Đến nội dung

BoFaKe nội dung

Có 641 mục bởi BoFaKe (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#510691 Đề thi khối A, A1

Đã gửi bởi BoFaKe on 04-07-2014 - 10:38 trong Thi TS ĐH

Câu 8:
chuyển vế pt đầu bình phương hai vế ta đc

$x^2=12+y-2\sqrt{y(12-x^2)}$

Đến đây pt đẳng cấp rồi

Phương trình đầu dánh giá hay hơn.

$\sqrt{x^2(12-y)}+\sqrt{y(12-x^{2})}\leq \frac{1}{2}(x^{2}+12-y)+\frac{1}{2}(y+12-x^2)=12$

Nên $x^2=12-y$.Giờ giải quyết vế sau,chắc là dùng hàm tiếp.




#506724 $ab+bc+ca\leq 3$

Đã gửi bởi BoFaKe on 14-06-2014 - 21:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài toánCho $a,b,c> 0$ thoã mãn: $ a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{a+c}$.Chứng minh: $ab+bc+ca\leq 3$




#502286 $\sqrt{x^{2}+4x+3}-\sqrt{2x^{2...

Đã gửi bởi BoFaKe on 28-05-2014 - 20:57 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải bất phương trình: 

$\sqrt{x^{2}+4x+3}-\sqrt{2x^{2}+3x+1}+x+1\geqslant 0$

Điều kiện : $x\leq -3\vee x\geq \frac{-1}{2}\vee x=-1$.

Với $x=-1$ thì đúng.

Xét $x\leq -3$,ta có:

$\sqrt{-x-1}(\sqrt{-x-3}-\sqrt{-2x-1}-\sqrt{-x-1})\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{-x-3}-\sqrt{-x-1})-\sqrt{-2x-1}\geq 0$(Vô lí vì $VT<0$)

Xét $x\geq -\frac{1}{2}$ ta có:$\sqrt{x+1}(\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+1})\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\geq \sqrt{2x+1}\Leftrightarrow 3+2\sqrt{(x+3)(x+1)}\geq 0$(Luôn đúng).

Vậy $S=[-\frac{1}{2};+\infty )\cup \left \{ -1 \right \}$




#478897 $y=x^{3}+(m+1)x^{2}-9x-9m+9$

Đã gửi bởi BoFaKe on 25-01-2014 - 08:02 trong Hàm số - Đạo hàm

1.Cho hàm số $y=x^{3}+(m+1)x^{2}-9x-9m+9$ $(Cm)$.Tìm $m$ để $(Cm)$ tiếp xúc với trục hoành.

2.Tìm $k$ để đường thẳng $(d):y=kx+k-1$ tiếp xúc với $y=-x^{3}-3x^{2}+2$

 




#477639 $\int_{1}^{3}\dfrac{{{e^...

Đã gửi bởi BoFaKe on 16-01-2014 - 23:29 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính $\int_{1}^{3}\dfrac{{{e^{-x}dx}}}{x^{2}}$.




#476707 $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+...

Đã gửi bởi BoFaKe on 11-01-2014 - 20:10 trong Bất đẳng thức và cực trị

1/Cho $a,b,c$ là các số thực dương,chứng minh : $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

2/Cho $a,b,c$ là các số thực dương thõa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng :$\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}\geq \frac{3}{8}$




#475968 Trận 1 - PT, HPT

Đã gửi bởi BoFaKe on 07-01-2014 - 15:33 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2014



nhầm ngay từ đây rùi bạn nè :icon6:

Ukm,mình khai căn sai,nếu chịu coi lại thì chắc là vẫn sửa được,nhưng mình nghĩ ý tưởng trục căn thức dễ chứng minh phương trình vô nghiệm hơn.Thôi thì bị loại nhưng đóng góp thêm cách cho mọi người vậy.

-------------------------------------------------

Vẫn biến đổi như trên :$8x^{6}-x^{3}+8+2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{4}+x^{3}+6x^{2}})=0$

Mà :

$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{4}+x^{3}+6x^{2}}= \frac{8x^{6}+18x^{4}+18x^{2}+8-x^{3}}{A}> 0$.

Từ đây dễ chứng minh phương trình vô nghiệm.

 

 

CD13: Điểm nhận xét $\boxed{1}$




#475623 Trận 1 - PT, HPT

Đã gửi bởi BoFaKe on 05-01-2014 - 22:00 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2014

Biến đổi phương trình thành : 

$$8x^{6}-x^{3}+8+2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})=0$$

Ta có : $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}$$

$$=\frac{(2x^{2}+2)^{3}-6x^{2}-x-6}{(2x^{2}+2)^{2}+(2x^{2}+2)\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}+(\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})^{2}}$$

$$= \frac{8x^{6}+24x^{4}+18x^{2}-x+2}{A}$$

$$=\frac{(8x^{6}+24x^{4}+17x^{2}+1)+(x^{2}-x+1)}{A}> 0$$

 nên $$2x^{2}+2-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6}>0$$

$$\Rightarrow 2x^{2}(11x^{2}+11-\sqrt[3]{6x^{2}+x+6})\geq 0$$

Và $$8x^{6}-x^{3}+8=7x^{6}+7+x^{6}-x^{3}+1> 0$$

Cộng 2 vế lại ta có phương trình đã cho VN.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

 

 

$\boxed{Điểm: 2}$

$S = 2+1=3$




#471648 Tìm max của $P=\frac{3y}{x(y+1)}+\frac...

Đã gửi bởi BoFaKe on 18-12-2013 - 21:18 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài 1 : Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3$.Tìm min, max của biếu thức $P=x^3+y^3-(x^2+y^2)$.

Từ giả thiết ta có :

$(x+y)^{2}-3=xy$ và $x^{2}+y^{2}=3-xy$.Biến đổi biểu thức thành

$P=(x+y)^{3}-3xy(x+y)-(x+y)^{2}+2xy=-2(x+y)^{3}+(x+y)^{2}+9(x+y)-6$

Đặt $x+y=t$.Từ giả thiết : $t^{2}=3+xy \leq 3+\frac{t^{2}}{4}\Rightarrow t\leq 2; t> \sqrt{3}$.Khảo sát hàm số 

------------------------------------

P/S:Không biết mình có tính sai chỗ nào không nhưng mà hình như chỉ tìm được min.....




#471610 Giải phương trình: $log_{cosx}{sinx}+log_{2cos...

Đã gửi bởi BoFaKe on 18-12-2013 - 20:01 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình:

$log_{cosx}{sinx}+log_{2cosx}{sin2x}=1$

 

Điều kiện : $\sin x,\cos x>0;\cos x\neq 1$

Viết phương trình lại thành :

$$log_{cosx}{sinx}+log_{2cosx}{sinx}+1=1\Leftrightarrow log_{cosx}{sinx}+log_{2cosx}{sinx}=0\Leftrightarrow ...$$




#468155 $y=f(x)=x^{4}+2ax^{3}+(a^{2}+a+2b)x^{...

Đã gửi bởi BoFaKe on 01-12-2013 - 18:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực a,b thỏa mãn $a^{2}\geq 2a+4b$ . Tìm Min của hàm số

$y=f(x)=x^{4}+2ax^{3}+(a^{2}+a+2b)x^{2}+(a^{2}+2ab)x+b^{2}$

Spam: Em thử xem lại đề xem có phải là $a^{2}\leq 2a+4b$ không?




#468146 Giải hệ phương trình (đề thi hsg tp.hà nội)

Đã gửi bởi BoFaKe on 01-12-2013 - 17:33 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

 

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

 

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

 

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

 

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

 

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

 

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

 

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.




#468130 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (a+2...

Đã gửi bởi BoFaKe on 01-12-2013 - 16:57 trong Dãy số - Giới hạn

Tính $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (a+2x)-2\sin (a+x)+\sin x}{x^{2}}$.




#468009 Tính nguyên hàm: $\int \frac{2x^2+x+1}{x-1...

Đã gửi bởi BoFaKe on 30-11-2013 - 23:38 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính nguyên hàm: $$\int \dfrac{2x^2+x+1}{x-1}dx$$

$\int \dfrac{2x^2+x+1}{x-1}dx=\int (2x+3+\frac{4}{x-1})dx= x^{2}+3x+4\ln \left | x-1 \right |+C$




#468008 Tính nguyên hàm: $\int\dfrac{3^x+9\times5^x}...

Đã gửi bởi BoFaKe on 30-11-2013 - 23:36 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính nguyên hàm: $$\int\dfrac{3^x+9\times5^x}{7^x}dx$$

$\int (\frac{3}{7})^{x}dx+\int 9.(\frac{5}{7})^{x}dx$ với $\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$




#468007 Tính nguyên hàm: $\int \sin^42xdx$

Đã gửi bởi BoFaKe on 30-11-2013 - 23:33 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính nguyên hàm: $$\int \sin^42xdx$$

$$\sin ^{4}2x=(\frac{1-\cos 4x}{2})^{2}=\frac{1}{4}+\frac{\cos^{2} 4x}{4}-\frac{\cos 4x}{2}= \frac{1}{4}+\frac{\frac{1+\cos 8x}{2}}{4}-\frac{\cos 4x}{2}$$.

Đến đây thì ok!




#467666 $\left\{\begin{matrix}x^{2}-y^...

Đã gửi bởi BoFaKe on 29-11-2013 - 18:22 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Đặt $$x+y=a;x-y=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=2 & & \\ \log _{2}a-\log _{3}b=1 & & \end{matrix}\right.$$

Thế $a=\frac{2}{b}$ vào phương trình thứ $2$ ta được:

$\log _{2}\frac{2}{b}-\log _{3}b=1\Leftrightarrow 1-\log _{2}b-\log _{3}b=1\Leftrightarrow b=1\Rightarrow a=2......$




#467498 $ 2x+z+a-1=x^{2}+y^{2} $

Đã gửi bởi BoFaKe on 28-11-2013 - 22:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: $\left\{\begin{matrix} 2x+z+a-1=x^{2}+y^{2} & & \\ \left | x-1 \right |-2ay+z+2=0 & & \end{matrix}\right.$

Viết hệ lại thành :

$\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+y^{2}=z+a & & \\ \left | x-1 \right |-2ay+z+2=0 & & \end{matrix}\right.$

*)Điều kiện cần :

Dễ thấy $x$ là nghiệm thì $2-x$ cũng là nghiệm,khi đó để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=2-x$ hay $x=1$.

Thay vào ta được hệ mới là :

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=z+a & & \\ -2ay+z+2=0 & & \end{matrix}\right.$

Cộng $2$ vế phương trình ta được :

$y^{2}-2ay+2-a=0$

Để nghiệm duy nhất thì $\Delta '=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1 & & \\ a=-2 & & \end{bmatrix}$

*)Điều kiện đủ:

Với $a=1$ giải hệ ra xem có thõa mãn hay không r kết luận

Với $a=-2$ tương tự 

-----------------------------------

P/S:

Cho em hỏi cái điều kiện cần? Làm cách nào để biết đc là x là nghiệm thì 2-x cũng là nghiệm ạ?

Đây là phương pháp điều kiện cần và đủ,thường gặp ở các loại bài tìm nghiệm duy nhất,biện luận với tham số,em có thể tham khảo thêm.

Để dễ nghĩ thì đặt $\left | x-1 \right |=t$ thì với mỗi nghiệm $t$ luôn cho ta $2$ nghiệm 

$\begin{bmatrix} x=1+t & & \\ x=1-t & & \end{bmatrix}$

Tổng của $2$ nghiệm này luôn bằng $2$ nên $x$ là nghiệm thì $2-x$ cũng là nghiệm.




#467363 $C_{2013}^{1}+C_{2013}^{5}+C_...

Đã gửi bởi BoFaKe on 28-11-2013 - 18:59 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Tính : $C_{2013}^{1}+C_{2013}^{5}+C_{2013}^{9}+...+C_{2013}^{2013}$




#467362 Hỏi về số lượng like

Đã gửi bởi BoFaKe on 28-11-2013 - 18:57 trong Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại

Like 2 lần trong cùng 1 bài?




#466940 Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016

Đã gửi bởi BoFaKe on 26-11-2013 - 20:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

bài 83:

cho x,y,z >o và x2+y2+z2=1.

CMR: $\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\geqslant \frac{3}{2}$

^^

Với $x=y=\frac{1}{2};z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì bất đẳng thức sai,đề phải là :

$\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\leq \frac{3}{2}$




#466931 $\left\{\begin{matrix} 4xy(x^2-y^2)-8x^2y^...

Đã gửi bởi BoFaKe on 26-11-2013 - 19:55 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Từ phương trình đầu :

$xy(x^{2}-2xy-y^{2})=0$

TH1 :$xy=0$ tìm được $x^2=1;y=0$ hoặc $x=0;y^2=1$.

TH 2; $x^{2}-2xy-y^{2}=0\Leftrightarrow x=(1+\sqrt{2})y\vee x=(1-\sqrt{2})y$ .Thế vào phương trình $2$ để giải.




#466926 Một số bài pt mũ $2^{cos2x}=(2+x^2)^{1+x}$

Đã gửi bởi BoFaKe on 26-11-2013 - 19:38 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

3.$3^{x^2-1}+(x^2-1)3^{x+1}=1$

Phương trình tương đương : $3^{x^{2}-1}-1=(1-x^{2}).3^{x+1}$

Nếu $x^{2}> 1$ thì $VT>0>VP$

Nếu $x^{2}< 1$ thì $VT<0<VP$

Vậy $x^{2}= 1 \Leftrightarrow x=1\vee x=-1$




#465351 Số các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+y+z=2012$

Đã gửi bởi BoFaKe on 19-11-2013 - 21:15 trong Số học

Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+y+z=2012$

Trong các số nghiệm này có bao nhiêu nghiệm $(x_{0};y_{0};z_{0})$ trong đó $x_{0};y_{0};z_{0}$ đôi một khác nhau.




#462454 $\begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-4x+5...

Đã gửi bởi BoFaKe on 06-11-2013 - 12:19 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

giải phương trình

$\begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-4x+5}-\sqrt{x^{2}-10x+50} \end{vmatrix}=5$

Ta có bđt 

$$\left | \sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{c^{2}+d^{2}} \right |\leq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}} $$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq -2(ac+bd)$$ (Đúng theo C--S).

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Áp dụng

$\begin{vmatrix} \sqrt{(x-2)^{2}+(-1)^{2}}-\sqrt{(5-x)^{2}+5^{2}} \end{vmatrix}\leq \sqrt{(5-2)^{2}+(5-1)^{2}}= 5$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x-2}{5-x}=\frac{-1}{5}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$