Tiếp nhỉ
Bài toán 3.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge \sum \dfrac{a+b}{a^2+b^2+1}$$

Bài toán :
Cho $a,b,c, d, e$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left [\dfrac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\right ]^{128} \ge \left (\dfrac{a+b+c+d+e}{5}\right )^{125}(abcde)^{103}$$

Bài toán :
Cho $a, b$ là các số thực không âm. $n \in N$. Chứng minh rằng :
$$(n+1)\left (a^{n+1}+b^{n+1}\right ) \ge (a+b)\left (a^n+a^{n-1}b+...+b^n\right )$$

Bài toán
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^3}{1-4xy^2z}+\dfrac{y^3}{1-4xyz^2}+\dfrac{z^3}{1-4x^2yz} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{5}$$

Để chào mừng ngày thương binh liệt sỹ 27-7-2012, mình có bài toán nhỏ sau :
Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTLN của :
$$P=27\left (a^2b+b^2c+c^2a\right )+7\left (ab^2+bc^2+ca^2\right )+2012 \left (ab+bc+ca\right )$$

Với bài này, có thể sử dụng :

• $(ab+bc+ca)(a+b+c)=ab^2+bc^2+ca^2+a^2b+b^2c+c^2a+3abc$
  
• $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

Cho ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}\,\,(n \ge 2)$ là các số dương thỏa mãn:
${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \le k,\,\,(k\, \in {R^*}),\,b \ge 0,\,\,b{n^2} \ge a{k^2}$.
CMR: $a({x_1} + {x_2} + ... + {x_n}) + b\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}}} \right) \ge \frac{{b{n^2} + a{k^2}}}

{k}.$

Đặt ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n}=m$
Áp dụng CS, AM-GM, ta có :
$VT \ge am+\dfrac{bn^2}{m} =am+\dfrac{ak^2}{4m}+\dfrac{bn^2-ak^2}{m} \ge 2ak+\dfrac{bn^2-ak^2}{k} =\dfrac{bn^2+ak^2}{k}$

CMR: $(\sin x + a\cos x)(\sin x + b\cos x) \le 1 + {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}$ với mọi a, b, x.

Cách 2.
Biến đổi tương đương, cần chứng minh :
$$2\left [(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x}\right ] \le a^2+b^2+2$$
Sử dụng CS, ta có :
$$(a+b)\sin{2x}-(ab-1)\cos{2x} \le \sqrt{(a+b)^2+(ab-1)^2}=\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$2\sqrt{a^2+b^2+a^2b^2+1}\le a^2+b^2+2$$
$$\Leftrightarrow 4\left (a^2+b^2+a^2b^2+1\right ) \le a^4+b^4+2a^2b^2+4\left (a^2+b^2\right )+4$$
$$\Leftrightarrow \left (a^2-b^2\right )^2 \ge 0$$
Hiển nhiên đúng.BĐT đã được chứng minh.