Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đường tròn . Chùm điều hoà (Ax,Ay,Az,At)=-1 cắt (O) tại 4 điểm lần lượt là B,T,Q,P .
CMR : (B.T,Q,P)=-1
----
P/s : Em từng biết hàng điểm điều hoà là đường thẳng ?? Tại sao khi 4 điểm trên không thẳng hàng mà nó vẫn là một hàng điểm điều hoà ??
----

Xem thêm tài liệu về hàng điểm điều hòa của chú binhmetric:
 A.THCS.hang_diem_split_1_4025.pdf   389.46K   172 Số lần tải
 A.THCS.hang_diem_split_2_3449.pdf   359.14K   222 Số lần tải
 A.THCS.hang_diem_split_3_7307.pdf   387.96K   136 Số lần tải

Trời, đó chẳng phải là phương pháp hằng số biến thiên đấy sao !!!
Vậy mà Urahara Kisuke còn trê nó khó hiểu nữa ???

Làm nốt câu cuối !
Đặt $a=13$
Suy ra $x^2-\frac{a^2-1}{x^2}+\frac{a}{x^4}=0$
$\Leftrightarrow x^2a^2-a-x^6-x^2=0$
$\Leftrightarrow a=-x^2$ hoặc $a=\frac{x^4+1}{x^2}$
Từ đó ta tìm được $x=\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}
\wedge \frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}
\wedge -\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{11}}{2}
\wedge -\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{11}}{2}$

Mình có chê khó hiểu đâu? Nhưng mà mục đích của mình ở topic ấy là khác, bạn so sánh cách này với cách kia xem cách nào gọn hơn? Không thể nồi nào cũng úp vung khác lên được.

Mình cảnh báo trước rồi nhá . Bạn nào thích cảm giác mạnh thì xem nhé
http://www.youtube.com/watch?v=nfaAHg2uAFo&feature=related[/url]

Giống như sinhnhatmin.com/love

Bài này của chương trình lớp 11, 12 mà đưa vào THCS thì hơi quá

Xin lỗi bạn mình bị đố và cứ nghĩ là của THCS, nếu vậy nhờ Mod chuyển giúp mình nhé ^^

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm $I$, $J$ đối xứng với nhau qua $M$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $AI$, $AJ$ với đường tròn $(O)$ và $H$ là trung điểm của $EF$. Tìm quỹ tích điểm $H$ khi $I$ và $J$ di động trên đường thẳng $BC$.

Giải các phương trình sau.

$\fbox{1}$.$x^3+\frac{\sqrt{68}}{x^3}=\frac{15}{x}$

$\fbox{2}$.$x^3+\frac{137}{x^3}=\frac{18770}{x}$

$\fbox{3}$.$x^2+\frac{13}{x^4}=\frac{168}{x^2}$

----------------

Ba bài toán này đều được giải bằng một phương pháp , mình muốn đưa lên cho mọi người cùng làm và thảo luận

ĐKXĐ: $x\neq 0$
Gọi $x_0$ là nghiệm của phương trình:
$$PT\Leftrightarrow x_0^3+\frac{\sqrt{68}}{x_0^3}=\frac{15}{x_0}$$
$$\Leftrightarrow x_0^3+\frac{2\sqrt{17}}{x_0^3}=\frac{17-2}{x_0}$$
Do đó $\sqrt{17}$ là nghiệm của phương trình ẩn $a$ sau:
$$x_0^3+\frac{2a}{x_0^3}=\frac{a^2-2}{x_0}$$
$$\Leftrightarrow x_0^2a^2-2a-x_0^6-2x_0^2=0$$
$$\Leftrightarrow a_1=-x_0^2(3)\vee a_2=\frac{2+x_0^4}{x_0^2}(4)$$

• Thay $a_1=\sqrt{17}$ vào $(3)$ ta được: $x_0^2=-\sqrt{17}$ (vô lí!)
• Thay $a_2=\sqrt{17}$ vào $(4)$ ta được phương trình: $x_0^4-\sqrt{17}x_0^2+2=0$.

----
@luxubuhl: Phương pháp hay và "chất"

Nếu mình là một thầy giáo khi nhìn bài làm của bạn với bạn triethuynhmath thì mình sẽ đánh giá cao bài của bạn triethuynhmath hơn, ngay từ đầu yêu cầu của những bài toán là đưa về dạng đơn giản nhất có thể, nếu không thì khi giải hệ ta cứ rút thế chứ cần gì phương pháp? Và mục đích của mình ở đây là lời giải của bạn triethuynhmath.
Cách giải tổng quát cho dạng bài này là:
Cho phương trình: $x^2+\frac{a^2x^2}{\left ( x+a \right )^2}=b$
Giải như sau:
$$PT\Leftrightarrow \left [ x-\frac{ax}{\left ( x+a \right )} \right ]^2+2x.\frac{ax}{x+a}=b$$
$$\Leftrightarrow \left ( \frac{x^2}{x+a} \right )^2+2a.\frac{x^2}{x+a}+a^2=b+a^2$$
Đặt $y=\frac{x^2}{x+a}$ sau đó ta giải được phương trình bậc hai ẩn $y$ theo $x$.
Đó chính là mục đích của mình khi lập topic này, chứ nhìn cách giải của bạn nhìn là đã hoa mắt rồi chưa nói đến đúng sai @@

Đây là hệ thức Jacobi

Nói chung cũng không có nhiều ứng dụng lắm đâu !

Ngoài ra bạn cũng có thể tham khảo thêm trong cuốn "Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề hình học " của thầy Nguyễn Minh Hà.

Chúc bạn học tốt

Cái này mình có xem nhưng có một đoạn mình chưa hiểu cách chứng minh nên muốn tham khảo cách của mọi người ^^ bạn giúp mình được không ^^

Cám ơn mọi người nhừng đề đúng mà , mọi người suy nghĩ tiếp nha...

Vẽ hình bằng phần mềm $GSP$ thì độ chính xác là rất cao (gần như là tuyệt đối), nên bạn hỏi lại thầy cô nếu đề do thầy cô cho nhé, trong sách không phải khi nào cũng đúng hết đâu.
----
Không phải ngẫu nhiên mà lệch đến gần $4^0$ đâu mình đã vẽ thử rồi.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $S_a$, $S_b$, $S_c$ theo thứ tự là diện tích các tam giác $MBC$, $MCA$, $MAB$. Chứng minh rằng:
$$S_a\overrightarrow{MA}+S_b\overrightarrow{MB}+S_c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
Chứng minh rõ ràng giúp mình nhé ^^

Thực ra phương pháp của nó là:
Đặt $a$ là một hằng số (thường đặt là căn của một số gì đó)
Biến đổi các hệ số của phương trình theo $a$ một cách hợp lý
________________________
VD như trong bài trên:
Đặt $a=\sqrt{74}$
$x^4-14x^3+73x^2+350x-1225=0$
$\Leftrightarrow x^4-14x^3+(147-a^2)x^2+(14a^2-686)x-49a^2+2401=0$
________________________
Sau đó rút hết theo $a$, thành phương trình bậc hai ẩn $a$
Xét $\Delta$ (khi đó $\Delta$ luôn phải là một số chính phương)
Từ đó tìm được $x$ bằng việc thay $a$ vào
_______________________
Nói chung là phương pháp này rất vớ vẩn (nhưng lại rất hay), đặc biệt là những bài chưa biết trước nghiệm.
Vì thế mình mới bảo đây là cách ăn may nhất thế giới...

Thực ra đây chỉ là phương pháp làm của bạn mà thôi, phương pháp đấy thì đã tránh được việc đưa về phương trình bậc bốn rồi!

Một tài liệu nhỏ cho ai chưa hiểu về phương pháp này .

Cảm ơn bạn luxubuhl, nhưng trong tài liệu đa phần là $log$,... (kiến thức mình chưa học) nên mình chưa thể áp dụng ngay được, bạn có thể trình bày hai bài tập trên nhờ phương pháp đó được không?

Cho $x_1$, $x_2$, $x_3$,..., $x_n$ là $n$ số thực thuộc đoạn $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng:
$$x_1\left ( 1-x_2 \right )+x_2\left ( 1-x_3 \right )+....+x_{n-1}\left ( 1-x_n \right )+x_n\left ( 1-x_1 \right )\leq \left [ \frac{n}{2} \right ]$$

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. Chứng minh các đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

Gọi $N$ là giao điểm của $CF$ và $DE$.
Ta có: $\Delta CDF=\Delta DAE$ ($c.g.c$) nên suy ra $\widehat{DCF}=\widehat{ADE}$
Mà $\widehat{ADE}+\widehat{NDC}=90^0$ nên $\widehat{CND}=90^0$
Do đó $CF\perp DE$
Gọi $K$ là giao điểm của $FM$ và $BC$.
Ta có: $CK=DF\Rightarrow CK=FM$
Tương tự ta có: $KM=ME$
Do đó $\Delta CKM=\Delta FME$ ($c.g.c$)
$\Rightarrow \widehat{KCM}=\widehat{MFE}$
$\Rightarrow CM\perp EF$
Chứng minh tương tự ta được $BF\perp CE$
Trong tam giác $CEF$ có $CM\perp EF$, $ED\perp CF$,$BF\perp CE$
Suy ra $CM$, $DE$, $BF$ là ba đường cao của tam giác $CEF$ nên ta có đpcm.

Chứng minh bất đẳng thức sau với $n\geq 5$:
$$1,71<1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<1,72$$

Phân tích đa thức thành nhân tử
$a) x^4+x^3-5x-3$
$b)3x^4-5x^3-18x^2-3x+5$

Bạn có thể xem cách sử dụng máy tính $Casio$ phân tích thành nhân tử tại đây.

Giải các phương trình sau:
1) $\frac{25}{x^2}-\frac{49}{\left ( x-7 \right )^2}=1$
2) $\frac{9}{4\left ( x+4 \right )^2}+1=\frac{8}{\left ( 2x+5 \right )^2}$
Có cách giải nào hay (đặc biệt) thì post lên luôn nhé, mình đang cần cái đấy ^^

1) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$$\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )\leq \frac{8}{9}\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )$$

2) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$$

3) Chứng minh rằng với $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$, $m$, $n$, $p$ là các số thực dương ta có:
$$\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\left ( x^3+y^3+z^3 \right )\left ( m^3+n^3+p^3 \right )\geq \left ( axm+byn+czp \right )^3$$