Đến nội dung

BlueKnight nội dung

Có 80 mục bởi BlueKnight (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#444784 CMR tam giác cân

Đã gửi bởi BlueKnight on 22-08-2013 - 17:36 trong Hình học

CMR nếu tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó cân.

 

 




#444760 CMR trong những số đó không có 2 số nào chia hết cho nhau.

Đã gửi bởi BlueKnight on 22-08-2013 - 16:03 trong Số học

Cho 7 số $1,2,3,4,5,6,7$. Có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau từ 7 số đó? CMR trong những số đó không có 2 số nào chia hết cho nhau.

 

 

 




#432256 Tính các góc tam giác ABC

Đã gửi bởi BlueKnight on 02-07-2013 - 11:26 trong Hình học

$AB=r \sqrt 2 \Rightarrow sd cung AB=90^ \circ \Rightarrow \widehat {ACB}=45^ \circ$

$AC=r \sqrt 3 \Rightarrow sd cung AC=120^ \circ \Rightarrow \widehat {ABC}=60^ \circ$

$\widehat {BAC}=180^ \circ-45^ \circ-60^ \circ=75^ \circ$




#432203 Cho A, B là hai điểm cố định trên (O). C là điểm chính giữa cung AB....

Đã gửi bởi BlueKnight on 02-07-2013 - 08:10 trong Hình học

untitled.JPG

a)$\Delta CAM \sim \Delta CDA (g.g) \Rightarrow \frac {CA} {CD}=\frac {CM} {CA} \Rightarrow AC^2=CM.CD$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMD$

    Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $(O)$

Do $AC^2=CM.CD \Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\Rightarrow AC \perp AI$ hay $AC \perp AE \Rightarrow E$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$

$\Rightarrow E$ cố định

$\Rightarrow I \in AE$ cố định.

c)Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BMD$

$CMTT$ câu b ta được $K \in BE$ cố định

$\Delta AIM$ cân tại $I$ và $\Delta AEB$ cân tại $E$ có $\widehat {BAE}$ chung

$\Rightarrow \widehat {AMI}=\widehat {ABE} \Rightarrow MI \parallel KE$

Tương tự $MK \parallel IE$

$\Rightarrow MIEK$ là hình bình hành

$\Rightarrow KE=IM=R_1$

$\Rightarrow R_1+R_2=KB+KE=BE=const (dpcm)$




#431707 Chứng minh B,C,S,D thuộc một đường tròn

Đã gửi bởi BlueKnight on 29-06-2013 - 22:18 trong Hình học

untitled.JPG

Đầu tiên bạn đi chứng minh $BC=DN$ và $CT=CN$

$\Delta SCN=\Delta SCT (c.c.c) \Rightarrow \widehat {SNC}=\widehat {STC}=\widehat {SCT}$

$\Rightarrow \Delta SCB=\Delta SND (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {SBC}=\widehat {SDC}$

$\Rightarrow BSCD$ nội tiếp

$\Rightarrow dpcm$. :icon6:




#431597 Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC; Mx là tia đối của tia MC. Trên tia...

Đã gửi bởi BlueKnight on 29-06-2013 - 16:05 trong Hình học

 

 Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC; Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB
lấy một điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh rằng tia MA là phân giác của góc BMx.
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì, tại
sao ?
c) Gọi G là trọng tâm tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn 
nằm trên một đường tròn cố định.
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O); P là giao điểm thứ hai của
phân giác góc IBN với đường tròn (O). Chứng minh rằng

 

Bạn viết đề một cách hoàn chỉnh được không?

p/s: sao dạo này nhiều người viết đề không rõ ràng thế??? :(




#431541 Chứng minh AM là tiếp tuyến

Đã gửi bởi BlueKnight on 29-06-2013 - 11:17 trong Hình học

c) Ta có $\widehat {AMN}=\widehat {ABM} (do cung AM=cung AN)$

$\Rightarrow \Delta AMF \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AM^2=AF.AB$

Mà $BDHF$ nội tiếp $\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

$\Rightarrow AM^2=AH.AD \Rightarrow AM$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHD$




#431045 Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Đã gửi bởi BlueKnight on 27-06-2013 - 16:33 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác sao cho $MA, MB, MC$ đôi một khác nhau. Các điểm $X, Y, Z$ theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung $BMC, CMA, AMB$. CMR: $M, X, Y, Z$ cùng thuộc một đường tròn.

$MA, MB, MC$ đôi một khác nhau là độ dài đôi một khác nhau hay sao bạn?

Còn các cung $BMC, CMA, AMB$ là của đường tròn nào bạn?




#430984 $\frac{2}{AK}=\frac{1}{AD...

Đã gửi bởi BlueKnight on 27-06-2013 - 13:03 trong Hình học

untitled.JPG

Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

$\Delta AIK \sim \Delta AHO (gg)$

$\Rightarrow AK.AH=AI.AO=AC^2=AD.AE$

$\Leftrightarrow AK.AH=AE.(AD+AE-AE)=AE.(AD+AD+2HD-AE)=AE.(2AD+2HD-AE)=AE.(2AH-AE) =2AH.AE-AE^2$

$\Rightarrow AE^2+AK.AH=2AH.AE$

Chia 2 vế cho $AH.AE$

$\Rightarrow \frac {AE} {AH}+ \frac {AK} {AE}=2$

Mà $AK.AH=AD.AE \Rightarrow \frac {AE} {AH}=\frac {AK} {AD}$

$\Rightarrow \frac {AK} {AD}+\frac {AK} {AE}=2$

Hay $\frac {2} {AK}=\frac {1} {AD}+\frac {1} {AE}$




#430975 Tìm vị trí của M sao cho S MPQ nhỏ nhất

Đã gửi bởi BlueKnight on 27-06-2013 - 12:21 trong Hình học

à ra vậy  :icon6:




#430964 Tìm vị trí của M sao cho S MPQ nhỏ nhất

Đã gửi bởi BlueKnight on 27-06-2013 - 11:40 trong Hình học

Dễ thấy $\Delta MPQ$ cân tại M

$S_{MPQ}=2S_{MOP}=OC.MP=R.MP$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$MP=MC+CP \geq 2\sqrt {MC.CP}=2\sqrt {OC^2}=2\sqrt {R^2}=2R$

$\Rightarrow S_{MPQ} \geq R.2R=2R^2$

$Min S_{MPQ}=2R^2 \Leftrightarrow MC=CP=R \Leftrightarrow OM=R\sqrt 2 \Leftrightarrow M$ là giao điểm của $(O; R\sqrt 2)$ với đường thẳng $d$. 

P/S: sao mình không dùng đến điểm H nhỉ?




#430882 Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = $100^{o}$, trên cạn...

Đã gửi bởi BlueKnight on 26-06-2013 - 22:38 trong Hình học

Trên nửa mph bờ BC có chứa M dựng $\Delta BCD$ đều.

$\Delta ACM=\Delta BAE (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{BEA}=30^{\circ}$




#430153 CM AO là tia phân giác góc EAF

Đã gửi bởi BlueKnight on 24-06-2013 - 09:22 trong Hình học


Từ điểm A nằm ngoài (O),  vẽ tiếp tuyến AB , AC , OA cắt BC tại H . Kẻ dây EF qua H . CM AOI là tia phân giác góc EAF

 

Hình đây:

untitled.JPG

Giải

Dễ thấy $\Delta HEB\sim \Delta HCF (gg)$

$\Rightarrow \frac{HE}{HC}=\frac{HB}{HF}$

$\Rightarrow HE.HF=HB.HC=HB^2=HO.HA$

$\Rightarrow \frac{HE}{HO}=\frac{HA}{HF}$

$\Rightarrow \Delta HEA\sim \Delta HOF (cgc)$

$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HFO}$ $(1)$

Mà $\widehat{HFO}=\widehat{HEO}$ $(Do OE=OF=R)$

$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HEO}$

Từ $(1)$ $\Rightarrow$ tứ giác $AEOF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HEO}=\widehat{HAF}$

$\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HAF}$

$\Rightarrow$ $AO$ là p/g $\widehat{EAF}$




#429995 Tìm vị trí $O$ sao cho $AQ^2+BR^2+CP$ nhỏ nhất

Đã gửi bởi BlueKnight on 23-06-2013 - 15:50 trong Hình học

Từ điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$.Kẻ $OP$  vuông góc $BC$ tại $P$, kẻ $OR$ vuông góc với $AB$ tại $R$, $OQ$ vuông góc $CA$ tại $Q$.

a) Chứng minh : $AB^2+BC^2+CA^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

b) Tìm vị trí $O$ sao cho $AQ^2+BR^2+CP^2$ nhỏ nhất  

Câu a hình như bạn ghi nhầm. Mình nghĩ là $AQ^2+BR^2+CP^2=BP^2+CQ^2+AR^2$

Bạn có thể tham khảo tại đây: http://diendantoanho...ất/#entry427372




#429043 Giải hệ phương trình $(3-\frac{5}{y+42x})\...

Đã gửi bởi BlueKnight on 19-06-2013 - 22:29 trong Đại số

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (3-\frac{5}{y+42x})\sqrt{2y}=4\\ (3+\frac{5}{y+42x})\sqrt{x}=2 \end{matrix}\right.$




#428138 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014 (toán chuyên)

Đã gửi bởi BlueKnight on 17-06-2013 - 11:26 trong Tài liệu - Đề thi

Ai giải giúp mình bài 5 một cách dễ hiểu hơn được hem?




#428136 Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2013-2014 (toán chuyên)

Đã gửi bởi BlueKnight on 17-06-2013 - 11:22 trong Tài liệu - Đề thi

untitled.JPG Mình xin chém bài 6 nha:

a)Dễ thấy K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ nên AK là p/g trong $\widehat{BAD}$  (1)

$\Delta ABD$ có BL là p/g trong $\widehat{ABD}$ và DL là p/g ngoài $\widehat{ADB}$ nên L là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{ABD}$ của $\Delta ABD$ $\Rightarrow$ AL là p/g ngoài $\widehat{BAD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AK\perp AL$ nên $\widehat{KAL}=90^{\circ}$

Mà DK, DL là p/g trong và ngoài $\widehat{ADB}$ nên $\widehat{KDL}=90^{\circ}$

Vậy AKDL nội tiếp đường tròn đường kính KL

b) Chứng minh dễ dàng $\widehat{AIC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2}$

$\Delta AIJ$ cân tại J nên $\widehat{AJI}=180^{\circ}-2\widehat{AIJ}$

Tương tự $\widehat{CJI}=180^{\circ}-2\widehat{CIJ}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AJC}=360^{\circ}-2\widehat{AIC}=360^{\circ}-2(90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2})=180^{\circ}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{AJC}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABCJ nội tiếp

$\Rightarrow$ $J\epsilon (O)$ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Mà $JA=JC$ (J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC)

$\Rightarrow$ BJ là p/g $\widehat{ABC}$

Mà BI cũng là p/g $\widehat{ABC}$

Vậy B,I,J thẳng hàng




#427372 Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}...

Đã gửi bởi BlueKnight on 15-06-2013 - 09:51 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng $IH, IK, IL$ theo thứ tự vuông góc với $BC, CA, AB$. Tìm vị trí điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

 




#415217 Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn (O), trực tâm...

Đã gửi bởi BlueKnight on 28-04-2013 - 12:06 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ nhọn (AB>AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) CMR: Tứ giác BFEC nội tiếp

b) Vẽ đường kính AK. CMR: Tứ giác BHCK là hình bình hành

c) Gọi M là giao điểm của AD và EF, N là giao điểm của AK và BC

CMR: MN // HK

kẻ KJ vuông góc với BC tại J$\Rightarrow KJ=HD$

FC,FA lần lượt là pg trong và ngoài $\Delta DMF$ $\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{MH}{HD}\Leftrightarrow \frac{AM}{MH}=\frac{AD}{HD}=\frac{AD}{KJ}$ mà $KJ\parallel AD\Rightarrow \frac{AD}{KJ}=\frac{AN}{NK}$

Nên $\frac{AM}{MH}=\frac{AN}{NK}\Rightarrow MN\parallel HK$$\frac{AM}{MH}=\frac{AN}{NK}\Rightarrow MN\parallel HK$

P/S: sáng mình học chung vs bạn đó




#412047 Tìm tổng a+b

Đã gửi bởi BlueKnight on 12-04-2013 - 18:40 trong Số học

Cho a,b là số nguyên dương sao cho a có 9 ước dương, b có 10 ước dương và BCNN(a,b)=4400. Tìm  tổng a+b.




#407712 $(x-4)\sqrt{y-3}+(y-1)\sqrt{x+2}=7\sq...

Đã gửi bởi BlueKnight on 25-03-2013 - 09:38 trong Đại số

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} (x-4)\sqrt{y-3}+(y-1)\sqrt{x+2} &=7\sqrt{6} \\ 12x\sqrt{y-4}+4\sqrt{2}y\sqrt{x-2}&=5xy \end{matrix}\right.$

 




#404642 Chứng minh rằng: MA=MB+MC

Đã gửi bởi BlueKnight on 13-03-2013 - 06:15 trong Hình học

cho tam giác ABC đều nội tiếp (O)
M thuộc cung nhỏ BC
Chứng minh rằng: MA=MB+MC

lấy $D\in MA$ sao cho MD=MB$\Rightarrow$$\Delta MBD$ đều$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta CBM(cgc)$$\Rightarrow$AD=CM$\Rightarrow$MB+MC=MD+AD=MA.(đpcm)



#399988 $(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1...

Đã gửi bởi BlueKnight on 25-02-2013 - 20:40 trong Đại số

Rõ hơn là ngay dòng trên tương đương thêm một dòng là:
$(x-1+\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}})^2=9$
$\Longrightarrow ...$

bạn nhầm rồi phải là $\left [ \left ( x-1 \right )\sqrt{\frac{x-3}{x-1}} +1\right ]^{2}=9$
mình có 1 cách giải gọn hơn nè:
Đặt y=$\left ( x-1 \right )\sqrt{\frac{x-3}{x-1}}$. PT trở thành:
$y^{2}+2y-8=0$.Giải ra tìm y rồi từ đó tìm x



#399915 $(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1...

Đã gửi bởi BlueKnight on 25-02-2013 - 15:11 trong Đại số

Gợi ý:DKXT;$x \neq 1$
$PT \Longleftrightarrow (x-1)^2\dfrac{(x+3}{x-1}+2(x-1)\sqrt{\dfrac{x+3}{x+1}}+1=9$
$\Longleftrightarrow x-1+\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=3$ hoặc $x-1+\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=-3$

chỗ này mình nghĩ là $\Longleftrightarrow (x-1)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}+1=3$ hoặc $x-1\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}+1=-3$



#399898 $(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1...

Đã gửi bởi BlueKnight on 25-02-2013 - 13:40 trong Đại số

Giải phương trình:$(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}=8$