Cho thêm ví dụ về phần 2. Viết thành câu được không ạ

Cái này có thiệt đó... Sáng nào mình thức dậy trong đầu mình cũng lóe lên 1 đống phuơng trình + bất đẳng thức... giựt giựt xong rồi mất tiêu lun =="... Nói chung là sáng nào mà bị nhức đầu thì hình ảnh đầu tiên tr' khi mở mắt là mí cái đó...

Bài này đề sai rồi.$MN$ có thể nhỏ hơn $AC$ mà:

Đề này bạn mình cho... mình làm không ra nên post lên 4rum... té ra sai đề à :x.. tks pạn nhé :x

cho tứ giác $ABCD$, gọi $M,N$ lần lược là trung điểm $AD$, và $BC$. CMR: $MN^{2}=AC^{2}+\frac{BC^{2}}{4}$

Tỉ số $\frac{NB}{NC}= \frac{AB^{2}}{AC^{2}}$
AN là đường đồi trung của tam giác ABC

chứng minh bằng tam giác đồng dạng

a gì ơi nói rõ hơn tí nữa đc không ạ... e mới vào lớp 10 chưa biết "đường đồi trung" là gì.. :">

Cho $\Delta ABC$ trung tuyến $AM$, phân giác $AD$ và $AN$ đối xứng $AM$ qua $AD$ ( $N \in BC$ ). Tính các tỉ số:

a) khoảng cách từ $M$ đến $AB$; $AC$.
b) $\frac{NB}{NC}$

Cho tứ giác $ABCD$, $I$, $J$,lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}IJ^{2}$

Cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$. Tìm vị trí $O$ trong ngũ giác $ABCDE$

P/s: Trên tên chủ đề do copy nhằm... nên bị sai... @@ thông cảm... Đề trong này mới đúng ...

Đây là một câu hỏi đố vui trong sách của tớ: Có bạn nào giúp mình dựng một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn chỉ với compa và thước kẻ được không? ( đương nhiên là bút phải có rồi ... ). Đây là một bài toán dựng hình cho nên các bạn phải trình bày ra cách dựng và chứng minh nó đúng luôn nhé

Lời giải:
a)$\Delta MOB = \Delta NOB$ ( c.g.c )
$\Rightarrow ON=OM$
Mà $O$ $\in$ pg $\widehat{CBA}$
$\Rightarrow ON \perp BN;OM\perp BC$
$\Rightarrow BM; BN$ là các tiếp tuyến của (O)
$\Rightarrow$ N,M $\in (O)$
Tượg tự ta suy ra đpcm
b) Nhờ câu a ta cm dễ dàng $ANOP$ nội tiếp đtròn đk AO
Câu c bạn xem lại coi có sai đề ko nhé!
Vì $\Delta ABC$ cô định nên chỉ dựng được 1 đ.tròn nội tiếp nên 3 điểm nằm trên đtròn cũng phải cố định! Nó không thể chạy đc.. Khiến thức về cực trị hình học mình hơi kém nên có gì sai sót bạn chỉnh sửa dùm

Đố các bạn 1 câu nè! Tớ thấy câu này rất hay ^^! Chắc ai cũng sẽ trả lời được!
-Một hôm đoàn của tớ đi thăm quan rừng Amazon(thí dụ :">) và không may bị 1 bộ tộc ít ngươi bắt! Cái người thủ lĩnh đó quyết định giết chết hết cả đoàn nhưng vì tớ rất đẹp và dễ thương =))...( chém nhẹ ) nên cái người thủ lĩnh đó đã cho 1 "ân huệ" như thế này:"Trước khi chết, Nếu ngươi nói đúng thì treo cổ! Nói sai thì chặc đầu!" Thế là mấy người trong đoàn tớ lần lượt bước lên.
-Người thứ nhất: "Xin hãy tha mạng cho tôi! Ở nhà tôi còn vợ còn con thơ còn mẹ già blah blah blah... cần tôi chăm sóc ( (" Và thế là người thứ nhất bị chắc đầu! =))
-Người thứ 2:"Ôi tôi chưa thấy người nào cao thượng, hiền từ, đẹp đẽ, vĩ đại, khoan dung, blah blah blah... như thủ lĩnh đây! Nếu ngài cho tôi cơ hội tôi nguyện phục vụ cho ngài, làm blah blah blah.. cho ngài!"
-Ông thủ lĩnh:"A! Thằng này nói chuẩn ( cmnr =)) )! Treo cố nó lên!"
Và rồi tới những người tiếp theo và cuối cùng đến tôi! Tôi đứng trước mặt ông Thủ lĩnh đó và nói 1 câu gì đó ( Rất ngắn ) xong thì ông ta tha tôi ra giờ đây tôi trở về và up câu hỏi này lên cho các bạn )! Tôi đã nói gì vậy ????

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O). M,N trung điểm BC, CA. Đường thẳng MN cắt (O) tại I,K ( MI > MK ). CMR:
a) $\Delta MBK\sim \Delta MIC;\Delta NAK\sim \Delta NIC$
b) $\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$
( thực ra bài này chỉ có câu b thôi! Mình gợi ý các bạn câu a đó ^^! )

Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $x!+y!=(x+y)!$
(ký hiệu x! là tích các số tự nhiên từ 1 đến x....)

Tớ nghĩ muốn giải bài này thì mình nên định nghĩa lại dấu bằng của chúng ta! Có bao giờ bạn đặt câu hỏi là tại sao nó bằng không? ( Không biết có ai nghĩ tới dụ này chưa vì lười đọc cm quá @@ ) Các bạn làm dụng dấu bằng trong tính toán quá nhiều rồi! Suy nghĩ thử xem

Cho $\Delta ABC$ có trung tuyến $AD, BE$ thoã $\widehat{DAB}=\widehat{EBC}=30^{\circ}.$. CMR $\Delta ABC$ đều.
Lưu ý là: không được dùng hàm số sin nhé



Cm nó cân tại C là dễ rồi! Các bác cố gắng cm nó cân ở A hoặc B nữa là xong @@!

Nhờ cả nhà giải giúp câu đó nề nha!
Có 1 nhóm HS lên núi chơi, đến 1 ngã 3 không hề có bảng chỉ đường ( 1 trong 3 ngả sẽ dẫn đến đỉnh núi ,ngả khác sẽ dẫn đến ngõ cụt , đi sẽ mất công) , chỉ có hai anh em sinh đôi đang ngồi chơi ở đó.Đây là 2 anh em sinh đôi giống hệt nhau về ngoại hình nhưng tính cách thì rất khác nhau: 1 người luôn nói thực , con người kia luôn nói dối .Nếu ban ở ở trong nhóm HS đó bạn sẽ hỏi đường như thế nào để đi tiếp mà không bị lầm đường????????

Mình sẽ hỏi 2 người đó đường nào đi đến ngõ cụt! Thế này nhé! Vì chỉ có 1 đường lên núi nên nếu cậu kia nói dối thì nó chỉ chỉ ra được 1 đường thôi và đường đó là đường lên núi

các bạn ơi, cho mình thắc mắc cái này nha, vì mình dốt toán.
Như đã học chúng ta biết:
+ A * B = AB (tức là A lần B, hay là B lần A)
mình có thể viết lại là:
+ A + A + A +................+A = A(B lần) (hay là: 6 = 2 * 3 = 2 + 2 + 2)
+ B + B + B +................+B = B(A lần) (hay là: 6 = 3 * 2 = 3 + 3)
(hai cái này thông cảm nha, hok biết mình viết có đúng không???)
Vì vốn dĩ phép nhân là phép cộng nên mình có thể thay như thế, vì vậy mình có thêm cái này:
+ (-A) * B = -AB
mình cũng viết lại:
+ (-A) + (-A) + (-A) +.........................+(-A) = -AB (hay là: -6 = (-2) * 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6) (1)
+ với phép: (B * (-A) = -AB), ta vẫn có thể suy ra được, vì phép giao hoán trong toán học cho phép, vì vậy ta có lại số (1)
nhưng:
+ (-A) * (-B) = AB (ta không thể suy theo dạng (1) được)
+ (-A) + (-A) + (-A) +.........................+(-A) = -AB (hay là: 6 = (-2) * (-3) (-2) + (-2) + (-2) = -6)
TẠI SAO VẬY?
Mình đã nghĩ đến việc cách biến đổi dẫu như thế nào cho thích hợp, vì theo mình không có phép trừ hay phép cộng (theo tương đối), đó chỉ là do dấu của số âm(-) và dương(+) tạo thành mà thôi. Nhưng có một số trường hợp như (2+2=4), thì ta không thể hiểu dấu cộng đó là dấu của số, vì nó là phép cộng và phép trừ (tương đối), được gọi là thêm vào hay bớt ra (theo cách hiểu của mình).
VẬY TẠI SAO (-A) * (-B) =AB ????

) Bạn có biết quy tắc trừ 2 số không?
Mình ví dụ nhé:
5-3=?
3-5=?
Nhìn là biết kết quả rồi nhưng mà bạn có thể nói cho tớ nghe quy trình trừ của bạn được không ^^! Nghĩa là bạn thực hiện phép trừ đó ra sau ấy!
Suy nghĩ 1 tí hả đọc tiếp nhé!
.
.
.
.
.
Quy trình đó như thế này: Bạn lấy trị tuyệt đối của số lớn trừ cho trị tuyệt đối của số bé và lấy dấu của số có trị tuyệt đối lớn! Test thử xem đúng không ...
Cái đó là sai đấy
bạn thử -3-5 đi ^^! coi giống quy luật trên không^^! Mình chỉ gợi ý thôi... còn lại bạn ráng tư duy nhé

Tớ cũng giống cậu nè . Suốt từ lớp 1 tới lớp 8 luyện game miết . Tới tận gần cuối lớp 9 tớ mới bắt đầu học và bây giờ tớ đang cố gắng để luyện thi vào trường chuyên ^^! Bí quyết để học tốt môn toán là làm bài tập thật nhiều ạ! Nếu cậu có thể kết hợp được nhiều bài tập với nhau, khai thác những câu hỏi khác từ 1 hình nào đó bạn đã giải hoàn tất rồi chẳng hạn hoặc là chứng minh lại các định lý cũng làm bạn vững căn bản hơn! Chúc bạn thành công ^^

Đúng rồi! Con gái bây giờ không phải hoàn toàn là thế đâu... Con trai cũng thế.... 1 tháng sau đâu đến nổi.... ==" híz...

Câu 5 (3đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Điểm M thuộc cung nhỏ CD của $\left ( O \right )$, M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K.
a, CMR : $\widehat{MXT}=\widehat{TXC}$, $\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD}$ và $\widehat{CKD}=135^\circ$.
b, CMR :$\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD} =1$.
C, Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR : XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT.

--------------------------------------Hết------------------------------------

Tớ làm hơi tắt nhé ...! Tại vì gõ Latex chưa rành ... ~~
Ta có: $\widehat{AMB}=\widehat{BDC}=45^{\circ}$ ( Cùng chắn các cung có sđ = $90^{\circ}$
$\Rightarrow DXTM$ nt
$\Rightarrow \widehat{CDM}=\widehat{TXM}$
và $\widehat{TXD}=90^{\circ}$
Ta cm được $XTCB$ nt
$\Rightarrow \widehat{CBT}=\widehat{CXT}$
Mà $\widehat{CDM}=\widehat{CBM}$ ( cùng chắn cung )
Suy ra: $\widehat{TXM}=\widehat{TXC}$
Chứng minh tương tự ta được $\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD}$
Chứng minh được: $K$ và $M$ đối xưng nhau qua BC ( 2 $\Delta$ Cân 2 bên ấy )
$\Rightarrow \widehat{DMC}=\widehat{DKC}$
Mà $\widehat{DMC}=135^{\circ}$ (chắn $\frac{3}{4}$ đường tròn )
$\Rightarrow$ đpcm @@
Câu b tí nữa ăn cơm xong làm
------------------------------------------------------------------------------------------
A có người làm dùm rồi! Khỏe quá ...

I.14) Công thức Carnot


Định lý:
Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O,R)$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $O$ đến $BC,AC,AB$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Ta có:
a)Nếu$\Delta ABC$ nhọn thì công thức Carnot là $x+y+z=R+r$.
b)Nếu $\widehat{A}> 90^{\circ}$ thì công thức carno là $y+z-x=R+r$
Chứng minh:

a)Nếu $\Delta ABC$ nhọn

Gọi $F, E, D$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Như vậy ta có
$OF=x, OE=y, OD=z$. Đặt$BC=a, AC=b, AB=c$.
Áp đụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác nội tiếp $OFBD$ ta có:
$OB.DF=OF.BD+FB.OD$hay $R.\frac{b}{2}=z.\frac{a}{2}+x.\frac{c}{2}$
Tương tự ta có $R.\frac{c}{2}=y.\frac{a}{2}+x.\frac{b}{2}$và $R.\frac{a}{2}=y.\frac{c}{2}+z.\frac{b}{2}$
ta lại có $r(\frac{b}{2}+\frac{a}{2}+\frac{c}{2})=S_{ABC}=S_{OBC}+S_{AOC}+S_{ABO}=x.\frac{a}{2}+y.\frac{b}{2}+z.\frac{c}{2}$
Cộng bốn biểu thức trên lại ta có
$(r+R)(\frac{a+b+c}{2})=(x+y+z)(\frac{a+b+c}{2})\Rightarrow$ đpcm.

b)Nếu $\widehat{A}> 90^{\circ}$ chứng minh tương tự.


Viết dưới dạng lượng giác, công thức Carnot chính là hệ thức $cos A+cosB+cosC=1+\frac{r}{R}$. Chú ý hệ thức này đúng với mọi tam giác.

I.13)Định lí Miquel

Định lí: Cho $\Delta ABC$ và ba điểm $M,N,P$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$. Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các $\Delta$ APN,BPM và CMN đồng quy.

Chứng minh:

Gọi $S$ là giao điểm của $(BPM)$ và $(CMN)$.Ta sẽ chứng minh S nằm trên $(APN)$.
Thật vậy:

$(SN,SP)\equiv (SN,SM)+(SM,SP)\equiv (CN,CM)+(BM,BP)\equiv (CA,CB)+(BC,BA )\equiv (CA,BA)\equiv (AN,AP)(mod\pi )$
$\Rightarrow$ đpcm.

I.12) Định lý Brianchon


Định lý:
Cho lục giác $ABCDEF$ ngoại tiếp $(O)$. Chứng minh rằng ba đường chéo lớn $AD, BE, CF$ đồng quy.


Chứng minh:
Ta kí hiệu các tiếp điểm của $(O)$ trên $AB,BC,CD,DE,EF,FA$ lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$. Xét cực và đối cực đối với $(O)$. Gọi $K,I,J$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(SM,PQ)$ ,$(MN,QR)$,$(NP,RS)$. Vì $SM$ và $PQ$ là đường đối cực của $A$ và $D$ nên $AD$ là đường đối cực của $K$. Tương tự $BE$ và $FC$ lần lượt là đường đối cực của $I$ và $J$.
Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp $MNPQRS$ ta có $I,J,K$ thẳng hàng. Nên ta có các đường đối cực của $I,J,K$ (lần lượt là $BE,CF,AD$) cùng đi qua cực của đường thẳng này (đường thẳng đi qua $I,J,K$) nên $AD,BE,CF$ đồng quy (đpcm).
Tương tự ngược lại có thế chứng minh định lí pascal thông qua Brianchon và cực đối cực

I.11) Định lý Pascal


Định lý:
Cho 6 điểm $A,B,C,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn. Khi đó các giao điểm của các cặp cạnh $AB$ và $DE$, $BC$ và $EF$, $CD$ và $FA$ thẳng hàng.


Chứng minh:
Gọi $P,M,N$ lần lượt là giao điểm của $AF$ và $CD$, $AB$ và $DE$, $BC$ và $EF$. Gọi $P', M', N'$ lần lượt là giao điểm của $BC$ và $DE$, $BC$ và $AF$, $DE$ và $AF$.
Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta P'M'N'$ với cát tuyến $PCD$:
$\frac{CP'}{CM'}.\frac{DN'}{DP'}.\frac{PM'}{PN'}=1$
$\Leftrightarrow \frac{PM'}{PN'}=\frac{CM'}{CP'}.\frac{DP'}{DN'}$
Tương tự ta có:
$\frac{NP'}{NM'}=\frac{FN'}{FM'}.\frac{EP'}{EN'}$và$\frac{MN'}{MP'}=\frac{AN'}{AM'}.\frac{BM'}{BP'}$
Nhân các biểu thức trên lại kết hợp với các biểu thức phương tích sau:
$BM'.CM'=AM'.FM'$
$EN'.DN'=FN'.AN'$
$CP'.BP'=DP'.EP'$
Ta có :
$\frac{NP'}{NM'}.\frac{MN'}{MP'}.\frac{PM'}{PN'}=1$
Áp dụng định lí Menelaus đảo ta có đpcm.

I.10) Bất đẳng thức Ptolemy


Định lý:
Cho tứ giác $ABCD$. Khi đó có $AC.BD \leq AB.CD + AD.BC$

Chứng minh:
Lấy $E$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho
$\widehat{EDC}=\widehat{ADB}$và $\widehat{ECD}=\widehat{ABD}$
Khi đó$\Delta ABD \sim \Delta ECD \Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{EC}{DC} \Leftrightarrow AB.DC=EC.BD$
Hơn nữa $\Delta ADE \sim \Delta BDC (c.g.c) \Rightarrow \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{BC} \Leftrightarrow AD.CB=BD.AE$
Vậy $\Rightarrow AB.CD+BC.AD=BD(EA+EC)\geq BD.AC$(đpcm).