Đến nội dung

IloveMaths nội dung

Có 162 mục bởi IloveMaths (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#492769 $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz...

Đã gửi bởi IloveMaths on 13-04-2014 - 21:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z$  là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$

 




#457189 Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014

Đã gửi bởi IloveMaths on 12-10-2013 - 19:46 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.



 

Ngày thi: 10/10/2013
Thời gian: 180 phút 
 
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình $$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}$$

 

$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}\Leftrightarrow (2x-1)^3+(2x-1)=\sqrt[3]{3x-2}+(3x-2)$

:luoi:  :icon6:  Đến đây là Ok rùi 




#453928 Đề thi chọn HSG lớp 10 ( Đợt 1 ) trường PTTH Chuyên KHTN

Đã gửi bởi IloveMaths on 29-09-2013 - 16:55 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

Câu II

 

 

2) Cho 4 số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

$\frac{5a^{3}-ab^{2}}{a+b}$$+\frac{5b^{3}-bc^{2}}{c+b}$$+\frac{5c^{3}-ca^{2}}{c+a}$$\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

 

:luoi:  :luoi: Chém thêm bài BĐT

$Q.E.D\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}+\sum a^2-\sum ab\geq 2.\sum a^2\Leftrightarrow 4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq \sum a^2+\sum ab$

Theo Cauchy-Swarch :

$4.\sum \frac{a^3}{a+b}\geq 4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}$

Do đó ta cần chứng minh :

$4.\frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum ab}\geq \sum a^2+\sum ab\Leftrightarrow \sum a^2\geq \sum ab\Rightarrow Q.E.D$




#453923 Đề thi chọn HSG lớp 10 ( Đợt 1 ) trường PTTH Chuyên KHTN

Đã gửi bởi IloveMaths on 29-09-2013 - 16:39 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu I

1) Chứng minh rằng số $7^{20}+2^{70}$ là hợp số

2) Tìm các số nguyên x,y,z lớn hơn 1 sao cho 

$xy-1 \vdots z; yz-1\vdots x; zx-1 \vdots y$

 

 

:luoi:  :luoi: chém ngay bài đầu 

a) 

Ta có : $7^{20}+2^{70}=49^{10}+128^{10}\equiv (-1)^{10}+(-2)^{10}\equiv 0mod5$

b)

$xy-1\vdots z ;zy-1\vdots x ;xy-1\vdots z$$\Rightarrow (xy-1)(yz-1)(zx-1)\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\vdots xyz\Rightarrow xy+yz+zx-1\geq xyz$

Dễ dàng chứng minh $xy+yz+zx-1<3xyz$

Do đó :

$1\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{xyz}<3$

Từ đó dễ dàng tìm được  :luoi:  :luoi: 




#453788 [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!

Đã gửi bởi IloveMaths on 29-09-2013 - 06:53 trong Vẽ hình trên diễn đàn

thử phát   :luoi:  :luoi:  :luoi:  :luoi:

 

57643955.emyeujpd.jpg

 




#453499 $2^x=(\sqrt{3})^x+1$

Đã gửi bởi IloveMaths on 27-09-2013 - 22:51 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

-Nếu $x< 0$ thì $2^x< 1= > 2^x< (\sqrt{3})^x+1$(vô lý).

-Nếu $x\geq 0$.

Chia cả 2 vế cho $2^x$ nên pt $< = > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x=1$

+Nếu x=2$= >$ thoả mãn.

+Nếu $x> 2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x<(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x< (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{x})^2< (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý do trái với giả thiết)

+Nếu $x< 2$ thì $(\frac{\sqrt{3}}{2})^x>(\frac{\sqrt{3}}{2})^2,(\frac{1}{2})^x> (\frac{1}{2})^2= > (\frac{\sqrt{3}}{2})^x+(\frac{1}{2})^x> (\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1$(vô lý) 

    Vậy x=2

:luoi:  :luoi: sai rồi 

cho $x=0,5$




#453104 $2^x=(\sqrt{3})^x+1$

Đã gửi bởi IloveMaths on 26-09-2013 - 13:34 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình 

$2^x=(\sqrt{3})^x+1$

:icon6: 




#452993 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1

Đã gửi bởi IloveMaths on 25-09-2013 - 20:02 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1 - 180 phút

 

Bài 5:(4 điểm)

1.Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} u_0=4;u_1=15\\ u_{n+2}=7u_{n+1}-12u_n+2.5^n ,\forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Tìm số dư khi chia $u_{2013}$ cho $11$.

:luoi: chém tí 

Xét phương trình đặc trưng : $\lambda ^2-7\lambda +12=0\Leftrightarrow \lambda =3\vee \lambda =4$

Do đó ta có nghiệm riêng của phương trình là $u_{n}^{*}=\frac{2.5^n}{25-7.5+12}=\frac{2.5^n}{2}=5^n\Rightarrow$ số hạng tổng quát của dãy là :

$u_{n}=\alpha. 3^n+\beta .4^n+5^n$

Từ $u_{0}=4;u_{1}=15$$\Rightarrow x_{n}=2.3^n+4^n+5^n$

Do đó $u_{2013}=2.3^{2013}+4^{2013}+5^{2013}\equiv 1 mod 11$

:luoi:  :luoi: 




#452222 Đề thi chọn Đội tuyển HSG tỉnh Nghệ An

Đã gửi bởi IloveMaths on 22-09-2013 - 08:22 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (NGHỆ AN)

Ngày thứ nhất (11.10.2011)

Bài 3.(4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi K là giao điểm của phân giác góc A của tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE (K khác A). Chứng minh rằng hai tam giác BHK và CHK có diện tích bằng nhau.

 

:luoi:  :luoi: chém tí 

Dê dàng chứng minh AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE 

Gọi $DK\cap BH=M;EK\cap CH=N;AC\cap BH=S;AB\cap CH=F$

De dàng chứng minh được tứ giác HMKN là hình bình hành

Do đó ta cần chúng minh :

$S_{\Delta BMK}=S_{\Delta NCK}\Rightarrow BM.MK=KN.NC\Leftrightarrow \frac{BM}{KN}=\frac{NC}{MK}\Leftrightarrow \frac{BD}{DF}=\frac{CE}{SE}\Leftrightarrow \frac{BH}{HF}=\frac{HC}{SH}\Leftrightarrow BH.SH=HC.HF$ 

$\Rightarrow Q.E.D$

:luoi:




#452203 Cho dãy số an thỏa mãn: $a_{o}=2; a_{1}=2013.$ và $a_{n+2}=201...

Đã gửi bởi IloveMaths on 22-09-2013 - 06:39 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số an thỏa mãn: $a_{o}=2; a_{1}=2013.$ và $a_{n+2}=2013a_{n+1}-a_{n}; \forall n\geq 0$ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

b) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại số nguyên m thỏa mãn đẳng thức: $a_{n+2}a_{n}+4=2013^{2}+m^{2}$.

(Câu này là một số các câu hỏi đề thi tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh của trường mình).

:luoi:  :luoi: Xem tại đây :    http://diendantoanho...-nam-2013-2014/




#451095 Đề thi Chọn đội tuyển HSG Chuyên Bắc Quảng Nam 2013-2014

Đã gửi bởi IloveMaths on 16-09-2013 - 22:37 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 4:
a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:
 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
 
 
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$
---Hết---

 

:luoi: chém thêm mấy bài nữa  :luoi:

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

:luoi: bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K :luoi: 

 

 

 




#450955 Đề thi Chọn đội tuyển HSG Chuyên Bắc Quảng Nam 2013-2014

Đã gửi bởi IloveMaths on 16-09-2013 - 16:32 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$
 
 

Chém bài dễ nhất  :luoi:  :luoi: 

$f(x)+x.f(1-x)=x^2(*)$

 

Thay x bởi 1-x ta được 

$f(1-x)+(1-x).f(x)$$=(1-x)^2$$\Rightarrow x.f(1-x)+x(1-x).f(x)=x.(1-x)^2(**)$

Trừ theo vế (**) cho (*) ta được :

$f(x).(x-x^2-1)=x(1-x)^2-x^2=x^3-3x^2+x\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-3x^2+x}{x-x^2-1}$

 

Thử lại thấy thỏa mãn  :luoi: 




#448851 cmr: $u_{n}<\frac{1}{n}$

Đã gửi bởi IloveMaths on 08-09-2013 - 16:24 trong Dãy số - Giới hạn

cho $(u_{n})$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2+u_{n}} \end{matrix}\right.$

cmr: $u_{n}<\frac{1}{n}$

:luoi:  :luoi:  :luoi:

Đặt $\frac{1}{u_{n}}=v_{n}\Rightarrow v_{n+1}=v_{n}+2$

Tiếp tục đặt $x_{n}=v_{n}-1\Rightarrow x_{n+1}=2x_{n}$

$\Rightarrow x_{n+1}=2.x_{n}=2^2.x_{n-1}=...=2^n.x_{1}=2^n.(v_{1}+1)=2^n.(\frac{1}{u_{1}}+1)=2^{n+1}\Rightarrow x_{n}=2^n\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{2^n-1}$

Bây giờ ta so sánh :

$\frac{1}{2^n-1}<\frac{1}{n}\Leftrightarrow n<2^n-1$

Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi  :luoi:




#448198 Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi IloveMaths on 06-09-2013 - 16:00 trong Hình học

Hình vẽ

ScreenHunter_02%20Sep.%2004%2011.34.gif

:icon6:  :icon6: Giải như sau : 

$\overrightarrow{AN}=\frac{BN}{BC}.\overrightarrow{AC}+\frac{CN}{BC}.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AM}=\frac{EM}{EF}.\overrightarrow{AF}+\frac{MF}{EF}.\overrightarrow{AE}=\frac{EM.AF}{EF.AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{FM.AE}{EF.AC}.\overrightarrow{AC}$

Ta chứng minh :

$\frac{BN}{BC}.\frac{FE.AC}{FM.AE}=\frac{CN}{BC}.\frac{EF.AB}{EM.FA}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BN.EM}{CN.MF}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{IB}{IC}.\frac{ED}{DF}$

:icon6: Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi  :icon6: 

Vậy A,M,N thẳng hàng 




#448190 Chứng minh $p^2+q^2+r^2$ là hợp số

Đã gửi bởi IloveMaths on 06-09-2013 - 15:33 trong Đại số

Chứng minh: Nếu $p,q,r$ là 3 số nguyên tố $\geqslant 5$ thì $p^2+q^2+r^2$ là hợp số.

Theo fermat:

$p^2+q^2+r^2=p^(3-1)+q^(3-1)+r^(3-1)\equiv 1+1+1 mod3\Rightarrow p^2+q^2+r^2\equiv 0 mod 3$

Mặt khác :

$p^2+q^2+r^2> 3\Rightarrow Q.E.D$

:icon6: 




#448170 $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2...

Đã gửi bởi IloveMaths on 06-09-2013 - 13:22 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z> 0; x\geq y\geq z$

Khẳng định hoặc phủ định BĐT sau:

$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x^{2}-xz+z^{2}}{y^{2}}\geq \frac{z^{2}-zy+y^{2}}{z^{2}}$

:icon6:  :icon6: Giải như  sau :

Cho x= 3 ; y= 2 ; z= 1 

$\Rightarrow \frac{7}{9}\geqslant \frac{7}{4}\geqslant 3$ ( vô lí)

Vậy Bất đẳng thức sai  :icon6:  :icon6: 




#448015 Chứng minh tứ giác ANIM nội tiếp

Đã gửi bởi IloveMaths on 05-09-2013 - 16:49 trong Hình học phẳng

Bài toán: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (I). $AI\cap BC=A'$

Gọi d là đường trung trực của AA' . $BI\cap d=M;CI\cap d=N$

Chứng minh tứ giác ANIM nội tiếp .

:icon6:




#447760 OG vuông góc với CD

Đã gửi bởi IloveMaths on 04-09-2013 - 16:19 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ cân tại A, nội tiếp trong (O). D là trung điểm của AB và G là trọng tâm của $\Delta ACD$.

 

CMR: OG vuông góc với CD

:icon6:  :icon6:  Giải như sau :

$\overrightarrow{OG}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{CD})+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}).\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{DA}+\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}}{3}=0\Leftrightarrow 3.AO.AD.cos\frac{A}{2}=CB.CD.cos\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.AO.AD=CB.CD$

$\Leftrightarrow 3.AO.AD.sin\frac{A}{2}=CB.CD.sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow 3.S_{\Delta ADO}=S_{\Delta BDC}(=\frac{1}{2.S_{\Delta ABC}})$

vậy OG vuông góc với CD 

$\Rightarrow Q.E.D$

:icon6:  :lol: 




#447713 Tính $P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B...

Đã gửi bởi IloveMaths on 04-09-2013 - 14:51 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$. $A',B',C'$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $O_1=AA'\cap BB'$' $O_2=AA'\cap CC'$' $O_3=BB'\cap CC'$. Giả sử $O_1,O_2,O_3$ lần lượt nằm trên đường trung trực của $AB,AC,BC$. Tính $P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}$

:icon6: Thấy thế nào ấy  :lol:  :lol: 

:icon6: Giải như sau :

Do $O_{1};O_{2};O_{3}$ lần lượt  nằm trên đường trung trực của AB,AC,BC nên ta đặt :

$\angle BAO_{1}=\angle ABO_{1}=\alpha ;\angle ACO_{2}=\angle CAO_{2}=\beta ;\angle BCO_{3}=\angle CBO_{3}=\gamma$

Do đó :

$P=\frac{A'B.B'C.C'A}{A'C.B'A.C'B}=\frac{sin\alpha .sin\gamma .sin\beta }{sin\beta .sin\alpha .sin\gamma }=1\Rightarrow P=1$

Do $\frac{A'B}{A'C}=\frac{AB.AA'.sin\alpha }{AC.AA'.sin\beta }$

:icon6: 




#447702 Chứng minh $\frac{1}{\overline{BQ}...

Đã gửi bởi IloveMaths on 04-09-2013 - 14:06 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ cân và một đường thẳng $d$ song song $BC$. $M$ là một điểm di động trên $d$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $P$, đường thẳng $CM$ cắt cạnh $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}=const$

Tam giác ABC cân tại đâu vậy bạn  :icon6: 




#447373 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN của...

Đã gửi bởi IloveMaths on 02-09-2013 - 21:01 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $a+b+c+abc = 4$. Tìm GTNN  của biểu thức $P = a^4+b^4+c^4$

:icon6:

$a^4+b^4+c^4+1+1+1+1+1+1+1+1+1\geq 4a+4b+4c$

$a^4+b^4+c^4+1\geq 4abc$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a+b+c+abc)-10=6\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$

:icon6:  :icon6:




#447091 $f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)...

Đã gửi bởi IloveMaths on 02-09-2013 - 07:02 trong Phương trình hàm

:closedeyes:  :closedeyes: Bạn giải chi tiết hơn được không! Hình như $m,n\in \mathbb{Z}$ không quy nạp được!!!!!! :luoi:  :luoi:

:luoi:  :luoi:

Cho m=0 ; n=-1 suy ra f(0)= 1 và f(-1) = 2

Từ đó , cho m=n=1 suy ra f(-2)=5

Tiếp tục cho m= -1 ; n= 1 suy ra f(1)=2

Ta quy nạp :  $\forall n\epsilon N$

f(n)=$n^2+1$

f(0)=1  ;    f(1)= 2 

giả sử $f(n)=n^2+1 ; f(n+1)=(n+1)^2+1$

Ta Chứng minh $f(n+2)$=$(n+2)^2+1$

Cho m= 1 , thay n bằng n+1

$f(n+2)+f(n)=f(n+1).f(1)+2\Rightarrow f(n+2)=(n+2)^2+1$

Vậy $\forall n\epsilon N$

f(n)=$n^2+1$

Tương tự quy nạp $f(-n)=(-n)^2+1$ và $f(-n)=(-n)^2+1\forall n\epsilon N^{*}$

( sử dụng $m=1$ và thay n bằng -n-1)

Vậy $f(n)=n^2+1\forall n\epsilon Z$

Thử lại thấy thỏa mãn 

:luoi:  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :luoi:




#446966 $f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)...

Đã gửi bởi IloveMaths on 01-09-2013 - 20:27 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm số $f:Z\rightarrow Z$ thoả mãn điều kiện:

$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2, \forall m,n\in \mathbb{Z}$

:icon6:  :icon6: Mình nêu hướng giải thôi

Cho m=0;n=-1 sau đó biến đổi tính được ( nhớ điều kiên là f thuộc Z)

f(-1)=2 ;  f(0)=1

Sau đó quy nạp $f(n)=n^2+1$

:icon6: 




#446699 Giải PT hàm

Đã gửi bởi IloveMaths on 31-08-2013 - 22:35 trong Giải tích

Tìm hàm số $f(x)$ lên tục trên R thỏa mãn $f(0)=2013$ và $f(2013x)=f(x)+x$

:icon6: Giải như sau 

Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x}{2012}\Rightarrow g(2013x)=g(x)=g(\frac{x}{2013})=g(\frac{x}{2013^2})=...=g(\frac{x}{2013^n})$

Do f(x) liên tục nên g(x) cũng liên tục .

Từ đó ta có:  $limg(\frac{x}{2013^n})=g(lim\frac{x}{2013^n})=g(0)=f(0)-0=2013$

Vậy $f(x)=2013+\frac{x}{2012}$

Thử lại thấy thỏa mãn. :icon6: 




#446536 Chứng minh rằng phương trình $x^{7}+y^{7}=1998^...

Đã gửi bởi IloveMaths on 31-08-2013 - 14:46 trong Số học

Anh đang cần tìm một lời giải bằng định lí $Fermat$ nhỏ. Mà hình như điều kiện của định lí $LTE$ là $x,y$ phải đồng thời không chia hết cho $3$ mà nhỉ ?

Định lí LTE?? có tài liệu gì ko mọi người . tks :icon6: