Bài Toán 1:

$CMR:\forall t\in\left [ -1;1 \right ]$ thì $\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}\geq1+\sqrt{1-t^{2}}\geq2-t^{2}$.

Áp dụng giải phương trình sau:

$\sqrt{1+\sqrt{2-x^{2}}}+\sqrt{1-\sqrt{2-x^{2}}}=2(x-1)^{4}(2x^{2}-4x+1)$

Bài toán 2:

Giải pt sau:

$\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4x}}.\sqrt{x-\frac{1}{4x}}=x$ với $x>\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$.

Cho hình vuông 100x100, Mỗi ô vuông được đánh 1 số từ 1 đến 100. Mỗi số xuất hiện đúng 100 lần. CMR tồn tại 1 hàng hoặc 1 cột nào đấy mà 10 số ở 10 ô thuộc hàng ( cột ) đó phân biệt .

Cho tam giác $ABC, M$ nằm trong tam giác . Qua M kẻ các đường thẳng song song $AB,AC,BC$và cắt $BC,AC,AB$ lần lượt lại $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$. Dựng các hình bình hành $MA_{1}XA_{2},MB_{1}YB_{2},MC_{1}ZC_{2}$ . CM AX,BY,CZ đồng quy.

1, CHo tam giác ABC . CMR : M là trọng tâm tam giác trung điểm.khi và chỉ khi
$\overrightarrow{MA}.a^2+\overrightarrow{MB}.b^2+\overrightarrow{MC}.c^2=0$
2, CHo hbh ABCD. M,N là trung điểm của AB,BC. I,J,K lần lượt là trung điểm của DM,DN,MN. CMR: AI,CJ và BK đồng quy.

Bài này dễ mà . Chuyển 5 tách thành $\sqrt{3x+1}-1+2(\sqrt[3]{19x+8}-2)=2x^2+x$ rồi nhân liên hợp ta tìm đc nghiệm $x=0$. Sau đó dùng cách đánh giá nghiệm ta được nghiệm $x=1$

1, a,Áp dụng BĐT AM-GM cho lần lượt các tổng ($a^{2},b^{4}$)$\left ( a^{2}+b^{4};b^{4}+c^8;c^{8}+a^{2} \right )$ suy ra điều phải cm.
b,Tương tự .
2, Có $\left ( a^{2}+\frac{b^{2}}{4} \right )+\left (\frac{3b^{2}}{4}+3 \right )+\left ( c^{2}+1 \right )\geq ab+3b+2c$
Suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+3b+2c-4$
Mà theo đề bài có :$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+3b+2c-4$
Suy ra $(a,b,c)=(1;2;1)$
3,Sử dụng BĐT : $a_{1}+a_{2}+..+a_{n}\geq\frac{n^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{a_{n}}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
4,Áp dụng BĐT AM-GM thông thường. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. CMR:
$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq3$

Với $a,b,c,d >0 $
$\left ( \frac{bc(a+d)+ad(b+c)}{a+b+c+d} \right )^{2}\geq abcd$

1,Cho $a,b,c>0$ .CMR:
$(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ac)(c^{2}+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$
2.CMR:
$\sum _{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq 1$ với $a,b,c>0$

Cách khác k phải qui đồng :
BĐT$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$
$+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}\geq 3$
Đúng theo AM-GM

ĐÚng là bài này ko cho điều kiện $a,b,c>0$ thì không làm được nhỉ !

Ta có:
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a \geq 0$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $a^3+a^3+b^3 \geq 3 a^2b$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh...

Thưa bạn ko cho $a,b,c>0$
_________________________
@BlackSelena: chú ý cách nói bạn ơi =="

Vậy thì chúc mừng bạn rồi.
Sao bạn lại khóc nhỉ

ĐIểm thấp hơn mong đợi chứ sao

Câu 1 :
$CMR : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
Câu 2:
Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: $\sum_{cyc}\frac{(b+c-a)^{4}}{a(a+b-c)}\geq \sum _{cyc}ab$
__________________
Đề có cho $a,b,c > 0$ ko bạn ?

năm nay lấy lớp chuyên 33.75 mà_tui đc 34.5 T_T

2. a, Dễ dàng suy ra $ ab+bc+ac=0 $
Suy ra :$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Suy ra $(a+b+c)^{3}-(a^{3}+b^{3}+c^{3})=-3abc$
...............
Suy ra: $ 3a^{2} ( b+c ) = -3abc $
Suy ra : $ -abc= 2012 $
Mà $ ab+cb+ac= 0 $
Suy ra : $ c^{2} (a+b) = -abc= 2012 $
Vậy M=2012.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO....................................CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ................................ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2012

Môn thi: TOÁN

(Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)

Thời gian làm bài : 150 phút

----------------------------------------------------------------------

Câu 1 (1,5đ )
Giải phương trình :
$\sqrt{x^{2}+2x+2\sqrt{x^{2}+2x-1}}+2x^{2}+4x-4 =0$
Câu 2 (2đ)
a, Cho các số $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $ a^2(b+c)=b^2(a+c)=2012$
Tính giá trị của biểu thức : $ M= c^2(a+b) $
b, Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. CMR trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.
Câu 3 (2đ)
Cho nó số thực $ x_1 , x_2 ,...., x_n $ với $n\geq 3$. Ký hiệu max{$x_1,x_2,...,x_n$} là số lớn nhất trong các số $x_{1},x_{2},...,x_n$.
CMR:
Max{$x_{1},x_{2},...,x_n$}$\geq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}+\frac{\left |x_{1}-x_{2} \right |+\left | x_{2}- x_{3} \right |+....+\left | x_{n-1}-x_{n} \right |+\left | x_{n}-x_{1} \right |}{2n}$
Câu 4 ( 1,5 đ)
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 4, các cột được đánh số từ 1 đến 9 ). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ $m$, cột thứ $n$ và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng $a_m$, cột thứ $a_n$, ta gắn cho bạn đó số nguyên $ (a_{m} + a_n ) - (m+n)$. Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.
Câu 5 (3đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Điểm M thuộc cung nhỏ CD của $\left ( O \right )$, M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K.
a, CMR : $\widehat{MXT}=\widehat{TXC}$, $\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD}$ và $\widehat{CKD}=135^\circ$.
b, CMR :$\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD} =1$.
C, Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR : XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT.

--------------------------------------Hết------------------------------------

KHiếp, nhìn bài trông rõ đơn giản.
Làm xong nhìn lại thấy a là số thực.

Dưới đây là một số bài toán mình sưu tầm được, post cho mọi người làm :
1, Giả sử $n\in \mathbb{N}$,$n\geq 2$. Xét các STN =1111.....111 (n chữ số 1)
CMR: Nếu là số nguyên tố thì n là ước của -1
2.Giả sử $p\in\mathbb{P}$ $a,b\in\mathbb{N}$$(a<b)$ thỏa mãn:
Tổng các phân số tối giản có mẫu p nằm giữa a và b bằng 2011. Tìm $p,a,b$
3.Cho 7 số nguyên tố khác nhau: $a;b;c;a+b+c;a+b-c;b+c-a;a+c-b$. Trong đó 2 trong 3 số có tổng bằng 800. Gọi d là hiệu số giữa số lớn nhất $a,b,c$ và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố đã cho.Tìm max của d.
4.Cho số nguyên tố $p$. Giả sử $x,y$ là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn :
$\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là một số tự nhiên. CMR: $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$.
5.Giả sử số nguyên tố p có thể viết thành hiệu của 2 lập phương của 2 số nguyên dương khác nhau. CMR: Đem 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư sẽ được kết quả là bình phương của một số nguyên lẻ.
6.Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên. Hai trong các số đó là các số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Hãy tính giá trị min mà cạnh thứ 3 có thể nhận được.
7.Tìm n để : $n!=2^{15}.3^{16}.5^{3}.7^{2}.11.13$
8.CMR có vô số các bộ 3 thứ tự các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho ước chung lớn nhất của a,b,c là 1. Ngoài ra tổng của $ a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ là bình phương của một số nguyên.
9.
a, Xác định số nguyên dương n sao cho:
$(2^{n}-1)\vdots7$
b,CMR; với mọi n nguyên dương thì $2^{n}+1$ không chia hết cho 7.
10.Tìm 2 số nguyên dương thỏa mãn 2 điều kiện:
1.ab(a+b) không chia hết cho 7.
2.$(a+b)^{7}-a^{7}-b^{7}$ chia hết cho $7^{7}$.
11. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a<b<c$ và $a^{2}b+a+b$ chia hết cho $ab^{2}+b+7$.
12.Tìm các số nguyên tố p,q sao cho:
$(2p+2q)\vdots pq$
13.Cho a,b nguyên dương khác 0. TÌm các số nguyên tố p có thể viết :
$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$.

Rút gọn biểu thức được :$ A=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\sqrt{x-y-4\sqrt{xy}}}{4}.$
Giờ thay x,y vô mà tính. Mà theo mình $x=\frac{7-\sqrt{13}}{4}$ .. $y=\frac{6-\sqrt{11}}{25}$ thì nghe vẻ hợp lý hơn nhỉ !

Bài 1: a) Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + \dfrac{x}{y} = 12\\ x + \dfrac{1}{y} + \dfrac{x}{y} = 8\\ \end{matrix}\right.$

Đặt $x+\frac{1}{y}=a$
$\frac{x}{y}=b$
Suy ra hệ pt :$\left\{\begin{matrix} a^{2}-b=12\\a+b=8 \end{matrix}\right.$
It's too easy to solve!