Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Pham Le Yen Nhi nội dung

Có 96 mục bởi Pham Le Yen Nhi (Tìm giới hạn từ 21-10-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#631794 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 11 khu vực DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ n...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 07-05-2016 - 20:17 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:

 

Ta có:

$(n+3)u_{n+2}=2(n+2)^{2}u_{n+1}-(n+1)^{2}(n+2)u_{n}$

$\Leftrightarrow (n+3)u_{n+2}-(n+2)^{2}u_{n+1}=(n+2)((n+2)u_{n+1}-(n+1)^{2}u_{n})$

Đặt:

$x_{n}=(n+1)u_{n}-n^{2}u_{n-1}$

$\Rightarrow x_{n}=nx_{n-1}=n(n-1)x_{n-2}=...=\frac{2017n!}{2}$

Từ đó ta có:

$(n+1)u_{n}-n^{2}u_{n-1}=\frac{2017n!}{2}$

Từ đây tính được $u_{n}=\frac{1}{n+1}(n!+\frac{(n-1)2017n!)}{2})$




#613362 $4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 06-02-2016 - 19:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$




#574483 Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 21-07-2015 - 21:21 trong Các bài toán và vấn đề về Tổ hợp và rời rạc

Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2 điểm kề nhau?




#559374 $(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-05-2015 - 19:49 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải phương trình

$(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0 (1) $

ĐK: $x\geq 3$

Ta có

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x+4}-2)+(\sqrt{x-3}-1)+(x\sqrt{x-3}-(3x-8))=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{(\sqrt[3]{x+4})^{2}+2\sqrt[3]{x+4}+4}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\frac{(x-4)^{3}}{x\sqrt{x-3}+(3x-8)}=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho




#558306 $\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 08-05-2015 - 00:25 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình

$\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1+x^{2}}}=(1-\sqrt{x})^{2}$




#557791 CMR: $AP \geqslant AI$ và ...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-05-2015 - 00:01 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

 

Làm 1 bài tặng 10 likes  :lol:  :lol:  :lol:  :namtay 

 

1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$

Giả sử $AB\leq AC$

Ta có 

$\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=(180^{\circ}-\widehat{PAB}-\widehat{APB})+(180^{\circ}-\widehat{PAC}-\widehat{APC})=(360^{\circ}-\widehat{APB}-\widehat{APC})-\widehat{BAC}=\widehat{BPC}-\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=\widehat{PCB}+\widehat{PBC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BPC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ cắt $AC$ tại $N$

Dễ thấy $P$ thuộc cung nhỏ $BN$ ( do $P$ nằm trong tam giác)

Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BN$.

Ta chứng minh được $\Delta ABN$ cân $\Rightarrow$ $AI$ vuông góc với $BN$ 

Lấy điểm $P'$ bất kì thuộc cung nhỏ $BN$

Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P'$ xuống $BN$

Đặt $a$ là khoảng cách từ $P'$ đến $BN$.

Ta có $AI=AM-IM\leq AK-a\leq AP'$

Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

p/s: Bạn tự vẽ hình nha :))




#557347 Tìm CTTQ: ${x_{n + 1}} = \frac{{...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 01-05-2015 - 22:15 trong Dãy số - Giới hạn

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$

$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^{2}x_{n}+1}\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{(2n+1)^{2}x_{n}+1}{x_{n}}=(2n+1)^{2}+\frac{1}{x_{n}}$

Đặt $v_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}\Rightarrow v_{n+1}=(2n+1)^{2}+v_{n}$

Từ đó sử dụng phép thế ta dễ dàng tìm được 

$v_{n+1}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n(n+1)+n+1\Rightarrow v_{n}=\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n}$




#557339 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 01-05-2015 - 21:32 trong Dãy số - Giới hạn

Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_{n}+\sqrt{ka_{n}^{2}-8}$, với mọi n nguyên dương

Ta có $a_{2}=5+\sqrt{k-8}=5+t$ $(t=\sqrt{k-8}\in N)$

$\Rightarrow a_{3}=5(t+5)+\sqrt{(t^{2}+8)(t+5)^{2}-8}$

Vì $a_{n}$ là dãy nguyên nên $a_{3}$ nguyên

$\Rightarrow (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8=p^{2}$

Ta chứng minh được

$(t^{2}+5t+4)^{2}< (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8<(t^{2}+5t+14)^{2}$

Từ đây dễ dàng tìm được $t=4$, suy ra được $k=24$




#554925 $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 21:24 trong Số học

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.

 

Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Vì $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}$ là số nguyên 

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$

Mà ta có $d=(a,b)$ nên $ab\vdots d^{2}$

Suy ra $(a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots d^{2}$ và $(a^{2}+b^{2})\vdots d^{2}$

Vậy nên $(a+b)\vdots d^{2}$ $\Rightarrow a+b\geq d^{2}$ suy ra đpcm




#554901 Chứng minh $\sum a^{2}b^{2} +6abc\geq -3...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 20:25 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$




#554899 Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 20:20 trong Hình học phẳng

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.




#544103 $2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-02-2015 - 10:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình

$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1)$




#543835 Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n ngư...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-02-2015 - 00:07 trong Số học

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Theo giả thiết ta có $a_{k},b_{k}$ đều bằng 1 hoặc -1

Giả sử $\sum a_{k}+\sum b_{k}=0$

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1

Mà $a_{1}a_{2}...a_{n}b_{1}b_{2}...b_{n}$ bằng bình phương của tích tất cả các số trong bảng nên bằng 1

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng -1 phải chẵn

Do đó số các số $a_{k},b_{k}$  là tổng của hai số chẵn bằng nhau nên chia hết cho 4

Mà bảng có n hàng, n cột, nên số các số là 2n, n lẻ $\Rightarrow$ 2n không chia hết cho 4

Vậy ta có đpcm




#542983 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM 2014-2015

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-02-2015 - 19:39 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 




#541305 Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 19-01-2015 - 16:30 trong Hình học phẳng

Cho $\Delta ABC$. Đường tròn (O) cắt cạnh $BC$ tại $X,Y$; cắt cạnh $AC$ tại $Z,T$; cắt cạnh $AB$ tại $U,V$ sao cho $X,Y,Z,T,U,V$ là các đỉnh của một lục giác lồi, $XT\cap YU=A',ZV\cap TX=B',UY\cap VZ=C'$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm.




#541055 $\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 16-01-2015 - 22:06 trong Đại số

$\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}:\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}$ (1)

ĐK: $x> 2$

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2(\sqrt{x-2})^{2}+(x-5)\sqrt{x-2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x-11}{2\sqrt{x-2}+x-5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-17=2\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 17\\ (x-17)^{2}=4(x-2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=27$




#540819 Chứng minh $MK=ML$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-01-2015 - 19:39 trong Hình học

Vẽ $AN\perp XB$ cắt $CD$ tại $N$

$\Rightarrow X$ là trực tâm của $\Delta NAB$

$\Rightarrow AX\perp NB$ tại F ($F$ thuộc $NB$)

$\Rightarrow \angle AND =\angle ABX=\angle ABL$

Ta có $AC^{2}=AD.AB \Rightarrow AL^{2}=AD.AB \Rightarrow \Delta ALD\sim \Delta ABL$

$\Rightarrow \angle ALD =\angle ABL \Rightarrow \angle ALD =\angle AND$

$\Rightarrow ANLD$ nội tiếp

Mà $\angle D =90^{\circ} \Rightarrow \angle ALN =90^{\circ}$

cmtt ta có BDKN nội tiếp $\Rightarrow \angle BKN =90^{\circ}$

Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} NK^{2}=NF.NB\\ NL^{2}=NH.NA\\ NF.NB=NH.NA \end{matrix}\right.$

Nên NK=NL

Từ đó chứng minh được $\Delta NKM =\Delta NLM\Rightarrow MK=ML$ (đpcm)

p/s: bạn tự vẽ hình nha :))




#528561 Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 22:22 trong Đại số

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$




#528554 Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 21:59 trong Số học

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp




#528436 $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^{2}-...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 14:16 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình

a. $\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}= x^{2}-12x+38$

b.$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^{2}-12x+4$

a) Ta có 

$VT^{2}=(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5})^{2}\leq 4\Rightarrow VT\leq 2$

 $VP=x^{2}-12x+38=(x-6)^{2}+2\geq 2$

Mà VT=VP.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=6$

Thử lại x=6 thỏa.

Vậy nghiệm của pt đã cho là x=6.




#526516 Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-09-2014 - 18:18 trong Hình học

1.Cho hai đường tròn $(O_{1}),\left ( O_{2} \right )$ cắt nhau tại $A,B$.Một điểm M chuyển động trên $(O_{1})$. Qua M kẻ tiếp tuyến MT với $(O_{2})$. Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}$ không đổi khi M thay đổi.

2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ cát tuyến ABC,ADE với B thuộc AC, D thuộc AE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ hai tại F. AF cắt (O) tại G. EG cắt AC tại M. Chứng minh $\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$




#522981 Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 05-09-2014 - 21:07 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

1. Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các số nguyên tố khác nhau.Hỏi có bao nhiêu ước số của số $q=p_{1}^{k_{1}}.p_{2}^{k_{2}}....p_{n}^{k_{n}}$

2.Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỏ hơn $2.10^{8}$, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số 0,1,2.




#520292 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 19-08-2014 - 00:27 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giả sử $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}>0$ và $\sum_{i=1}^{k}a_{i}\leq \sum_{i=1}^{k}b_{i}$ với $k=1,2,...,n$. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

 




#517167 $\sum \frac{a^{n}b^{m}}{c^...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 02-08-2014 - 18:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

2.Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có

$\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

 




#513365 CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 17-07-2014 - 11:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$