Em làm theo thì bị như này, anh biết cách sửa không ạ?

PS C:\Users\Admin\OneDrive\Máy tính> tlmgr conf auxtrees add "C:\Users\Admin\OneDrive\Máy tính\mtp2lite\texmf"
Cannot write to C:/texlive/2023/texmf.cnf: Permission denied

__
Bạn để ý lỗi đường dẫn có dấu cách và tiếng việt kìa!

Bạn download file gốc ở đâu, và lưu ở đâu vậy? Bạn dùng TexLive hay MikTex?

Mình down font từ trên CTAN và lưu về mục Downloads. Sau đó giải nén và áp dụng các bước ở link thì không gặp vấn đề gì. Ngoài ra mình dùng TexLive 2023. 

Mọi người cho em hỏi làm sao để thêm font chữ toán mới vào tex ạ. Cụ thể là mtplite2 ạ, em đã tải về nhưng không biết cách thêm vào. Cảm ơn mọi người.

Nếu bạn dùng Windows thì xem hướng dẫn ở đây: mtpro - Installing mtpro2lite - TeX - LaTeX Stack Exchange. Trước mình cũng dùng cách này. 

Thời điểm mà Borel phát triển lý thuyết nhóm đại số thì ngôn ngữ lược đồ vẫn chưa hoàn thiện. Ngôn ngữ ở trong các sách này là theo kiểu của Weil. Nếu đọc lý thuyết nhóm đại số thì anh nghĩ trước tiên chỉ cần quan tâm đến lý thuyết trên trường đóng đại số. Còn các câu hỏi về tính hữu tỷ trên một trường bất kỳ thì nên đọc Milne với ngôn ngữ lược đồ để tránh những sự khó hiểu của ngôn ngữ cũ. 

Anh nghĩ là cần chú ý rằng khái niệm đa tạp/lược đồ không chỉ giới hạn về vấn đề điểm mà còn có cấu trúc $k$-đại số ở trên đó. Trên trường đóng đại số, ta đã quen với việc định nghĩa đa tạp thông qua phép nhúng $X\subset \mathbb{A}^{n}$, và ta có Hilbert Nullstellensatz (song ánh $V\leftrightarrow I(V)$), nên cấu trúc đại số ở chỗ này dường như bị lãng quên. Nhưng trên trường không đóng đại số thì cấu trúc đại số là rất quan trọng. Có thể thấy điều đó từ (phản) tương đương phạm trù giữa $k$-lược đồ affine và $k$-đại số. Hai ideal có thể xác định cùng một tập nghiệm nhưng không đẳng cấu với nhau ($V(x)$ và $V(x^{2})$). 

Về câu chuyện descent: Ta cần tìm $k$-đại số $B$ để $B\otimes_{k} \bar{k}\cong A$. Nhưng $B$ này không phải lúc nào cũng là duy nhất. Một ví dụ khác là xét hai đường cong elliptic 

\[E_{1}: y^{2}=(x-a)(x-b)(x-c), \quad E_{2}: y^{2}=-(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c\in \mathbb{R}.\]

Hai đường cong này đẳng cấu trên $\mathbb{C}$ thông qua $(x, y)\mapsto (x, iy)$ nhưng không đẳng cấu trên $\mathbb{R}$. Các $k$-form như vậy được xác định thông qua đối đồng điều Galois (xem định lý 3.41 trong [Milne, Algebraic Groups]). Về quan hệ giữa lược đồ trên $\mathbb{C}$ và $\mathbb{R}$ mà anh Linh nói ở trên có thể xem bài tập 4.7 chương II trong Hartshorne. 

Tính không duy nhất thực sự là một vấn đề, vì quá trình mở rộng trường làm mất đi nhiều thông tin. Ví dụ một lược đồ $X$ giản ước (bất khả quy) trên $k$ thì chưa chắc đã giản ước (bất khả quy) trên $\bar{k}$. 

e có nhiều chỗ vướng mắc ,k hiểu về trường vector và k gian phụ :
-tại sao 1 trường vector lại cần toạ độ 0,và k tính đến các quy luật đại số a+0=a hay a+(-a)=0 thì ta có thật sự cần tới nó hay k,tại sao các tính chất đại số lại đc đặt ra như vậy?Liệu 1 trường vector phải có nguồn gốc 0 là do con người áp đặt lên nó hay có nguyên nhân khác?
-em đang cần giải thích về ví dụ d ạ IMG_20240312_150439.jpg
(E lấy từ cuốn "Linear Algebra Done Right" của Sheldon Axler)

Ở ví dụ d, ta chú ý rằng một không gian vector con thì phải đóng với phép cộng vector. Như vậy nếu bạn lấy hai hàm $f, g$ nằm trong không gian con này, tức là $f'(2)=g'(2)=b$, thì ta cần phải có $(f+g)'(2)=b$ để $f+g$ cũng nằm trong không gian con. Theo quy tắc đạo hàm của tổng thì ta có $2b=b$, tức là $b=0$. Ngược lại, nếu $b=0$ thì bạn dễ dàng chứng minh được $f+g$, $\lambda\cdot f$ nằm trong không gian con nếu $f, g$ thuộc không gian con. 

e có nhiều chỗ vướng mắc ,k hiểu về trường vector và k gian phụ :
-tại sao 1 trường vector lại cần toạ độ 0,và k tính đến các quy luật đại số a+0=a hay a+(-a)=0 thì ta có thật sự cần tới nó hay k,tại sao các tính chất đại số lại đc đặt ra như vậy?Liệu 1 trường vector phải có nguồn gốc 0 là do con người áp đặt lên nó hay có nguyên nhân khác?
-em đang cần giải thích về ví dụ d ạ IMG_20240312_150439.jpg
(E lấy từ cuốn "Linear Algebra Done Right" của Sheldon Axler)

Từ 'vector space' dịch ra tiếng Việt là không gian vector. Còn từ 'trường vector' trong tiếng Anh là vector fields, là một khái niệm khác hoàn toàn. 

Khái niệm vector và không gian vector xuất phát từ vật lý, nên bạn có thể lấy các ví dụ về vật lý để hình dung. Giả sử ta có một lực F tác động lên một vật, như vậy ta có thể biểu diễn F dưới dạng một vector khi biết phương, chiều và độ lớn của nó. Nhưng trong Vật lý ta cũng có trạng thái đứng yên (không có lực nào tác động lên), vậy thì vector 0 sẽ được dùng để biểu thị trạng thái này. Hoặc khi ta có hai lực bằng nhau, cùng phương nhưng ngược chiều, vậy thì tổng hợp lực của nó sẽ không thể biểu diễn được nếu không có vector 0. 

Theo góc nhìn của mình, câu hỏi này của bạn cũng tương tự như việc tại sao lại có số 0. Đó là một câu hỏi thú vị. 

Bài 1. Cho các ma trận $M \in M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ và $N \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R})$ thoả mãn
 
$$\mathrm{MN}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{array}\right)$$
Tính $NM$.
 
Bài 2. Tính định thức của ma trận $A=\left(a_{i j}\right)$ có cấp $n \times n$ được định bởi
$$a_{i j}= \begin{cases}(-1)^{|i-j|}, & \text { nếu } i \neq j \\ 2, & \text { nếu } i=j .\end{cases}$$
Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương, xét hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow M_n(\mathbb{Z})$ định bởi
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) \text {, với mọi } x \in \mathbb{Z} \text {. }
$$
Chứng minh rằng:
 
a. $(f(x))^n=x I_n$.
 
b. Nếu $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ là các số nguyên dương, đặt
$$
X=f\left((-1)^{n-1} p\right) ; Y=f\left((-1)^{n-1} q\right) \text { và } Z=f\left((-1)^{n-1}(p+q)\right)
$$
thì $\operatorname{det}(X), \operatorname{det}(Y), \operatorname{det}(Z)$ là các số nguyên dương và
$$
X^n+Y^n=Z^n
$$
Bài 4. Cho ma trận với hệ số thực $D$ có cấp $n \times n$ thoả tính chất $3 D^3=D^2+D+I_n$. Chứng minh rằng dãy ma trận $\left\{D^k\right\}_{k \in N}$ hội tụ về một ma trận luỹ đẳng. ( $\mathrm{X}$ được gọi là luỹ đẳng nếu $X^2=X$ ).
 
Bài 5. Cho $W$ là một không gian con của không gian vectơ $M_n(\mathbb{R})$ trên $\mathbb{R}$ thoả tính chất: với mọi $A, B \in W, \operatorname{trace}(A B)=0$. Chứng minh rằng: $\operatorname{dim} W \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
(trace $(\mathrm{X})$ là tồng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận $\mathrm{X}$ ).
 
Bài 6. Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n>1$ với hệ số phức. Chứng minh rằng:
$$A \bar{A}=I_n \Leftrightarrow \exists B \in G L_n(\mathbb{C}) \text{ sao cho} A=B \bar{B}^{-1}$$
(Nếu $A=\left(a_{i j}\right)$ thì $\bar{A}=\left(\overline{a_{i j}}\right)$, trong đó $\overline{a_{i j}}$ là số phức liên hợp của $a_{i j} ; G L_n(\mathbb{C})$ là tập hợp cảc ma trận vuông khả nghịch với hệ số phức).

Bài 3 là về ma trận đồng hành (companion matrix). Đa thức đặc trưng của $f(x)$ là $P(t)=t^{n}-x$ nên áp dụng định lý Cayley-Hamilton ta có ngay ý (a). Ý (b) chỉ là hệ quả của (a).

Bài 4 có thể chuyển hội tụ trên $\mathbb{R}$ sang $\mathbb{C}$ để dùng dạng chuẩn Jordan. Đa thức tối tiểu của $D$ là ước của $3t^{3}-t^{2}-t-1$, đa thức đằng sau có 3 nghiệm phân biệt nên $D$ chéo hóa được trên $\mathbb{C}$. Đặt $D=A.J.A^{-1}$, với

$$J=\text{diag}(1,\dots, 1, \lambda_{1},\dots, \lambda_{1}, \lambda_{2},\dots, \lambda_{2})$$

(có thể không có số 1 nào). Ta có $|\lambda_{1}|, |\lambda_{2}|<1$ nên $\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}\to 0$. Vì vậy

$$D^{k}=A.J^{k}.A\to X= A.\text{diag}(1,\dots, 1, 0,\dots, 0).A^{-1}$$

Dễ thấy $X^{2}=X$. Hơn nữa một dãy số thực nếu hội tụ thì phải hội tụ về một số thực, nên $X$ có hệ số trong $\mathbb{R}$.

Bài 5 có lẽ liên quan đến việc dạng song tuyến tính $(A, B)\mapsto \operatorname{trace}(AB)$ là không suy biến. Định lý Wittkhẳng định mọi không gian $W$ cực đại với tính chất đề bài cho đều có số chiều như nhau. Nếu ta có thể xây dựng một không gian $W$ cực đại có số chiều $n(n-1)/2$ thì bài toán được giải quyết. Trực giác ở đây là $W$ gồm các ma trận tam giác trên có đường chéo bằng $0$.

Nếu các bạn có thời gian cãi nhau thì mình nghĩ nên lấy thời gian đó thảo luận xem khái niệm mình nêu ra có những kết quả gì ấn tượng, hay vấn đề chỉ là cái tên gọi.

@Konstante có thể cho mọi người biết sơ qua những kết quả mà bạn thấy là ấn tượng về đa thức hủy. Khái niệm này không có trong các sách tiếng Anh. Chương trình ĐSTT ở Pháp hình như cũng khác các nước khác và mang hơi thở hình học nhiều hơn, theo như mình quan sát từ những người học ở Pháp. Còn những câu hỏi như trên của bạn thì không nên đặt ra vì ở đây đa số ai cũng tốt nghiệp đại học cả rồi. @ngtien1255 cũng nên bình tĩnh lại.

Tìm nghiệm thực của hệ phương trình vi phân sau đây:

$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$

Đây là HPT thuần nhất bậc 1, có thể viết lại dưới dạng vector là

\[\bar{x}'=A\bar{x}, \quad A=\begin{pmatrix} 3&1&0\\ 2&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.\]

Ma trận $A$ có 3 giá trị riêng thực phân biệt $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ cùng với các vector riêng $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ ($v_{i}$ là vector riêng ứng với $\lambda_{i}$). Nghiệm tổng quát của hệ là

\[\bar{x}=\alpha_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1}+\alpha_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}+\alpha_{3}e^{\lambda_{3}t}v_{3}, \quad \alpha_{i}\in \mathbb{R}.\]

Ở bài này các giá trị riêng của $A$ ra hơi xấu nên mình không viết cụ thể được $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ là gì.

Em xin chào các anh chị ạ, em hiện là sinh viên năm nhất ngành toán tại trường KHTN ĐHQG-TPHCM. Em hiện đang gặp khó khăn trong việc học môn đại số tuyến tính. Em cảm thấy các bài tập trong môn học quá nặng tính toán(thứ em rất ghét và cũng rất tệ). Chúng làm em rất nản và chán khiến cho mỗi lần làm bài tập ĐSTT như một "cực hình" đối với em. Em mong các anh chị cho em lời khuyên để học được môn học này hiệu quả ạ (đặc biệt là phần tính toán). Em cũng mong được biết lý do vì sao mình phải tính toán rất nhiều trong môn học này cũng như những lợi ích của nó, em nghĩ rằng việc biết được lý do sẽ giúp em đỡ "thù ghét" và có động lực hơn trong việc học môn ĐSTT. Em xin cảm ơn mọi người đã đọc bài viết của em.

Anh nghĩ tàn dư của Toán phổ thông là tạo cho học sinh cảm giác rằng tính toán là công việc tầm thường, chỉ có suy luận trừu tượng mới có ý nghĩa. Điều này là hết sức sai lầm. Đối với học ĐH, việc em có hiểu lý thuyết hay không sẽ thể hiện ở việc em có khả năng tính toán các ví dụ cụ thể không. Nếu câu trả lời là không thì chứng tỏ ta vẫn chưa thực sự hiểu hết lý thuyết.

Đối với môn Đại số tuyến tính, nếu em cảm thấy việc tính toán quá nhàm chán và em đã thành thạo, vậy thì em có thể tự đọc các tài liệu khác có nhiều lý thuyết hơn để thử sức. Một chủ đề em có thể tự tìm hiểu là chương 4 sách Đại số tuyến tính của Nguyễn Hữu Việt Hưng. 

Vành $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$  có bao nhiêu phần tử khả nghịch?

Một phần tử khả nghịch của vành này ứng với một lớp đồng dư $[k]$ mod 20 mà $(k, 20)=1$. Do đó số phần tử khả nghịch là 8.

Cho $A \in M_n(K) (n>2)$ thỏa tính chất: Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại đều bằng 1.

          a/. Xác định các hệ số $a,b$ sao cho $(aA + bB)^2 = I$.

          b/. Viết cụ thể $a$ và $b$ trong trường hợp $n = 3$ và $n = 4$.

$B$ ở đây của bạn là ma trận gì vậy?

Xin chào, mình là thành viên mới của diễn đàn Toán học. Chúc ban quản trị và các thành viên nhiều sức khoẻ.

 Mình muốn soạn đề toán bằng latex có công thức giống như đề của Bộ (có đính kèm hình). Nhờ các bạn hướng dẫn mình cách thực hiện ạ

Về soạn đề trắc nghiệm bằng LaTex bạn có thể xem thêm ở đây nhé Gói lệnh đề thi trắc nghiệm dethi.sty « VieTeX (wordpress.com). 

 

1. Cho ánh xạ tuyến tính $ f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định

bởi:

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.

Tìm hạt nhân và ảnh của $f$.

2. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi:

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1- x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right).$$

 

Xét hệ phương trình tuyến tính

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & -2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Để giải hệ này ta đặt $x_{3}=2t$. Vì $-2x_{2}+x_{3}=0$ nên $x_{2}=t$. Thay vào phương trình thứ nhất ta có $2x_{1}-t+3.2t=0$ nên $x_{1}=-\tfrac{5}{2}t$. Do đó tập nghiệm của hệ phương trình này (đồng thời là hạt nhân của $f$) là $\left\{(-5t/2, t, 2t)|t\in \mathbb{R}\right\}$. Đây là không gian vector 1 chiều với cơ sở $(-5/2, 1, 2)$. 

Ta thấy hạng của ma trận của $f$ là $2$ nên hạng của $f$ là $2$. Cuối cùng ảnh của $f$ là không gian sinh bởi $f(e_{1})$, $f(e_{2})$, $f(e_{3})$ với $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^{3}$ (cái này tự tính).

Cụm này thì e nghĩ là để nói về dãy số thì sẽ đúng hơn đó a, tại nghịch biến dùng để nói về hàm chứ ko nói về dãy số, mà hàm vs dãy số khác nhau mà 

Một dãy số $(a_{n})_{n}$ được định nghĩa là một hàm số $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ nên không có sự khác biệt giữa hai đối tượng. Về thuật ngữ thì hàm số nghịch biến nghiêm ngặt/ giảm ngặt/ đơn điệu giảm ngặt đều được.

Mình gặp chút vấn đề với khái niệm điểm dựng được, muốn hỏi thêm mọi người.

 

Giả sử ta có bài toán sau:

Bài toán. Cho trước hai điểm $A(\sqrt[3]{2}; 0)$ và $B(0;1)$. Dựng điểm $C$ thuộc góc phần tư thứ nhất sao cho $BC=OA$.

 

Nếu bằng thước và compa, dựa trên ba điểm $O, A, B$ không khó khăn ta dựng được điểm $C$ qua hai bước:

- Dựng trung điểm $AB$

- Dựng $C$ là điểm đối xứng với $O$ qua trung điểm vừa dựng.

Bây giờ nảy sinh hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1. Điểm $C$ có thể coi là điểm dựng được hay không? Nếu theo định nghĩa, do $C$ có toạ độ $(\sqrt[3]{2};1)$ nên không phải là điểm dựng được. Tuy vậy, trong thực tế $C$ vẫn dựng được. 

Câu hỏi 2. Liệu với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, ta có thể xác định trước một điểm không dựng được (theo định nghĩa) như điểm $A$ trong tình huống trên không? 

 

Mình khá lúng túng khi đứng trước tình huống này. Mong mọi người giúp sáng tỏ vấn đề hơn. 

Anh có thể hình dung cái này giống như mình làm việc với hệ tọa độ Oxy vậy. Anh có thể chọn các vector cơ sở là $(0; 1)$ và $(1; 0)$, nhưng anh cũng có thể chọn 2 vector khác làm vector cơ sở. Khi đó các công thức và kết quả đã biết vẫn tồn tại, chỉ cần đổi số là áp đụng được. Nhưng ta chọn $(1; 0)$ và $(0; 1)$ để mọi thứ đều thuận tiện.  

Với bài toán dựng hình, ta hiểu là dựng các điểm dựa trên một số điểm cơ sở đã có sẵn. Vì thế khái niệm "điểm dựng được" phụ thuộc vào cách anh chọn các điểm cơ sở, chứ không phải một khái niệm tuyệt đối trên mặt phẳng. Các điểm không dựng được trong cơ sở này lại dựng được trên cơ sở khác. Tại các điểm này anh vẫn có thể dựng hình bình thường, nhưng để áp dụng vào chứng minh thì phải nhất quán với các điểm cơ sở mà anh đã chọn. Giống như trong câu hỏi 1 của anh thì $C$ dựng được nếu chọn $A, B$ làm các điểm cơ sở, nhưng khi đó toàn bộ chứng minh phải đổi số theo. Em hy vọng giải thích thế này có thể giúp anh trả lời câu hỏi. 

Đại số tuyến tính thì chắc cũng có thể học luôn trong mấy cuốn đại số trừu tượng ở trên nhỉ? Còn nếu muốn tiếp cận trực tiếp thì có cuốn Linear Algebra Done Right của Axler hoặc Đại số Tuyến tính của Nguyễn Hữu Việt Hưng.

Giải tích nhập môn thì cuốn Principles of Mathematical Analysis của Rudin (còn gọi là Baby Rudin) chắc là nổi tiếng nhất, nhưng nếu thấy khó thì có thể thay bằng cuốn Real Mathematical Analysis của Pugh. Sau khi học một trong hai cuốn này thì có thể học tiếp Real and Complex Analysis của Rudin (còn gọi là Papa Rudin). Cuốn Real Analysis của Folland cũng rất nổi tiếng nhưng không có giải tích phức.

Em thấy đại số tuyến tính ở trong mấy cuốn đại số đại cương viết không hay lắm, vì không phải mục đích chính của sách nên tác giả chỉ viết một hai chương. 

Cuốn Real and Complex Analysis của Rudin em thấy khó vì hình như ông ấy dùng cả độ đo. 

Mọi người ơi cho e xin gợi ý các đầu sách về toán hay ạ (về lý thuyết nhóm, topo, giải tích thực và phức, đại số tuyến tính, giải tích biến phân...)

Bằng tiếng Việt hay tiếng Anh đều đc ạ.

E có nhu cầu đọc thêm.

Ở đây mình gợi ý một số sách mà mình nghĩ là hay được sử dụng và nhắc đến nhiều. Tất nhiên một cuốn sách tốt không phải chủ đề nào viết cũng phù hợp, nên tham khảo nhiều sách tùy vào chủ đề mà bạn đang học. 

Lý thuyết nhóm:

• Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại số đại cương (có trình bày gần như đầy đủ về các khái niệm cần thiết).
• Dummit & Foote: Abstract Algebra (kinh điển, nhưng có thể khó với người lần đầu học).
• J.J.Rotman: Advanced Modern Algebra (viết cặn kẽ hơn Dummit & Foote). 

Tôpô:

Nếu bạn chỉ cần các khái niệm cơ bản của tôpô một cách nhanh chóng thì nên đọc cuốn

• McCluskey, McMaster: Undergraduate Topology A Working Textbook.

Nếu cần một tài liệu đầy đủ để tham khảo thì có cuốn

• Munkres: Topology.

Giải tích thực và phức:

Về giải tích cơ bản thì có thể đọc thử các cuốn

• Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn: Bài tập giải tích I, II, III (nhiều bài tập tính toán, phù hợp nếu không cần quá chuyên sâu về giải tích). 
• Rudin: Principles of Mathematical Analysis (kinh điển nhưng cũng tương đối khó với người lần đầu học).
• Nguyễn Duy Tiến: Bài giảng giải tích I, II.
• Zorich, Mathematical Analysis I, II (rất chi tiết và cũng rất rất dày). 

Nếu cần lý thuyết về độ đo, bạn có thể tham khảo

• Folland, Real Analysis.

Về giải tích phức bạn có thể tham khảo

• Brown, Churchill: Complex Variables and Applications (viết cặn kẽ và có nhiều bài tập tính toán).
• Stewart, Tall: Complex Analysis (viết chi tiết hơn cả cuốn trên   )

Nếu muốn đi sâu vào lý thuyết thì tham khảo 

• Stein: Complex Analysis. 
• Ahlfors: Complex Analysis (khó).

Đại số tuyến tính

• Strang, Introduction to Linear Algebra (Introduction to Linear Algebra, 5th Edition (mit.edu)). Bài giảng của GS Strang cũng rất nổi tiếng, bạn có thể xem video bài giảng trên OCW.
• Lê Tuấn Hoa: Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập (một cuốn sách tốt để thực hành các lý thuyết ĐSTT). 

Nếu cần lý thuyết trừu tượng hơn thì tham khảo

• Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại số tuyến tính. 
• Axler: Linear Algebra Done Right (viết sâu về ánh xạ tuyến tính thay vì ma trận). 

Nếu cảm thấy tất cả sách trên chưa đủ thử thách với mình    thì thử đọc cuốn 

• F.Zhang: Linear Algebra - Challenging Problems for Students. 

Một kinh nghiệm của mình là nên tham khảo từ các bài giảng của các ĐH nước ngoài vì họ đã viết cô đọng lại để đọc dễ hiểu, nhanh chóng hơn. Cuối cùng, danh sách trên dựa vào hiểu biết của mình, người làm chuyên sâu mỗi lĩnh vực có thể sẽ có đánh giá khác. 

Các anh chị cho em hỏi phần kiến thức Không gian tôpô, độ đo thuộc giải tích mấy, phần nào và cho em xin ít tài liệu học được không ạ. Em cảm ơn ạ!

Cái này còn tùy vào trường ĐH mà bạn theo học vì mỗi nơi có một khung đào tạo khác nhau. Bạn có thể thử lên trang chủ của trường xem khung đào tạo để biết thêm. Nhưng thông thường mình nghĩ tôpô và lý thuyết độ đo là các môn riêng. 

Về tài liệu học bạn nên nói thêm là muốn học ở mức độ cơ bản hay chuyên sâu để mọi người tư vấn. 

Mới đọc được đoạn đầu, có vài câu hỏi, bạn @manguish xem sao nhé. Vì không đọc liên tục được nên đọc tới đâu ghi câu hỏi tới đó để khỏi quên. 
 

Trong bổ đề cần thêm $a$ và $b$ dựng được.

Bạn cho biết làm sao để dựng được đường thẳng $AC$? Tức là làm sao để dựng được một đường thằng đi qua một điểm cho trước và song song với một đường thẳng cho trước.

 

Không rõ làm sao dựng được đường tròn đường kính $OB$? Muốn dựng được thì phải tìm được trung điểm của $OB$, tức là cần dựng $b/2$, nhưng ở đây là chưa biết làm sao dựng $b/2$ (lưu ý là vẫn đang chứng minh $b/a$ dựng được chứ không phải là kết quả đã có rồi để mà dùng).
 

Câu hỏi tương tự với việc dựng đường thẳng này. 

Em nghĩ đây là các cách dựng hình cơ bản thôi ạ. Chẳng hạn để dựng đường tròn đường kính $OB$ thì dựng hai đường tròn có tâm tương ứng tại $O$ và $B$, và có cùng bán kính, sao cho chúng giao nhau. Khi đó đường thẳng đi qua hai giao điểm của đường tròn là đường trung trực của $OB$ nên ta dựng được trung điểm của $OB$. Cho nên em cảm thấy thực ra cũng không quá cần thiết phải đưa vào bài viết.

Give a counter example to the following statement: If $f:X\to Y$ is flat, of finite type with $Y$ locally Noetherian then $f$ is smooth if and only if the fibers $X_y\to \mathrm{Spec}(k(y))$ is smooth for every $y$ ‘’closed’’ in $Y$.

Remark: the above statement is true if $X,Y$ are schemes over a field $k$.

Em thấy có một ví dụ ở đây:https://mathoverflow...hemes-imply-pro

Nếu thêm điều kiện $f$ là proper morphism thì kết quả trên là đúng (Bài 6.2.8 trang 227 trong sách của Qing Liu). Ở link trên họ cũng nói properness ảnh hưởng đến kết quả.

Những con bot/AI gần đây đều có tình trạng chung như vậy. Bạn không nên tin tưởng vào chúng để kiểm chứng sự thật:

$$5!=120=6 \times 20 \vdots 6$$

 

Bạn đang nhầm lẫn về nội dung của định lý Wilson:

Với mọi số nguyên dương $p > 1$, $p$ là số nguyên tố khi và chỉ khi $(p-1)! + 1 \vdots p$.

Khi thế $p=4$ thì $(4-1)!+1 = 3!+1=7 \not \vdots 4$. Do đó $4$ không phải là số nguyên tố.

Đúng là có định lý như bạn ấy nói đấy anh ạ. Ta có $(n-1)!$ chia hết cho $n$ nếu $n$ là hợp số lớn hơn 4, cho nên bạn ấy thay $n=4$ vào thì không thỏa mãn
 

Chứng minh bao đóng của một tập bị chặn cũng là tập bị chặn.

Mình giả định là tập bị chặn trong một không gian metric bất kỳ để lời giải tổng quát nhất (nếu là $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ thì thay metric bởi $\left|\cdot\right|$). Gọi $A$ là một tập bị chặn trong $(X, d)$. Như vậy tồn tại $x_{0}\in A$ và $N>0$ sao cho $d(x, x_{0})<N$ với mọi $x\in A$. Xét $y\in \overline{A}$ bất kỳ. Dùng tính chất của bao đóng là mọi lân cận của $y$ đều giao $A$, tồn tại $x\in B_{1}(y)\cap A$. Khi đó 

$$d(y, x_{0})\le d(y, x)+d(x, x_{0})<1+N,$$

nên $\overline{A}$ là tập bị chặn. 

Bài toán này có thể giải đơn giản vì tích của hai số là lũy thừa của 10. Giả sử $2^{2023}$ có $m$ chữ số và $5^{2023}$ có $n$ chữ số thì $10^{m+n-2}<10^{2023}<10^{m+n}$ nên $m+n=2024$. 

Theo em bài này sử dụng Dirichlet mà 2 số cùng số dư thì cộng lại vẫn chưa chắc chia hết 

Gợi ý cho bạn: Gọi các số đã cho là $a_{1}$, $a_{2}$,..., $a_{1022}$ và xét các số $x_{1}=a_{1}$, $x_{2}=a_{1}+a_{2}$,..., $x_{1022}=a_{1}+a_{2}+...+a_{1022}$. Nếu tất cả 1022 số này đều không chia hết cho 1022 thì áp dụng nguyên lý Dirichlet ta có điều gì?