Chuỗi là "chuỗi đạo hàm" của chuỗi . Có một định lý nói rằng bán kính hội tụ (convergence radius) của một chuỗi bằng bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm của nó...

Sao mà "dễ" quá vậy ? Hay mình hiểu sai ý câu hỏi của math0 ?

Bổ sung thêm một chút là chủ yếu xét M B(0,1).

Vậy, mình xin có hai câu hỏi ngây ngô :

1- tập hợp có "đo" được không (measurable) theo nghĩa Lebesgue hay một nghĩa nào khác ? Nếu được thì là bao nhiêu ?

2- tập hợp có định "chiều" được không (dimension) theo nghĩa Hausdorff hay một nghĩa nào khác ? Nếu được thì là bao nhiêu ?

Không làm trong lĩnh vực này, nhưng cũng xin "khảo sát" bằng một vài nhận xét rất dễ cho vui

1) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M đối xứng qua hai trục tọa độ.

3) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?1, khác 1, đều thuộc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M, chúng tương ứng với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1+z+z^2+\cdots+z^{k-1}=0. Vậy, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r\in\mathbb{Q}. Nhưng còn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r\in\mathbb{R} thì sao ?

5) http://dientuvietnam...metex.cgi?Z^k=z (với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k\in\mathbb{N}^*) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?z tương ứng với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z tương ứng với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A, định nghĩa bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_{kn}=a_n, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_j=0 nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j không chia hết cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k.

6) Tỷ số vàng cũng thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M: xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1-z-z^2=0.

7) Nếu xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_n=0 kể từ một số hạng nào đó) thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_0 không đổi qua phép nghịch đảo (inversion) .

Mong có nhiều người "khảo sát" tiếp :rose

Hãy tìm tất cả các giá trị của tg z ,với z là một số phức

Thông thường thì các hàm trong gia đình của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?z\in\mathbb{C}

ta đặt

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{z} thì ta mới có vấn đề vì chúng đa trị (multi-valued)

If you have really discovered an elementary proof of FLT, may I suggest that you write a paper and submit it to a mathematical review...

If you wish to discuss about any other conjecture in this forum, we would appreciate if you could state it fully, clearly and honestly from the beginning.

Tôi cảm thấy không thoải mái với cách trao đổi của nanonii : bạn luôn đưa ra một giả định sai, rồi sau khi có phản ví dụ, bạn lại nói là tồn tại một điều kiện "ẩn", mà bạn không muốn phát biểu điều kiện đó là gì, chỉ muốn người ta "đoán".

As a matter of fact, there remains a hidden condition

Điều kiện "bí mật" đó là gì ?

For any real numbers n > 2, m > 2, r > 2, there are no co-prime positive integers and f(x, y, z) such that x^n + y^m = z^r. I am trying to solve Beal's conjecture by this way.

Trong phát biểu của giả định Beal, các số mũ phải là số nguyên. Nếu bạn cho chúng là số thực thì có một phản ví dụ rất dễ :

Vẫn lấy http://dientuvietnam...etex.cgi?(x,y,z)=(5,6,7). Chọn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a>2 và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?b>2, rồi tính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c=\log_7(5^a+6^b). Vì http://dientuvietnam...2 6^2=61>49=7^2, nên ta sẽ có http://dientuvietnam...imetex.cgi?c>2. Khi đó, phương trình http://dientuvietnam...cgi?x^a y^b=z^c hữu nghiệm nguyên tố cùng nhau.

@gianglinh : Ý của bạn nanonii là chứng minh một kết quả "mạnh" hơn nữa, với số mũ thực. Khi đó, Fermat chỉ là một trường hợp đặc biệt.

@nanonii : Tôi đổi phản ví dụ lại như sau. Các số http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x=5, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?y=6, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?z=7 nguyên tố cùng nhau. Xét hàm

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(a)=5^a+6^a-7^a.

Ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(2)=25+36-49=12>0 và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(3)=125+216-343=-2<0. Vì http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f liên tục, nên tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_0\in]2,3&#091; sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?f(a_0)=0.

Cái này là BDT Poincare thì phải, nhớ là hồi lâu rồi học giải tích số có cái này với mấy cái Lax-Milgram, espace Sobolev thì phải

Mình làm trong ngành giải tích số, và xin xác nhận phần nào khẳng định của hoang. Mục đích của nó là chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C=C(\Omega)>0 sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f có vết bằng 0 trên ranh giới http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\partial\Omega, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega\in\mathbb{R}^n là một miền mở bị giới hạn trong một chiều (open and bounded in one direction).

Có thể trong ngành giải tích điều hòa, nó tên là Wirtinger, và hằng số được xác định rõ ràng hơn

Không biết nanonii "chứng minh" định lý mở rộng này ra sao, chứ ta có phản ví dụ sau.

Cố định http://dientuvietnam...metex.cgi?x=y=4, http://dientuvietnam...imetex.cgi?z=5. Ta sẽ thiết lập rằng tồn tại số thực http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a>2 sao cho http://dientuvietnam...gi?x^a y^a=z^a.

Xét hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(a)=4^a+4^a-5^a=2^{2a+1}-5^a trên miền http://dientuvietnam...imetex.cgi?a>0. Hàm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f liên tục. Ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(2)=2^5-5^2=7>0. Khi http://dientuvietnam...metex.cgi?a_0>2 sao cho http://dientuvietnam...metex.cgi?f(a_0)=0.

Mà mấy cái định lý tách tập lồi dùng để làm gì nhỉ?

Mình biết một ứng dụng "cụ thể" của định lý tách tập lồi : người ta dùng Hahn-Banach để chứng minh tồn tại nhân tử Lagrange trong các bài toán tối ưu dưới ràng buộc (constrained optimization), trong không gian hữu/vô hạn chiều.

Lạc hà dữ cô lộ tề phi
Thu thủy cộng trường thiên nhất sắc.

Xin trả lời câu 1 : Vương Bột, cùng đính chính tí xíu :

Lạc hà dữ cô vụ tề phi
Thu thủy cộng trường thiên nhất sắc

Ráng chiều với cò lẻ cùng bay, nước thu cùng trời dài một sắc. Chữ "vụ" 鶩 chỉ một loại vịt, ở đây là con cò. Không thể đọc là "lộ" được.

Câu 2 tôi nhường lại cho các "thần đồng đất Việt" Thật ra, tại Trung Quốc cũng đã có người bảo hai chữ "dữ" và "cộng" hơi thừa rồi !

Ả Rập cổ

Chắc là bạn muốn nói "Ai Cập" cổ [Egyptian]

Thật ra, theo những nhà ngôn ngữ học, tất cả các hệ thống văn tự của nhân loại đều có nguồn gốc tượng hình(*). Trải qua một quá trình tiến hóa lâu dài, tính tượng hình mất đi, tính ký âm phát triển, rồi đi đến sự hình thành của mẫu tự. Ngày nay, trên thế giới, hình như chỉ có chữ Hán mới còn giữ được tính tượng hình của gốc gác nó.

Dĩ nhiên là không nói tới các văn tự được cố ý phát minh ra gần đây với mục đích "ghi âm dễ dàng", như Hangul của Triều Tiên chẳng hạn.

mà a=1 => b=2

Chỗ này có vấn đề, vì không có gì bắt buộc .

Câu b) chứng minh như thế nào thế?

Có cách liệt kê như sau, dù không hay lắm nhưng cũng thích ứng cho trường hợp "gấp"

Muốn cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n=\bar{abcd} chẵn thì ta phải có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d\in\{2,4\}. Khi đó, http://dientuvietnam...tex.cgi?a d=1 d lẻ. Nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?a b c d chẵn thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?b c phải là số lẻ. Vậy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(b,c)=(1,2), http://dientuvietnam...imetex.cgi?(2,1) hoặc http://dientuvietnam...imetex.cgi?(2,3). Tóm lại, ta có 6 khả năng cho http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n. Với mỗi số http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n, ta sẽ ghi ra kế bên các hệ số thỏa mãn đề bài :

Mình không biết nhiều về vấn đề này, nhưng thấy cái mô hình của Buffon khá hay Chỉ xin báo cáo rằng bạn quên một đạo hàm : hệ phương trình đáng lẽ phải là

Mình nghĩ, muốn trả lời câu hỏi của mechatronic, ta phải xét lại thế nào là "giải"

Khi ta dùng các phương pháp số như Newmark, mục đích của ta là tìm giá trị số (numerical values) xấp xỉ cho nghiệm. Còn khi ta dùng biến đổi Laplace, mục đích của ta chỉ là tìm một công thức "ngắn gọn" để tượng trưng cho nghiệm. Công thức này có thể sẽ không "thực dụng" lắm...

Tôi xin lấy ví dụ cực đoan sau : trong bài bạn đưa ra, chọn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\in\mathbb{R}, http://dientuvietnam...metex.cgi?M=K=0 và http://dientuvietnam...imetex.cgi?B=1. Khi đó, ta chỉ còn phương trình vi phân

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F(.), nhưng vì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?F(.) là một hàm bất kỳ nên ta vẫn phải dùng phương pháp số để giải , nếu mục đích của ta là tìm một dãy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_n, tượng trưng cho các giá trị xấp xỉ của http://dientuvietnam...metex.cgi?x(t_n). Còn nếu dùng Laplace thì bạn sẽ làm sao ?

đọc chẳng hiểu gì cả bác quan vu dịch được không

Như mình đã nói trên, tài liệu của QUANVU tương ứng với một bài khác (dù tựa tựa). Đó là bài "Problème 3", trang 3, xin tạm dịch như sau (dùng ký hiệu của hoang) :

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A một tập hợp gồm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n phần tử khác nhau, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_1,U_2,\ldots,U_m các tập hợp con khác nhau sao cho :

+ http://dientuvietnam...metex.cgi?|U_i| lẻ với mọi ;
+ chẵn với mọi .

Chứng minh rằng .

Trước tiên, bạn phải phân tích phân số $\dfrac{1}{x^4+1}$ thành phần tử đơn giản. Vì
$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$

và vì các tam thức bên vế phải đều không có nghiệm thực, nên ta có thể đặt

$\large\dfrac{1}{x^4+1}=\dfrac{ax+b}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\dfrac{cx+d}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

Từ đó suy ra $a=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, $b=\dfrac{1}{2}$, $c=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, $d=\dfrac{1}{2}$.

Ta biết tìm nguyên hàm của những hàm bên vế phải của .

Bài này khó,tôi có biết một lời giải phải dùng 2 bổ đề.

Đáp án mà QUANVU gửi trên thật ra là của một bài khác (bàn về lực lượng chẵn/lẻ), khó hơn, nên mới cần 2 bổ đề Bài của hoang có cách giải dùng ma trận, tổng quát từ lời giải trên mathlinks (lời giải mathlinks chỉ cho trường hợp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k=1).

Gọi các phần tử của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,\ldots,a_n. Ta xét ma trận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M gồm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n hàng, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?m cột, xác định bởi

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_{ij}=1 nếu http://dientuvietnam...ex.cgi?M_{ij}=0 nếu http://dientuvietnam...x.cgi?Q=M^{T}M. Dễ thấy rằng đây là một ma trận vuông http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?Q khả nghịch thì khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mbox{rank}Q=m và điều này sẽ kéo theo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q_{ij}=k nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i. Thật vậy, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i,j sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q_{ii}=Q_{jj}=k, vì khi đó ta sẽ có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell nào đó để http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q_{\ell\ell}=k xảy ra. Với mọi chỉ số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i\neq\ell thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q_{ii}>k.

Bây giờ ta suy diễn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q như là ma trận của dạng toàn phương :

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q_{ii}, dạng toàn phương này xác định dương. Do đó, ma trận http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Q khả nghịch, đpcm.

- Khi hoang ra bày này (07/2005), tôi có nghĩ tới việc sử dụng ma trận như trên, nhưng lúc đó không chứng minh được Q khả nghịch :cry Đọc bài vnm dẫn trên mathlinks thì mới... tìm ra chân lý

- Tôi dời chủ đề này vào box Đại Học vì cho nó là "đại số tuyến tính" nhiều hơn là "rời rạc".

Bài thứ nhất làm thế nào vậy ta?

Mình biết cách này, sử dụng 2 bổ đề :

Bổ đề 1. Mọi ma trận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A có vết bằng 0 đều "đồng dạng" với một ma trận http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B trong đó các số trên đường chéo đều bằng 0. Nói cách khác, tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?P sao cho http://dientuvietnam....cgi?A=P^{-1}BP và http://dientuvietnam...ex.cgi?B_{ii}=0 với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?n. Đây cũng là một kết quả "cổ điển" của đại số tuyến tính.

Bổ đề 2. Cho một ma trận chéo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D=\mbox{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n) với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A có vết bằng 0. Theo bổ đề 1, tồn tại http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?P sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?D,M sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B=DM-MD. Vậy,

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=(P^{-1}DP)(P^{-1}MP)-(P^{-1}MP)(P^{-1}DP).

Về cơ sở lý thuyết thì coi như ta đi đúng hướng Còn về kỹ thuật thực tiễn thì tôi thấy cũng nên lưu ý đến một vấn đề (kinh điển) sau.

Trong công thức của nemo, có http://dientuvietnam...etex.cgi?F_n^2. Vậy, ta phải biết thực hiện phép nhân giữa hai số "lớn". Gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?M là hệ M-phân ta sử dụng để biểu diễn các số :

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c_k<M, nhưng chuyện này không khó, và cũng không tốn kém lắm). Vấn đề chính ở đầy là phép nhân rất tốn kém : nếu ta đếm xem cần bao nhiêu phép tính để có http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?C, thì ta được http://dientuvietnam...imetex.cgi?n^2.

Có một kỹ thuật dùng Fast Fourrier Transform làm giảm đi số phép tính : ta chỉ cần phép tính thôi thay vì . Dụng cụ này dường như đã có sẵn trong Maple (khi làm việc với số lớn). Còn nếu bạn muốn viết lập trình lại từ đầu thì phải viết luôn cái... FFT

Ý của nemo rất hay Khi áp dụng ta cũng có thể phối hợp công thức đó với http://dientuvietnam...F_{n 1}^2 F_n^2 để tính các giá trị tương ứng với chỉ số lẻ.

Thử với http://dientuvietnam...metex.cgi?N=100 : hàng dưới là (chỉ số của) những số hạng cần tính để có được hàng trên.

100
49 51
24 25 26
11 12 13 14
5 6 7 8

Hy vọng là số vòng lặp cần thiết tỉ lệ với . Hình như còn nhiều công thức "thần sầu" hơn nữa , chẳng hạn : , hoặc

.

Muốn phát biểu thêm vài điều sau :

1) Số mũ của số phải tìm quá lớn, quá khả năng của tất cả các máy Muốn lập trình tính thì phải làm một multiple-precision program, trữ một số trong một bảng (array), mỗi phần tử của bảng gồm 5 chữ số chẳng hạn, rồi định nghĩa lại phép cộng cho bảng...

2) Mình có ước lượng này. Xuất phát từ

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(dfrac{1-sqrt{5}}{2}\)^N, vì nó rất nhỏ, chỉ ảnh hưởng đến những chữ số rất xa sau dấu phẩy. Vậy, ta hãy tính những chữ số đầu cùng số mũ của http://dientuvietnam...c{sqrt{5} 1}{2}\)^N. Như đã viết tại bài trên, ta có



(theo máy tính). Vậy,

.

Thiết nghĩ ta có thể chứng minh chặt chẽ được kết quả này bằng cách đánh giá sai số (estimate error) của từng giai đoạn trên.

Bài này vui đấy

- Về mức độ lớn của http://dientuvietnam...metex.cgi?F_{N}, ta có http://dientuvietnam...etex.cgi?N=10^9 thì

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_{10^9}, hay chỉ cần vài chữ số đầu và số mũ của lũy thừa 10, tức là dạng

?

- Nếu máy không chịu 1 vòng lặp "dài"

do i= 1, 10^9
...
end do (i)

liệu ta có thể "ăn gian" bằng cách làm 2 hoặc 3 vòng "ngắn" imbricated nhau, kiểu :

do k= 1, 10^3
do j= 1, 10^3
do i= 1, 10^3
....
enddo (i)
enddo (j)
enddo (k)

không ?