Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} (2x+y-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}+\sqrt{x})=8\sqrt{x} & & \\ 2x^{2}+2\sqrt{xy(x+3)}+2xy+3-11x=0& & \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $x,y\geq 0$. HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x+y-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}+\sqrt{x})=8\sqrt{x} & \\ (\sqrt{x+3}+\sqrt{xy})^{2}+xy+2x^2=12x& \end{matrix}\right.$

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của hệ nên hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x+y-1)(\sqrt{\frac{x+3}{x}}+\sqrt{y}+1)=8 & \\ (\sqrt{\frac{x+3}{x}}+\sqrt{y})^{2}+y+2x=12& \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x+3}{x}}+\sqrt{y} =a& \\ 2x+y=b& \end{matrix}\right.(a,b>0)$

KHi đó HPT $\left\{\begin{matrix} (a+1)(b-1)=8 & \\ a^2+b=12& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ b=3 & \end{matrix}\right.$

Tiếp tực giải được (x;y)=(1;1) là nghiệm duy nhất của hệ

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa $(xz+y)(xy+z)-x^{2}z^{2}=4y^{2}$ và $xz\geq 2y$. 

Tìm GTLN $P=(1+\frac{y}{xz})^{2}+(\frac{xz+y}{zx-y})^{2}$

Với mọi số thực x,y thỏa mãn điều kiện $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$

Tìm GTLN và GTNN của $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{2xy+1}$

Đặt $t=xy$. Từ giả thiết ta có $xy=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}(x+y)^{2}\geq -\frac{1}{5}$

Mặt khác $xy=\frac{1}{3}-2(x-y)^{2}\leq \frac{1}{3}$.

Viết lại $P=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}}{2xy+1}=\frac{\frac{(t+1)^{2}}{4}-2t^{2}}{2t+1}=f(t))$

Xét hàm f(t), với $-\frac{1}{5}\leq t\leq \frac{1}{3}$, đạo hàm lập BBT tìm được GTLN và GTNN.

Ủng hộ cho có chú caybutbixanh một bài vậy

Bài toán:

Oxi hóa 0,08 mol một ancol đơn chức, thu được hỗn hợp X gồm  một axit cacboxylic, một anđehit, ancol dư và nước. Ngưng tụ toàn bộ X rồi chia làm 2 phần bằng nhau. Phần 1 cho tác dụng hết với Na dư, thu được 0,504 lít khí hidro (dktc). Phần hai cho phản ứng tráng bạc hoàn toàn thu đc 9,72 gam bạc. Phần trăm khối lượng ancol bị oxi hóa là bao nhiêu ???

Mình nghĩ đề phải thế này mới đúng:

Cho 2 số thực dương x, y thỏa: $3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=x+y+2$

Tìm GTNN của $P=(\frac{x^{4}}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}}-3xy)(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}$

Mình giải luôn nhé:

Biến đổi giả thiết (Để ý rằng ẩn của P nên chọn là $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

$3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=2+x+y+\frac{3}{x}+\frac{3}{y}\geq 2+2\sqrt{(x+y)(\frac{3}{x}+\frac{3}{y})}=2+2\sqrt{3(\frac{2}{y}+\frac{y}{x})+6}$

Tìm đk của t:  $3t\geq 2+2\sqrt{3t+6}\Rightarrow 9t^{2}-24t-20\geq 0\Rightarrow t\geq \frac{10}{3}$

$P=(\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}})-2(\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}})+(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+6$

$\Rightarrow P=t^{4}-2t^{3}+3t+4, t\in [\frac{10}{3};+\infty )$

Đến đây là OK rồi, bạn tự giải tiếp nhé !

-Nếu $x> 2= > 8x^3-6x=8x^2(x-2)+16x(x-2)+26x> \sqrt{2x+2}$(vô lý)

Xét $-2\leq x\leq 2$

Đặt $x=cos \frac{a}{2}= > 2(4cos^3\frac{a}{2}-3cos\frac{a}{2})=\sqrt{2cos\frac{a}{2}+2}< = > 2.cos\frac{3a}{2}=\sqrt{2(2cos^2\frac{a}{4}-1)+2}=\sqrt{4cos^2\frac{a}{4}}=2\left | cos\frac{a}{4} \right |= > cos\frac{3a}{2}=\left | cos\frac{a}{4} \right |$

Đến đây coi như xong

Còn cách giải nào khác không bạn ? Cách này mình đọc trong sách rồi nhưng thấy nó làm ảo quá, tự nhiên xét trường hợp rồi đặt x=cos thì bố ai mà nghĩ ra được . Nếu nhẩm nghiệm thì được 1 nghiệm x=1 rồi còn cả 1 biểu thức chứa căn, đến đây mình bó tay luôn!

Giải phương trình: $8x^{3}-6x=\sqrt{2x+2}$

Bài ??? : Cho $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTNN và GTLN của $P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$

Từ giả thiết suy ra $(a+b+c)^{2}=2(a^2+b^2+c^2)\neq 0$

Đặt: $x=\frac{4a}{a+b+c}; y=\frac{4b}{a+b+c}; z=\frac{4c}{a+b+c}$

* Khi đó có $$\left\{\begin{matrix} & x+y+z=4 & \\ & xy+yz+zx=4 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & y+z=4-x & \\ & ya=x^2-4x+4 & \end{matrix}\right. \Rightarrow (4-x)^{2}\geq 4(x^2-4x+4)\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{8}{3}$$

Suy ra $P=\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^{3}}=\frac{1}{32}(3x^3-12x^2+12z+16), x\in [0;\frac{8}{3}]$

Xét hàm trên tìm được $minP=P(0)=0,5  ;   maxP=P(\frac{2}{3})=P(\frac{8}{3})=\frac{11}{18}$

Tính $lim\frac{1+3.2^{2}+5.2^{4}+7.2^{6}+...+(2n-1).2^{2n-2}}{n.4^{n}-3}$

Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD.

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI vuông góc (SCD), SJ vuông góc (SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH vuông góc với AC

c) Gọi M là một điểm trên đường thẳng CD sao cho: BM vuông góc với SA. Tính AM theo a

Giải:

a/  Dễ dàng tính được $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}; IJ=a$

Ta có: $SI^{2}=SC^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{SC^{2}}{2}\Rightarrow SC=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow SJ=\frac{SC}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$

Ta thấy: $SI^{2}+SJ^{2}=\frac{2a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=a^2=IJ^{2}$ nên tam giác SIJ vuông tại s

Khi đó $SI\perp CD (do SI\perp AB) \wedge SI\perp SJ\Rightarrow SI\perp (SCD)$

$SJ\perp AB \wedge SJ\perp SI\Rightarrow SJ\perp (SAB)$ (dpcm)

b/ Theo câu a ta có $AB\perp (SIJ)\Rightarrow AB\perp AH SH\perp AB \wedge SH\perp IJ\Rightarrow SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp AC$ (dpcm)

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, $SO\perp mp(ABCD)$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa MN và  (ABCD) là 60.

a. Tính MN và SO

b. Tính góc giữa MN và (SBD).

1 người đứng tại điểm A trên bờ hồ thấy 1 em bé đang tắm tại điểm B gặp nạn. Biết khoảng cách từ B đến bờ BC = d, AC = s, vận tốc bơi là $v_{1}$, trên bờ là $v_{2}$ và $v_{1}< v_{2}$. Hỏi người ta phải tới điểm B theo cách nào để thời gian di chuyển là ít nhất 

 Giả sử người ta chạy theo đường AD ( với DC=x) và bơi theo đường DB.

Thời gian chạy theo cách này là $t=\frac{s-x}{v_{2}}+\frac{\sqrt{d^{2}+x^{2}}}{v_{1}}=\frac{v_{1}s-v_{1}x+\sqrt{d^{2}+x^{2}}}{v_{1}v_{2}}$.

t min khi và chỉ khi $y=(-v_{1}x+\sqrt{d^{2}+x^{2}})$ min

biến đổi ta đc $y^{2}+2yv_{1}x+v_{1}^{2}x^{2}=v_{2}^{2}(d^{2}+x^{2})$

suy ra $x^{2}-\frac{2yv_{1}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}x+\frac{v_{2}^{2}d^{2}-y^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=0$

tìm ra delta phẩy, cho delta phẩy lớn hơn hoặc bằng không, tương đương với

$y^{2}+(v_{1}^2{}-v_{2}^{2})d^{2}\geq 0 \Leftrightarrow y\geq d\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \Rightarrow y_{min}=d\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \Rightarrow x=\frac{dv_{1}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$

Xét các TH sau:

TH1; $s\leq x$ thì cần phải bơi thẳng từ A đến B

TH2: $s\geq x$ thì cần chạy trên bờ hồ 1 đoạn AD dc xác định bằng cách lấy s- x 

cố gắng tính toán thật kĩ nhé !

một nhóm có 14 người, trong đó có 6 nam và 8 nữ, trong 6 nam có An và Bình, tính xác suất để khi lấy ra 6 người thì có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên và không đồng thời có An và Bình trong đó

- bài này mình nghĩ tổ trưởng là 1 trong 14 người đó, nhưng có lẽ ko phải An và Bình

- mong các bạn giúp đỡ mình với, cám ơn nhiều!

Phép thử T:"Chọn 6 người bất kì và chọn 1 người làm tổ trưởng". Suy ra $\left | \Omega \right |=6.C_{14}^{6}$

Biến cố A:"Trong 6 người có 1 tổ trưởng và An và Bình không đồng thời có mặt".

Tính $\left | \Omega _{A} \right |$:

+) Chọn 6 nguời bất kì: $C_{14}^{6}$ (cách)

+) Chọn 6 người mà An và Bình đồng thời có mặt là $C_{12}^{4}$ cách

Suy ra chọn 6 người mà có 1 tổ trường mà An và Bình không đồng thời có mặt là $6(C_{14}^{6}-C_{12}^{4})$ cách

suy ra $\left | \Omega _{A} \right |=6(C_{14}^{6}-C_{12}^{4})$

Vậy $P(A)=\frac{\left | \Omega _{A} \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{6(C_{14}^{6}-C_{12}^{4})}{6.C_{14}^{6}}=\frac{76}{91}$

Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 9.

các pro giúp với

Dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số trong số đó phải chia hết cho 9.

Mặt khác ta thấy 9 không thể phần tích thành tổng của 5 chữ số tự nhiên khác nhau nào cả cho nên không có số mà có 5 chữ số chia hết cho 9.

$340=2^{2}.5.17$

Số các ước là $3.2.2=12$ số

Tại sao lại là $3.2.2$ ???

340 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương.

Một sợi dây không dãn có chiều dài $l=1m$ ,khối lượng không đáng kể, một đầu giữ cố định ở 0 cách mặt đất $25m$,còn đầu kia buộc vào viên bi nặng. Cho viên bi quay tròn đều trong mặt phẳng thẳng đứng với tốc độ góc $\omega =20rad/s$. Khi dây nằm ngang và vật đi xuống thì dây đứt

a, Viết pt tọa độ theo thời gian của viên bi sau khi dây đứt

b, Tính thời gian để viên bi chạm đất và vận tốc lúc chạm đất

a. Vận tốc lúc dây đứt: $v_{o}=wl=20m/s$. Vật chuyển động ném thẳng đứng hướng xuống với vận tốc đầu vo.

Suy ra pt: $x=25+20t-5t^2$

b. thời gian: x=0 ==> t=5s.

Tính vận tốc có thể dựa vào DL BTCN: $mgh + 0,5mv_{0}^{2}=0,5mv^2\Rightarrow v=30m/s$

Tìm $n>4$ thỏa $2C_{5}^{0}+\frac{2}{3}C_{2n}^{2}+\frac{2}{5}C_{2n}^{4}+...+\frac{2}{2n+1}C_{2n}^{2n}=\frac{8192}{13}$

VT tương đương $\sum_{k=0}^{n}\frac{3}{2n+1}C_{2n+1}^{2k+1}=\frac{2}{2n+1}.\sum_{k=0}^{n}.C_{2n+1}^{2k+1}=\frac{2}{2n+1}.2^{2n}=\frac{2^{2n+1}}{2n+1}$

Theo GT có $\frac{2^{2n+1}}{2n+1}=\frac{8192}{13}\Leftrightarrow n=6$

Một hình trụ rỗng có khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mp nằm ngang, rồi lăn trên mp nghiêng một góc 30 độ.Tốc độ khối tâm lúc đầu lên dốc là 2m/s,Tính quãng đường hình trụ đi dc trên mp nghiêng cho tới khi dừng lại.Bỏ qua các mất mát động năng khi chuyển hướng, sức cản không khí.Lấy $g=10m/s^{2}$.

Chọn trục tọa độ gắn với mpn, Oy hướng lên vuông với mpn, Ox hướng lên dọc theo mpn.

Gọi K là tâm quay tức thời ( K là điểm tiếp xúc với mpn)

Áp dụng pt động lực học với tâm K: $-mgrsin\alpha =I_{k}\gamma$

Với $I_{k}=0,5mr^2+mr^2=1,5mr^2$ và $\gamma =\frac{a}{r}$

Suy ra $a=-\frac{2gsin\alpha }{3}$. 

Thay vào pt động học $s=\frac{-v_{0}^{2}}{2a}=....$ (tự tính, mình ko có máy tính bấm !  )

 

Vậy thì số có 5 chữ số phải phân biệt

 

Ta có $C_{10}^5$ cách chọn ra 5 chữ số phân biệt, với mỗi cách chọn ấy chỉ có duy nhất 1 số thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Suy ra tổng có 252 số

 

Mà ở đây tính cả chữ số 0 đứng đầu. Vậy nên ta phải trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu. Lập luận tương tự trường hợp này có $C_9^4=126$ số

 

Vậy, số có 5 chữ số trong mỗi số chữ số sau lớn hơn chữ số liền trước là 252-126=126 số

 

Theo mình thì số các số có $5$ chữ số khác nhau là $9.9.8.7.6=27216$ chứ

Theo mình làm thế này là ngắn gọn nhất!

Gọi số cần lập dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Vì a1<a2<a3<a4<a5 nên a1, a2, a3, a4, a5 thuộc tập {1;2;3;....9}. Mỗi cách chọn 5 số thuộc trên cho ta duy nhất một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Vậy có $C_{9}^{5}=126$ cách.

Từ các số 0;1;2;....7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7. Có bao nhiêu số chẵn?

Vua Arthur mời $n$ cặp hiệp sĩ ghét nhau đến dự $1$ bữa tiệc.Có bao nhiêu cách hướng dẫn $n$ cặp hiệp sĩ này ngồi xung quanh bàn tròn $2n$ ghế mà không có $2$ hiệp sĩ nào ghét nhau ngồi cạnh nhau

Giả sử các cặp hiệp sĩ đến từ 2 bang phái (A;B), mỗi nhóm A, B đều có $n$ hiệp sĩ.

Đánh số các vị trí trên bàn tròn lần lượt $1,2,3,....2n$

Để hai hiệp sĩ ghét nhau không ngồi cạnh nhau thì các hiệp sĩ A hoặc B phải chiếm toàn bộ vị trí chẵn hoặc là lẻ. Do đó 2 cách chọn vị trí cho hiệp sĩ nhóm A, cũng như nhóm B.

Với $n$ vị trí đã chọn cho $n$ HS A thì có $n!$ cách xếp, tương tự dv nhóm B.

KL: Có $2(n!)^{2}$ cách xếp.

Chứng minh rằng số cách sắp xếp cho n người quanh 1 bàn tròn là (n-1)!

 

Bài này mình thấy trong SBT 11 khá hay nhưng không hiểu tại sao lại có kết quả như vậy, ai chứng minh rõ ràng cho mình với

Nếu xếp $n$ phần tử vào một bàn tròn, 2 cách xếp khác nhau bởi một phép quay coi như là 1. Nguyên nhân dẫn đến điều đó chính là vai trò của các phần tử là như nhau, dù xếp kiểu gì cũng chỉ là 1 cách. Để giải quyết vấn đề đó, ta cố định lại một vị trí trên bàn tròn ( 1 điểm đặc biệt duy nhất ), và sắp xếp $n-1$ phần tử còn lại. Do đó số hoán vị của n phần tử khi xếp vào một bàn tròn sẽ là $(n-1)!$ 

Gọi B' là hình chiếu của B trên phương chuyển động của tàu A. Tại thời điểm t bất kì ta có:

$v_{A}=v_{B}=v; v_{B'}=vcos\alpha$. Suy ra $v_{BA}=v_{AB'}$, nghĩa là B lại gần A bao nhiêu thì A ra xa B' bấy nhiêu. Suy ra BA+B'A=const.

+) Ban đầu có AB=a, B'A=0, nên BA+B'A=a.

+) Khi hai tàu ở trên cùng đường thẳng thì B trùng B' nên BA=B'A=d

Từ đó suy ra d=a/2. 

Vậy d là khoảng cách cần tìm =250m.