Không ai làm bài này sao?

Cho với O là tâm đường tròn nội tiếp .Lấy sao cho PQ tiếp xúc với (O) tại S và . AS cắt BC tại K.Tính BK theo 3 cạnh của

Cho 1 đa giác lồi http://dientuvietnam...1A_2...A_{2007} có các góc bằng nhau. Gọi M là 1 điểm bất kì nằm trong đa giác . CMR tổng các khoảng cách từ M đến các cạnh là hằng số.

Cho và 3 điểm di động trên các cạnh của tam giác sao cho không thẳng hàng và trọng tâm cố định. Biết rằng có ít nhất một trong ba điểm di động qua khắp biên của.CMR trọng tâm của trùng với trọng tâm của .

Cảm ơn anh math đã cung cấp cho chúng em tập tài liệu quí này.

Bài này hình như đã từng gặp ở đâu rùi thì phải , tôi xin trình bày lại lời giải mà thui:
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=\sqrt[4]{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}}
Ta có các đẳng thức sau:
http://dientuvietnam...gi?(a_1 b_1 c_1)(x_1+y_1+z_1)=(a+b+c)(x+y+z)=3
http://dientuvietnam...1^2 b_1^2 c_1^2)(x_1^2+y_1^2+z_1^2)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4
Ngoài ra dễ thấy:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1^2+b_1^2+c_1^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{t^2}=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}=2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1^2+y_1^2+z_1^2=(x^2+y^2+z^2)t^2=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}=2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=ax+by+cz
Do đó, ta cần chứng minh:
hay
BDT trên hiển nhiên đúng bằng cách sử dụng BDT SVAC

Các bác giải đi chứ , bài này hình như dùng SOS đấy...

Cho $\large\dfrac{1+a^2b^2}{(a+b)^2}+\dfrac{1+b^2c^2}{(b+c)^2}+\dfrac{1+c^2a^2}{(c+a)^2}\geq\dfrac{5}{2}$

Cho a, b, c, d, x, y, z thỏa:

CMR: