Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Mrnhan nội dung

Có 740 mục bởi Mrnhan (Tìm giới hạn từ 06-06-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#683353 Tính đạo hàm Fréchet của: $f(x)=||Ax-b||^2$

Đã gửi bởi Mrnhan on 06-06-2017 - 13:38 trong Giải tích

Em có biết một công thức liên quan đến tính đạo hàm của tích ma trận (product rules) 

$$\nabla \left( U^TV\right)=\nabla(U)V+\nabla(V)U$$

 

Bài toán ban đầu tương đương với 

$$f(x)=\left\|Ax-b\right\|^2=(Ax-b)^T(Ax-b)\Rightarrow f'(x)=2A^T(Ax-b)$$

 

Vì nếu $C= (c_1, c_2, \dots, c_n)^T$ và $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)^T$

 

$$\Rightarrow g(x)=C^Tx=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n$$

$$\Rightarrow \nabla (g(x))=\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}=C$$

Vậy $$\nabla(Ax-b)=A^T$$




#681353 Tích tích phân suy rộng (dùng hàm gamma & beta)

Đã gửi bởi Mrnhan on 21-05-2017 - 08:36 trong Giải tích

tính tích phân suy rộng

Giải

 

ĐK: ...... :)

 

$$I(a)=\int_0^1\frac{x^2(1-x^a)}{\ln x}dx$$

 

$$\Rightarrow I(0)=0, I'(a)=-\int_0^1x^{2+a}dx=-\frac{1}{3+a}$$

 

$$I(a)=-\ln(3+a)+K$$

 

$$I(0)=0\Rightarrow K=\ln3$$

 

$$\Rightarrow I(a)=\ln\frac{3}{3+a}$$




#667747 $(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left|...

Đã gửi bởi Mrnhan on 09-01-2017 - 17:13 trong Đại số đại cương

Ma trận mà có thể định nghĩa  $Au$ sao?

 

Có lẽ từ đúng là "toán tử". Nhiều thông tin hơn cho $A$ là gì? $A$ xác định  trên đâu? 

$A$ là ma trận vuông thực nha bạn (theo mình nghĩ thì $A$ là ma trận vuông gì cũng được, cứ thỏa mãn là có các trị riêng vuông là được). $u$ là vector (lúc đầu mình định viết là $\nabla u$ cho dễ hiểu, nhưng viết như trên cũng ko sao)

Còn $(.,.)_{L_2(\Omega)}$ (một số tài liệu ký hiệu là $<.,.>_{L_2(\Omega)}$) là tích vô hướng trên không gian $L_2(\Omega)$




#667600 $(Au, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left|...

Đã gửi bởi Mrnhan on 08-01-2017 - 11:28 trong Đại số đại cương

Cho $A$ là ma trận vuông thực có các trị riêng $\lambda_k>0$ và $\lambda_0=\min\left\{\lambda_k\right\}$.

Chứng minh rằng: $$(A u, u)_{L_2(\Omega)}\geq\lambda_0\left| u\right|^2, \; \forall u$$

trong đó

$$\left(u, v\right)_{L_2(\Omega)}=\int_{\Omega}uvdx$$




#650756 Topic về Bất đẳng thức trong Tích phân

Đã gửi bởi Mrnhan on 22-08-2016 - 10:20 trong Giải tích

Vế phải trong bất đẳng thức của bạn không biết có nhầm lẫn gì không ?

 

Hình như bạn ấy sai điều kiện thôi, điều kiện phải là $f(0)=0$

 

Nếu thế thì lời giả sẽ là:

 

$$f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt\leq \left ( \int_{0}^{x}1^2 \right )^{1/2} \left( \int_{0}^{x}\left ( f'(t) \right )^2 \right )^{1/2}$$

 

$$\Rightarrow f^2(x) \leq x \int_{0}^{x}\left ( f'(t) \right )^2dt\leq x \int_{0}^{1}\left ( f'(t) \right )^2dt$$

 

$$\Rightarrow \int_{0}^{1} f^2(x)dx\leq \int_{0}^{1}xdx\int_{0}^{1}\left ( f'(t) \right )^2dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left ( f'(x) \right )^2dx$$




#636422 Trị tuyệt đối các giá trị riêng còn lại không lớn hơn $1$

Đã gửi bởi Mrnhan on 28-05-2016 - 23:44 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho ma trận vuông $A=(a_{ij})_{n\times n}$ thỏa mãn $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=1, \; a_{ij}\geq 0,\; \forall i=\overline{1,n}$. Biết rằng ma trận $A$ có một giá trị riêng là $1$. Chứng minh rằng trị tuyệt đối các giá trị riêng còn lại không lớn hơn $1$.




#633861 Tìm nghiệm của $\frac{\partial^2u }{\parti...

Đã gửi bởi Mrnhan on 18-05-2016 - 11:38 trong Giải tích

Tìm nghiệm của bài toán:
$$\frac{\partial^2u }{\partial t^2}=\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$
thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix}u(x, y, z, 0)=\varphi(r)\\\frac{\partial u }{\partial t}(x, y, z,0)=\psi(r)\end{matrix}\right. , r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$



#613646 Tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx...

Đã gửi bởi Mrnhan on 08-02-2016 - 15:00 trong Giải tích

Biết rằng $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\pi^2}{12}$, tính $\int_0^1 \frac{\ln(1-x^3)}{x}dx$

 

Bài giải:

 

Ta có

 

$$t=x^3\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-t)}{3t}dt\Rightarrow 3I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx$$ 

 

$$3I+\frac{\pi^2}{12}=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x)}{x}dx+\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{x}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-x^2)}{2x^2}d(x^2)=\frac{3I}{2}$$

 

$$\Rightarrow I=-\frac{\pi^2}{18}$$

 

Cách tìm tích phân đầu




#609788 Tìm $\max$ và $\min$ của $P(A+B)$

Đã gửi bởi Mrnhan on 19-01-2016 - 12:13 trong Xác suất - Thống kê

Cho $A, B \in \Omega$ sao cho $P(A)= a,\, P(B)=b$. Tìm $\max$ và $\min$ của $P(A+B)$




#608895 Có thể có bao nhiêu nhóm khác nhau

Đã gửi bởi Mrnhan on 14-01-2016 - 11:49 trong Các bài toán và vấn đề về Tổ hợp và rời rạc

Bài toán:

Chọn 8 học sinh trong tổng số 20 học sinh để nhận học bổng từ 2 nhà tài trợ. Biết rằng những học sinh cùng 1 nhà tài trợ sẽ làm nhóm cùng nhau và mỗi học sinh có thể nhận 2 học bổng (làm việc trong 2 nhóm). Hỏi có thể có bao nhiêu nhóm khác nhau.




#605011 Tìm $\lim\limits_{x\to a^+} \frac{...

Đã gửi bởi Mrnhan on 24-12-2015 - 14:00 trong Giải tích

Tìm $$\lim\limits_{x\to a^+} \frac{\ln(x-a)}{\ln(e^x-e^a)}$$

 

Đây là dạng $\frac{\infty}{\infty}$, áp dụng $L'hopital$

 

$$\lim_{x\to a^+}\frac{\ln(x-a)}{\ln(e^x-e^a)}=\lim_{x\to a^+}\frac{e^x-e^a}{(x-a)e^x}=1$$




#604345 Tìm cực trị $w=x^2+4y^2-3xy+11x-34y+a$

Đã gửi bởi Mrnhan on 21-12-2015 - 11:45 trong Giải tích

 

Câu 1: Tìm cực trị 
$w=x^2+4y^2-3xy+11x-34y+a$
Câu 2: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange hãy tìm cực trị
$w=axy$
với $x+ay=10$
 
Spoiler

 

 

Lý thuyệt (học cũng được 2 năm rồi :( chả nhớ lắm )

 

Ta có $$\left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}\\B=w''_{xy}\\C=w''_{y^2}\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC$$

 

Và điểm dừng $M(x_0, y_0)$

$D>0$ thì không có cực trị tại $M.$

$D<0$ thì có cực trị, xét dấu của $A$

$D=0$ thì chưa có kết luận(có thể có thể ko) (chả nhớ xét kiểu gì :D )

 

Bài 1.

 

Tìm điểm dừng

$$\left\{\begin{matrix} w'_x=2x-3y+11=0\\w'_y=8y-3x-34=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\y=5\end{matrix}\right.$$

 

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=w''_{x^2}=2\\B=w''_{xy}=-3\\C=w''_{y^2}=8\end{matrix}\right. \Rightarrow D=B^2-AC=-7, \, A=2>0$$

 

Nên hàm đã cho đạt cực tiểu tại $(2, 5)$ và không có cực đại.

 

Bài 2.

 

Lý thuyết: Tìm cực trị của hàm $f=f(x, y)$ thỏa mãn $g(x, y)=0$. Xét hàm Lagrange

$$F=F(x, y, \lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

 

Tìm điểm dừng:

$$\left\{\begin{matrix}F'_x=ay+\lambda=0\\F'_y=ax+a\lambda=0\\F'_\lambda=x+ay-10=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\neq 0\\x=5\\y=-\frac{5}{a}\\\lambda=-5 \end{matrix} \right.$$

 

$$\Rightarrow \Delta=-\begin{vmatrix} 0&&g'_x&&g'_y\\g'_x&&F''_{x^2}&&F''_{xy}\\g'_y&&F''_{xy}&&F''_{y^2}\end{vmatrix}=a^4$$

 

Hàm đã cho có cực tiểu tại $\left ( 5,\,\frac{5}{a} \right )$.

 

Có tham khảo tại đây.




#603828 Tổng kết 5 năm hoạt động của Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán...

Đã gửi bởi Mrnhan on 18-12-2015 - 20:46 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Sao em có giấy mời oách vậy ? :D

 

Em cũng ko biết, cả lớp được mời luôn ạ :)




#603724 Tổng kết 5 năm hoạt động của Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán...

Đã gửi bởi Mrnhan on 18-12-2015 - 11:02 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Có thành viên nào của VMF tham gia cái này không? 

Đến gặp mặt :D (chụp ảnh cũng vui)

maths.jpg




#602724 Tìm các hệ số của $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + .....

Đã gửi bởi Mrnhan on 12-12-2015 - 08:55 trong Các bài toán và vấn đề về Đa thức

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$
Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

Học sinh giỏi Bắc Ninh $2009$

 

 

Từ đề bài, ta có $$y(0) = 0, y'(0)=1$$

 

Đặt $$y = \frac{b_1}{1!}x+\frac{b_2}{2!}x^2+...+\frac{b_n}{n!}x^n+...$$

 

$$\Rightarrow b_n = y^{(n)}(0)$$

 

Ta cần tìm các  hệ số của pt (dựa vào giả thiết):

$$(1-x^2)y^{(n+2)}=k_{n}xy^{(n+1)}+t_{n}y^{(n)}$$

$$b_{n+2}=t_nb_n$$

 

Theo giả thiết, ta có

 

$$\left (1 - x^2 \right )y' = xy + 1 \Rightarrow (1-x^2)y''=3xy'+y$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y'''= 5xy''+4y'$$

 

$$\Rightarrow (1-x^2)y^{(4)}= 7xy^{(3)}+9y''$$

$$....$$

 
Đoán: $k_n = 2n+3, \,\, t_{n}=k_{n-1}+t_{n-1}=t_{n-1}+2n+1, t_0=1$ (quy nạp lại để chứng minh :D )
 
Dễ dàng suy ra $$t_{n}=(n+1)^2\to b_{n+2}=(n+1)^2b_n,\,\, b_0=0, \,\,b_1=1$$
 
*************************************
Làm tiếp:
 
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b_{2n}=0\\b_1=1\\b_{2n+1}=4n^2b_{2n-1}=...=4^n(n!)^2b_1=4^n(n!)^2\end{matrix}\right.$$
 
$$\Rightarrow a_n=\frac{b_{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$$
 
Giải phương trình:
 
$$(1-x^2)y'-xy=1\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}y'-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
$$\left ( y\sqrt{1-x^2} \right )'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\Rightarrow y=\frac{\arcsin(x)+C}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$$
 
So sánh kết quả với khai triển: wolframalpha



#598489 Tính tích phân $\int_0^{+\infty} \frac{dx...

Đã gửi bởi Mrnhan on 15-11-2015 - 17:16 trong Giải tích

Tính tích phân $\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$

Cái này ko hội tụ, sao tính được :(




#596466 $C=\pi (3(a+b)-\sqrt{(a+3b)(b+3a)})$

Đã gửi bởi Mrnhan on 01-11-2015 - 17:42 trong Giải tích

Chứng minh công thức tính xấp xỉ chu vi hình Elip sau đây ( gọi là công thức Ramanujian)
$$\pi (3(a+b)-\sqrt{(a+3b)(b+3a)})$$
Trong đó $a,b$ là độ dài hai bán trục.

 

Phương trình của hình Elip là : $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\,\,a, b >0$$

 

$$\Rightarrow x=a\cos(t), \, y = b\sin(t),\,\, t \in \left [ 0,\, 2\pi \right ]$$

 

Công thức tính độ dài đường cong:

 

$$L = \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ( y_x' \right )^2}dx=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left ( x_t' \right )^2+\left ( y_t' \right )^2}dt$$

 

Do tính đối xứng, nên ta chỉ cần tính 1/4 của Elip thôi :)

 

$$L_{\text{Elip}} = 4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left ( -a\sin(t) \right )^2+\left ( b\cos(t) \right )^2}dt$$

 

Tích phân này tự tính, lâu rồi không tính tích phân cũng nhác tính :D




#594661 $\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x...

Đã gửi bởi Mrnhan on 21-10-2015 - 04:39 trong Giải tích

Cho mình hỏi chút về 1 bài toán: Tính $\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx} \right )$

Lời giải 1

Giới hạn cần tính là $\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{ln\left ( 1+x-1 \right )} \right )=\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1} \right )=1$ ( theo quy tắc VCB tương đương)

Lời giải 2:

Ta có $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{xlnx-\left ( x-1 \right )}{\left ( x-1 \right )lnx}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x.\left ( \left ( x-1 \right )-\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}+o\left ( \left ( x-1 \right )^{2} \right ) \right )-x+1}{\left ( x-1 \right )\left ( x-1 \right )}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

( theo khai triển Taylor)

Lời giải 3: Dùng L' Hopital cũng ra 1

 

Cách giải nào đúng và làm sao nhận biết được cách làm chính xác cho từng trường hợp!

 

Chưa xét tới tính toán, nhưng trong giới hạn không được dùng VCB, VCL cho tổng hiệu, chỉ cho tích, thương thôi :)

Còn muốn kiểm nghiêm kết quả có lên lên wolframalpha: http://www.wolframalpha.com/




#593418 $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}...

Đã gửi bởi Mrnhan on 12-10-2015 - 12:56 trong Giải tích

Mình xin nhờ các anh, chị, các bạn hướng dẫn hộ mình bài này.

Chứng minh dãy số ${\left\{ {{a_n}} \right\}_n}$ thỏa mãn $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| < {\left( {\frac{{2014}}{{2015}}} \right)^n},\forall n \in {N^*}$ là dãy Cauchy.

Mình xin cám ơn và chúc mọi người một đêm thật ngon giấc. :)

 

 

$\forall \epsilon >0 ,\,\forall q, p \in \mathbb{N},\, p>q> \left \lceil \frac{2015}{2014}\ln\frac{\epsilon }{2015} \right \rceil$, ta có

 

$$\left | a_p-a_q \right |\leq \left | a_p-a_{p-1} \right |+...+\left | a_{q+1}-a_q \right |<\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-1}+...+\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q $$

 

$$= \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q\left [ \left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q-1}+...+1 \right ]=\left ( \frac{2014}{2015} \right )^q \times \frac{1-\left ( \frac{2014}{2015} \right )^{p-q}}{1-\frac{2014}{2015}}<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q$$

 

$$\Rightarrow \left | a_p-a_q \right |<2015 \times \left ( \frac{2014}{2015} \right )^q < \epsilon,\,\, \boxed{\text{đpcm}}$$




#592370 Bài tập xác suất - thống kê (Mô phỏng khí hậu)

Đã gửi bởi Mrnhan on 06-10-2015 - 11:59 trong Xác suất - Thống kê

R là gì hả bạn? :)
nếu DL của bạn giống của mình(mô phỏng khí hậu): cột 1 là 1-2-3( hình như là số dự án nghiên cứu, độc lập); cột 2 là số lần chạy mô phỏng(mỗi nghiên cứu chạy 180 lần); cột3 đến 20 là các giá trị đầu vào để chạy mô phỏng(không cái nào giống cái nào :))) ); cột cuối:0= mô phỏng thất bại,1= mô phỏng thành công. Trong link dẫn DL của mình thì phần dưới có giải thích DL đó. Mình có hỏi thầy làm ntn, thầy tl: phân tích từng thuộc tính, 0-1 chuyển sang cơ số 10. Mình vẫn không hiểu, chả lẽ làm hàm mật độ, phân phối và vẽ hết đồ thị của 18 thuộc tính đầu vào, 0-1 chuyển sang cơ số 10 thành 0-2 thì nó cũng chỉ là ám chỉ thành công hay thất bại của mô phỏng. @@

 

Giờ tôi phải đi học, có gì tối inbox trao đổi.

Chứ xác suất tôi học 1 năm rồi, giờ lại quay lại thống kê, chắc lại mất khá thời gian đọc lại nữa :(




#592345 Bài tập xác suất - thống kê (Mô phỏng khí hậu)

Đã gửi bởi Mrnhan on 06-10-2015 - 05:24 trong Xác suất - Thống kê

Thầy e có cho bài thi giữa kì là làm tiểu luận, làm trên excel. Đây là link bài tập của e

http://archive.ics.u...ulation Crashes

Sau khi coppy dữ liệu về thì e cũng chưa biết mình phải làm là gì. Yêu cầu của thầy là vẽ đồ thì hàm mật độ,phân phối. Từ đó nêu được ý nghĩ của dữ liệu. Về dữ liệu thì e hiểu là: cột 3-20 là các tham số đầu vào, cột cuối để chỉ sự thành công hay thất bại của Thí nghiệm. Điều e muốn hỏi là với cái dữ liệu như thế này thì e cần làm như thế nào. File data e xin để ở dưới. Ai biết chỉ e với ạ.

Tôi cũng có bài tập giống bác, tuần này phải nộp cho cô mà chưa biết làm gì :)

Bác dùng R ko?

Tôi chưa hiểu dữ liệu các cột lắm :(




#583145 Tìm tọa độ $B \,\, \text{&} \,\,...

Đã gửi bởi Mrnhan on 19-08-2015 - 17:45 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho hình chữ nhật ABCD biết tọa độ $A(x_A, y_A) \,\, \text{&}  \,\, C(x_C, y_C) $. Tìm tọa độ đỉnh $B \,\, \text{&} \,\, D$.

Già rồi, nhờ các bạn trẻ làm :)




#582205 Tính $\int_{0}^{+\infty }\frac{x...

Đã gửi bởi Mrnhan on 16-08-2015 - 06:43 trong Giải tích

Tính tích phân

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

Ta có

 

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2}{x^4-x^2+1}dx$$

 

$$=\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}+\pi i Re\left \{ \frac{x^2}{x^4-x^2+1}, \, x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right \}$$

 

$$=\pi i \left ( \frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )+\pi i\left ( -\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{4}i \right )=\frac{\pi}{2}$$




#574500 Xin tài liệu Học Máy, TTNT

Đã gửi bởi Mrnhan on 21-07-2015 - 22:20 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

:)) Em down tài liệu về tích trữ trong máy thôi chứ cái này tầm năm 2 mới học 

Toán tin ngoài đó học nhiều nhề . Trường em bọn toán tin chỉ học chung mấy môn giải thuật + lập trình :3 

 

Bọn mình hè rảnh rỗi nên kiếm việc làm cho bớt rảnh thôi chứ ko được học ở trường :)




#572460 Tính $I=\int_0^{+\infty} \frac{dx}...

Đã gửi bởi Mrnhan on 14-07-2015 - 18:06 trong Giải tích

Tính $$I=\int_0^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)...(x+n)}$$

 

Đặt $$f_n(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+n)}=\frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}C_{n-1}^{i-1}}{x+i},\, n\geq 2.$$
 
(Chứng minh bằng quy nạp :) )
 
* $n=2k+1$
 
$$\Rightarrow I_n = \int f_n(x)dx=\frac{1}{(2k)!}\ln\left(\frac{(x+1)(x+3)^{C_{2k}^2}(x+5)^{C_{2k}^4}...(x+2k+1)}{(x+2)^{C_{2k}^1}(x+4)^{C_{2k}^3}...(x+2k)^{C_{2k}^{2k-1}}}\right)+C$$
 
Theo Newton thì bậc tử bằng bậc mẫu.
 
$$\Rightarrow I = \frac{1}{(2k)!}\sum_{i=1}^{2k+1}(-1)^{i}\ln(i)C_{2k}^{i-1}$$
 
* $n=2k$ làm tương tự :)