Làm 2 câu dễ ^^
Câu 1a. Dễ dàng có $\sqrt{\tan x + \cot 2x} = \dfrac{1}{\sqrt{\sin 2x}}$. Đặt $\sqrt{\sin 2x} = a, a\in [-1;1]$ ta đưa về phương trình

$2a^2 -(2+ \sqrt{2}) a + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow a= 1 \ or a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ Còn lại dễ rồi

Câu 4.

Xét khai triển $(1+1)^{30} = C_{30}^0 + C_{30}^1 + \cdots + C_{30}^{30} = 2^{2n} \Rightarrow n = 15$

Khi đó $(x^2 + \dfrac{2}{x})^{15} = \sum_{k=0}^{15} C_{15}^k . 2^{15-k}. x^{15+k};\quad 0\le k\le 15, k\in N$

Theo yêu cầu bài toán ta có $k= 6$ thỏa mãn

Hệ số cần tìm là $C_{15}^6. 2^9= ...$

Điều kiện...
bình 2 vế thu được $(\sqrt x -2)^2 (\sqrt x +1)^2 \le 0$

Kết luận: $x=4$ là nghiệm của BPT

Tính $\lim_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^2 - \sqrt{x +2}}{x^4 + \sqrt[3]{x + 6}-18}$

$\lim_{x\rightarrow 2^-} \dfrac{x^2 - \sqrt{x +2}}{x^4 + \sqrt[3]{x + 6}-18} =-\infty$

$\lim_{x\rightarrow 2^+} \dfrac{x^2 - \sqrt{x +2}}{x^4 + \sqrt[3]{x + 6}-18}= +\infty$

Kết luận: Không tồn tại  $\lim_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^2 - \sqrt{x +2}}{x^4 + \sqrt[3]{x + 6}-18}$

Goi N la trung diem AD
co (MNC) qua MC va //SA
qua G ke duong thang // CN cat BC,AD tai P, Q
co $\frac{QA}{QD} =\frac16, \frac{BP}{CP} =2$
qua Q ke duong thang // SA cat SD tai H
qua H ke duong thang // MC cat SC tai K
thiet dien la tu giac PQHK

Hình như sai rồi bạn ơi, kẻ như bạn Q trùng A,hơn nữa $\dfrac{BP}{CP}= 1$ vì khi đó P là trung điểm BC

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A, gọi H trung điểm BC, theo giả thiết SA=SB=SC suy ra SH vuông đáy
Khi đó $(SA, (ABC)) = \widehat{SAH}$

 $(SB, (ABC))=(SC, (ABC)) = \widehat{SBH}$
Việc tính các góc quá dễ rồi. Bạn tự làm nhé

Cách dựng thôi còn tự tính nhé

SH vuông đáy (SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD)

Dựng G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD.

Trong SHM dựng GO vuông SM suy ra GO vuông (SCD) ( vì GO vuông SM, GO vuông CD)
Do đó GO là trục đường tròn ngoại tiếp (SCD)
Từ đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABCD
*** Tính SO bằng cách dựa vào tam giác vuông SOG. Do đó cần tính SG
Tính SG dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là SGN và SMD ( với N trung điểm SD)

Có SG dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là SGO và SHM tính được SO
Gửi kèm hình cho bạn tự làm. Thông cảm quá dài nên không tính

Bài 1: a) Dễ nhất $P=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a-1})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{a-1})^{2}}=2\sqrt{a}$

b)Đặt $y=x^2-2x+2(y>0)$

$\Rightarrow y+4x=x^2+2x+2$

Ta có pt $4y^2+2x^2+6xy=0$ (quy đồng rồi nhân chéo)

$\Leftrightarrow 2(x+y)(y+2x)=0$

Đến đây xét TH là ra .Ai có cách khác post nha

Bài 2: b)$N=(n-1)(n+2)(n+1)(n+4)=(n^2+3n-4)(n^2+3n+2)$

$N=(n^2+3n+1-3)(n^2+3n+1+3)=b^2$

Đặt $n^2+3n+1=a$ khi đó $a^2-b^2=9$ 

Tới đây cũng xét thôi  

Câu 1b còn có thể làm như sau $\dfrac{1}{x^2-2x+2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x^2+2x+2}-\dfrac{1}{x}$ 

Đa số bỏ hết 2 câu hình

Điều kiện tự làm

PT $\Leftrightarrow 16x^2 -2x-8 =6\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 16x^2 = \bigg ( \sqrt{2x-1} +3\bigg )^2$ Dễ rồi nhé

Giải phương trình:$(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}+x=28$

Đặt $a=x+3,\ b=\sqrt{(12+x)(4-x)};\ b\ge 0$

 $\Rightarrow 28-x=\frac{a^2+b^2-1}{2}$

$3x(x-2)(\sqrt{2x-1}+1)=(x-2)(2x^2-x+2)$

$\Leftrightarrow (x-2) \bigg [ 3x (\sqrt{2x-1}+1)-(2x^2-x+2) \bigg ]=0$

Giải $ \ 3x (\sqrt{2x-1}+1)-(2x^2-x+2) =0$

$\Leftrightarrow 2(2x-1) +3x\sqrt{2x-1} -2x^2=0\ (1)$

Đặt $\sqrt{2x-1}=t;\ t\ge 0$

$(1) \Leftrightarrow 2t^2-3xt-2x^2 = 0$

$\Leftrightarrow (t-2x)(2t+x)=0 ...$

1.Nếu ($\sqrt{3}+\sqrt{2}$)$^{2}$=a+b$\sqrt{6}$ Với a,b thuộc Z thì a + b =?

2.Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình $\sqrt{x}> 2$ vậy x=?

giúp mình nhé mình đang thi violympic

Ta có $(\sqrt 3 +\sqrt 2)^2 = 5+2\sqrt 6$ do đó $a=5, b = 2 $ và $a+b = 7$

$\sqrt x >2 \Rightarrow  x >4;\ x\in \mathbb{Z} \Rightarrow  x = 5$ là nguyên nhỏ nhất

TCĐ nghĩa là gì vậy ạ???

Tiệm cận đứng

Ta có $ 2 \sin \dfrac{\pi}{7}.B =2 \sin \dfrac{\pi}{7} .\bigg ( \cos  \dfrac{2\pi}{7}+ \cos  \dfrac{4\pi}{7}+\cos  \dfrac{8\pi}{7} \bigg )$

$= \sin \dfrac{3\pi}{7}-\sin \dfrac{\pi}{7} +\sin \dfrac{5\pi}{7} -\sin \dfrac{3\pi}{7} +\sin \dfrac{9\pi}{7}-\sin \pi$

$=\sin \dfrac{5\pi}{7}+\sin \dfrac{9\pi}{7}-\sin \pi -\sin \dfrac{\pi}{7}= \sin  \dfrac{2\pi}{7} -\sin  \dfrac{2\pi}{7}-\sin \dfrac{\pi}{7}$

$=-\sin \dfrac{\pi}{7}$ Vậy $B=-\dfrac{1}{2}$

Cái $C$ làm tương tự coi

Ta sẽ đi cm $M=\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a+b-3}-(a+b) -\dfrac{ab}{4} \ge -\dfrac{3}{4}$ thật vậy

$M \ge \dfrac{1}{3-ab} +\dfrac{3-ab}{4} + \dfrac{1}{3-(a+b)} +(3-(a+b)) -\dfrac{15}{4} $

$\ge 1 + 2 -\dfrac{15}{4} =-\dfrac{3}{4}$ ... tự xử nốt mấy cái râu ria

1 cách khác

$x=0$ không là nghiệm, chia 2 vế pt 1 cho $x$, chia 2 vế pt 2 cho $x^2$ hệ đưa về

1) $cos3x+11cosx=2(2sin2x+3cos2x+4)$
 

Giải sai mất rồi T_T

$J=\int \ln (\sqrt{x+1})dx$ đặt $\sqrt{x+1}=t \Rightarrow dx=2tdt$

$J=2\int \ln t .t  dt$ đặt $\ln t = u \Rightarrow \dfrac{1}{t}dt = du;\ dt=dv \Rightarrow t=v$

$J=t.\ln t -\int \dfrac{1}{t}.t dt =t\ln t-\int dt = t\ln t -t + C$ tự thay cận

$K=\int (1+\ln^2 x -2\ln x) dx =\int dx -2\int \ln x dx +\int \ln^2 x dx$ từng phần tương tự là ra,m riêng cái $\int \ln^2 x dx$ từng phần 2 lần

$I=\int \dfrac{e^x}{e^x \sqrt{e^x+1}}dx =\int \dfrac{d(e^x)}{e^x \sqrt{e^x+1}}=\int \dfrac{1}{t\sqrt{t+1}}=\int \dfrac{2udu}{(u^2-1).u}$

$=2\int \dfrac{1}{(u-1)(u+1)}du=\int \bigg (\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1} \bigg)du =\ln \bigg |\dfrac{u-1}{u+1}\bigg |+C$

tự đổi cận nhé

Câu $H$ đặt $x=2\tan t \Rightarrow dx=2\dfrac{1}{\cos^2 t}dt$

$H=2\int \sqrt{4(1+\tan^2 t)}.\dfrac{1}{\cos^2 t}dt=4\int \dfrac{1}{\cos^3 t}dt =4\int \dfrac{d(\sin t)}{(1-\sin^2 t)^2}$

$=4\int \bigg [ \dfrac{1}{(1-u)(1+u)} \bigg ]^2 du =\int \bigg (\dfrac{1}{1-u}+\dfrac{1}{1+u} \bigg)^2 du$ tự làm nốt vì dễ rồi

$I=\int \dfrac{x}{(\sin x +\cos x)^2}dx -\int \dfrac{2\sin^2 x}{(\sin x+ \cos x)^2}dx =I_1-I_2$

Tính $I_1$ Đặt $x= u \Rightarrow dx=du$  và $\dfrac{1}{(\sin x+\cos x)^2}dx =\dfrac{1}{2\sin^2 (x+\dfrac{\pi}{4})} dx=dv$

$\Rightarrow v= -\dfrac{1}{2}\cot (x+\dfrac{\pi}{4})$

$I_1= -\dfrac{1}{2}x.\cot (x+\dfrac{\pi}{4})+\dfrac{1}{2}\int \cot (x+\dfrac{\pi}{4})dx = -\dfrac{1}{2}x.\cot (x+\dfrac{\pi}{4})+\dfrac{1}{2}\ln |\sin (x+\dfrac{\pi}{4})|$

Tính $I_2 =\int \dfrac{1-\cos 2x}{1+\sin 2x}dx=\int \dfrac{1}{(\sin x+\cos x)^2}dx -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(\sin 2x+1)}{1+\sin 2x}$

$= -\dfrac{1}{2}\cot (x+\dfrac{\pi}{4}) -\dfrac{1}{2}\ln |1+\sin 2x|$

Tự lắp cận vào là ok nhé

$\lim \dfrac{\sqrt{4+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1+\dfrac{2}{n}}{2-\dfrac{3}{n} +\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=1$

$\lim \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}+(3+\dfrac{1}{\sqrt n})(2+\dfrac{1}{\sqrt n})}{(1-\dfrac{1}{\sqrt n})(2+\dfrac{3}{\sqrt n})+\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}}=\dfrac{7}{4}$

Tính tích phân:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}x\frac{cosx}{sin^{3}x}dx$

Đặt $x=u \Rightarrow dx=du$  và $\dfrac{\cos x}{\sin^3 x}dx = dv \Rightarrow -\dfrac{1}{2\sin^2 x} =v$

$I=-\dfrac{x}{2\sin^2 x} \bigg |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} +\dfrac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\sin^2 x}dx$

$=-\dfrac{x}{2\sin^2 x} \bigg |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} -\dfrac{1}{2} \cot x  \bigg |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{2}$