Lục giác ABCDEF nội tiếp  một đường tròn có các cạnh AB,CD, EF bằng bán kính của đường tròn.Chứng minh các trung điểm của 3 Cạnh còn lại là 3 đỉnh của 1 tam giác đều

Cho x,y,z >0 thoả mãn xy+yz+zx=xyz.

Chứng Minh: $\sum \frac{y}{x^{2}}\geq 3(\sum \frac{1}{x^{2}})$

1.Tìm các  số chình phương $\overline{abcd}$ biết $\overline{ab}-\overline{cd}=1$

2.Tìm các chữ số x,y,z,t thoả mãn $\overline{xy}^{2}=\overline{yz}^{2}+\overline{tz}^{2}$

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh nếu $A=2+2\sqrt{28n^{2}+1}$ là số nguyên thì A cũng là số chình phương

Cho tam giác ABC đều và hình vuông ADGE cùng nội tiếp 1 đường tròn (O,R).Tính diện tích phần chung của 2 hình này

Tính tổng các chữ số của $2^{100}$.

Nếu số các chữ số thì mình làm được: $2^{100}=(2^{10})^{10}=1024^{10}>1000^{10}=10^{30} 2^{100}=2.(2^{33})^{3}<2.(10^{10})^{3}=2.10^{30}\Rightarrow 2^{100}$ CÓ 31 chữ số

Mình lập topic này để các bạn có thể có các suy nghĩ về những con số tốt hơn

Mình xin bắt đầu với số sau: a=12345679
 
1, Khi nhân a với các số k nhỏ hơn 82 là bội số của 9 thì kq sẽ là một số có 9 chữ số giống nhau

2, Khi nhân a với số k nhỏ hơn 82 mà không là bội của 3 thì kq là 1 số có 8 hoặc 9 chữ số đôi một khác nhau

   VD1: 12345679 nhân 9 bằng 111111111
  
   VD2: 12345679 nhân 63 bằng 777777777

Có cách chứng minh trong tạp chí toán học tuổi trẻ

Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Khoảng cách từ M đến AB,BC,CD,DA theo thứ tự là MH,MK,MI,MN.Chứng Minh MH.MI=MK.MN

Tìm tất cả các sô tự nhiên x,y  để $2^{x}+5^{y}=k^{2}$

Chứng minh: $A=1924^{2003^{2004}}+1920\vdots 124$

Tìm số nguyên p  để $2005^{2005}-p^{2006}\vdots 2005+p$

so chứ số 5 của 1995!là A = 1995/5+1995/25+1995/5^3+...đén 5^x nhỏ hơn 1995 thì thoi (lưu ý là 1995/5^x lấy phần nguyen)

vậy n lớn nhât là A

Sao lại có chữ số 5 của 1995! VẬY BẠN( cho mình biết cái)

Bài toán 1:  Cho $a$ là tổng các chữ số của $(2^{9})^{1945}$ và $b$ là tổng các chữ số của $a$ . Tính tổng các chữ số của $b$.
Bài toán 2:  Tìm tất cả các số nguyên $(m;n)$ sao cho $2m+1$ chia hết cho $n$ và $2n+1$ chia hết cho $m $.

 

1:$(2^{9})^{1945}=512^{1945}<1000^{1945}=10^{1945.3}$ nên $(2^{9})^{1945}$ có có số chữ số nhỏ hơn 1945.3 = 5835 do a là tổng các chữ số của$(2^{9})^{1945}$nên a < 5835.9 = 52515 (chữ số lớn nhất là 9)B la tổng các chữ số của a (nhiều nhất 5 chữ số do a<52515) do đó b<5.9=45 

Do một số trừ đi tổng các chữ số của nó thì chia hết cho 9 (dễ dàng chứng minh; giống dấu hiệu chia hết cho 9) nên  $(2^{9})^{1945}-a\vdots 9$ mà $(2^{9})^{1945}$ chia 9 dư 8 nên a chia 9 dư 8 . a-b chia hết cho 9 nên b chia 9 dư 8. nên b có tổng các chữ số là 8

Tìm n là số tự nhiên lớn nhất  sao cho 1995!$\vdots 5^{n}$

Giả sử phương trình x²+ ax+ b+1= 0 có nghiệm nguyên dương . Chứng minh a²+b² là hợp số

Theo viet thì $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-a& & \\ x_{1}x_{2}=b+1 & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+(x_{1}x_{2}-1)^{2}=(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)$ nên ta được điều phải chứng minh

Cho n là số tự nhiên n$\geq 1$. CMR: $T=1^{5}+2^{5}+...+n^{5} \vdots 1+2+3+...+n$

Vẽ đường kính CC' nên $CD^{2}=CI.CC'.\Delta CIM\sim \Delta CHO\Rightarrow CH.CM=CI.CO\Rightarrow CH^{2}=CI.CC'\Rightarrow CD=CH\Rightarrow ĐPCM$

Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$

$A=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3)+2\geq 2(2-3)+2=0$

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{2}}{b+2}+\frac{b^{2}}{c+2}+\frac{c^{2}}{a+2}\geqslant 1$

$\sum \frac{a^{2}}{b+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+6}=1$

Cho $(O)$ cố định. Hai tiếp tuyến của $(O)$ vuông góc với nhau tại $A$. Gọi $B,C$ thuộc hai tiếp tuyến sao cho tam giác $ABC$ luôn ngoại tiếp $(O)$. Tìm vị trí $B,C$ để $S_{ABC}$ đạt $GTNN$.

Bạn ơi kiểm tra lại đề bạn ạ. Ở đây nếu đường thẳng BC cố đinh thì mới làm được

$n^{3}-n=n(n-1)(n+1)\vdots 3$ MÀ n lẻ nên (n-1)(n+1) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 nên ta có đpcm

3a) $n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)\vdots 3$ VÌ n  lẻ nên n-1 và n+1 chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 8 vì là 2 số chẵn liên tiếp nên ta có điều phải chứng minh

ài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi D, E là hai điểm đối xứng của H qua AB, AC. Gọi giao điểm DE, AB là F; giao điểm DE, AC là G. Chứng minh CF, BG là đường cao tam giác ABC.

Mình làm câu 2: Xét tam giác HFG có FA và GA là 2 đường phân giác 2 góc ngoài và cắt nhau ở A nên HA là phân giác góc FHG mà HA vuông góc với CH nên BH là phân giác góc ngoài của tam giác HFG tại H mà CG Là phân giác góc ngoài ở G nên CF cũng là phân giác góc HFG nên CF vuông góc với AB. (cái còn lại chứng minh tương tự bạn nhé)

c)Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì $\widehat{OCM}=\widehat{OCN}$ nên I Cách đều CM và CN vì I thuộc phân giác góc MCN

Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trên d ( C nằm ngoài đường tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với ( M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt CN tại K.

a, Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn

b, Chứng minh KN.KC = KH.KO

c, Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN

b)Vì CNHO nội tiếp nên theo phương tích điểm K thì KN.KC=KH.KO