại $M$. Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng : $MN//AC$