Chọn hai đoạn thẳng có độ dài bất kỳ từ 0m đến 1m. Tính xác suất sao cho tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng đó nằm trong khoảng $(\frac{1}{2},2)$.

Theo thống kê xác suất để 2 ngày liên tiếp có mưa ở 1 thành phố vào mùa hè là 0.5; còn không mưa là 0.3. Biết các sự kiện có 1 ngày mưa, 1 ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ 2 có mưa, biết ngày đầu không mưa.

Cho $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{a+b+c}{4}$

Cho $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{a+b+c}{4}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Ta có : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq (a+b+c)^{3}=27(holder)$

Mà : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\sum a^{2})(\sum a^{2}+b^{3})\geq \sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})(\frac{(a+b+c)^{2}}{3} + (a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 3\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} (30-\frac{8(a+b+c)^{3}}{9})\geq 18\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})} \geq 27$ ( đã cm trên )

=> Min : $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}(a^{2}+b^{3})}$ = $\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

Bạn xem lại nhé, ở đây bạn sử dụng mệnh đề $A\geq 27; A\geq B$ để suy ra $B\geq 27$ là chưa chính xác.

Bạn xem lại đề bài được không? Mình thử bằng máy tính với a=0, b càng nhỏ thì giá trị của P càng nhỏ, mà b khác 0 nên có lẽ không  tìm được min 

Đề bài chính xác rồi bạn, b đâu có khác 0, hay vì bạn cho a=0 nên quy cho b phải khác 0 @@

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x^{3}+3x^2\sqrt{x-y}=y(\sqrt{y^{2}+1}+1)(\sqrt{x^{2}+1}-1) & \\
(2y-1)\sqrt{1+x}+(2y+1)\sqrt{1-x}=2y &
\end{matrix}\right.$

Cho a,b,c là chiều dài các cạnh của tam giác có chu vi 2p. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{p-a}\geq \sum \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$

Từ một bộ tú lơ khơ 52 quân người ta lấy ngẫu nhiên ra 3 quân bài. Tính xác suất để lấy được một bộ tam (bộ 3 quân bài có cùng giá trị).

Thử đặt $\sqrt{x+1} = a; \sqrt[3]{x+5} = b (a \geq 0)$

Ta được hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2a + 8b = a^2.b^3\\ b^3-a^2 = 4 \end{matrix}\right.$

 

Nếu không được thì liên hợp thử.

Mình đã thử cả 2 cách và không thành công

Cho các số thực $a,b,c$.
Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=2016ab-bc-ca$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1)& \\
3xy^2-2x-2y^2+1=0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
x+\frac{x^{3}}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)} & \\
x\sqrt{y+1}-2x+\sqrt{x+1}=0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
8x^3+12x^2y+12xy-26x^2+28x-3y-3=0 & \\
y^3-6xy^2+9y^2-24xy+24x+24y+25=0 &
\end{matrix}\right.$

Giải bất phương trình:
$\sqrt{3}^{x}+\sqrt{5}^{x} > 2^{x}$

Giải phương trình:
$2^{x}=cos^{4}x$

Giải phương trình:
$2^{\sqrt{1-3sinx}}+1+3sinx=log_{2}(1-9sinx)$

Cho các số thực $x,y\geq 1$ và $0\leq z\leq 2$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\frac{xy+2z^{2}}{x^{2}+xy+2z^{2}}+\frac{5xy+z^{2}}{y^{2}+5xy+z^2}-\sqrt{\frac{x+y}{z}}$