Đến nội dung

Pham Le Yen Nhi nội dung

Có 96 mục bởi Pham Le Yen Nhi (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#631794 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối 11 khu vực DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ n...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 07-05-2016 - 20:17 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:

 

Ta có:

$(n+3)u_{n+2}=2(n+2)^{2}u_{n+1}-(n+1)^{2}(n+2)u_{n}$

$\Leftrightarrow (n+3)u_{n+2}-(n+2)^{2}u_{n+1}=(n+2)((n+2)u_{n+1}-(n+1)^{2}u_{n})$

Đặt:

$x_{n}=(n+1)u_{n}-n^{2}u_{n-1}$

$\Rightarrow x_{n}=nx_{n-1}=n(n-1)x_{n-2}=...=\frac{2017n!}{2}$

Từ đó ta có:

$(n+1)u_{n}-n^{2}u_{n-1}=\frac{2017n!}{2}$

Từ đây tính được $u_{n}=\frac{1}{n+1}(n!+\frac{(n-1)2017n!)}{2})$




#613362 $4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 06-02-2016 - 19:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$




#574483 Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 21-07-2015 - 21:21 trong Tổ hợp và rời rạc

Hỏi có bao nhiêu cách chia n điểm trên đường thẳng thành các tập gồm 1 hoặc 2 điểm kề nhau?




#559374 $(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-05-2015 - 19:49 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

giải phương trình

$(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0 (1) $

ĐK: $x\geq 3$

Ta có

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x+4}-2)+(\sqrt{x-3}-1)+(x\sqrt{x-3}-(3x-8))=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{(\sqrt[3]{x+4})^{2}+2\sqrt[3]{x+4}+4}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\frac{(x-4)^{3}}{x\sqrt{x-3}+(3x-8)}=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho




#558306 $\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 08-05-2015 - 00:25 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình

$\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1+x^{2}}}=(1-\sqrt{x})^{2}$




#557791 CMR: $AP \geqslant AI$ và ...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-05-2015 - 00:01 trong Hình học

 

Làm 1 bài tặng 10 likes  :lol:  :lol:  :lol:  :namtay 

 

1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$

Giả sử $AB\leq AC$

Ta có 

$\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=(180^{\circ}-\widehat{PAB}-\widehat{APB})+(180^{\circ}-\widehat{PAC}-\widehat{APC})=(360^{\circ}-\widehat{APB}-\widehat{APC})-\widehat{BAC}=\widehat{BPC}-\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=\widehat{PCB}+\widehat{PBC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BPC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ cắt $AC$ tại $N$

Dễ thấy $P$ thuộc cung nhỏ $BN$ ( do $P$ nằm trong tam giác)

Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BN$.

Ta chứng minh được $\Delta ABN$ cân $\Rightarrow$ $AI$ vuông góc với $BN$ 

Lấy điểm $P'$ bất kì thuộc cung nhỏ $BN$

Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P'$ xuống $BN$

Đặt $a$ là khoảng cách từ $P'$ đến $BN$.

Ta có $AI=AM-IM\leq AK-a\leq AP'$

Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

p/s: Bạn tự vẽ hình nha :))




#557347 Tìm CTTQ: ${x_{n + 1}} = \frac{{...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 01-05-2015 - 22:15 trong Dãy số - Giới hạn

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi

${x_1} = 1,{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{x_n} + 1}},\forall n \ge 1$

$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^{2}x_{n}+1}\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{(2n+1)^{2}x_{n}+1}{x_{n}}=(2n+1)^{2}+\frac{1}{x_{n}}$

Đặt $v_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}}\Rightarrow v_{n+1}=(2n+1)^{2}+v_{n}$

Từ đó sử dụng phép thế ta dễ dàng tìm được 

$v_{n+1}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}+2n(n+1)+n+1\Rightarrow v_{n}=\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n$

Vậy $x_{n}=\frac{1}{\frac{2(n-1)n(2n-1)}{3}+2n(n-1)+n}$




#557339 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 01-05-2015 - 21:32 trong Dãy số - Giới hạn

Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên $a_{1}=1;a_{n+1}=5a_{n}+\sqrt{ka_{n}^{2}-8}$, với mọi n nguyên dương

Ta có $a_{2}=5+\sqrt{k-8}=5+t$ $(t=\sqrt{k-8}\in N)$

$\Rightarrow a_{3}=5(t+5)+\sqrt{(t^{2}+8)(t+5)^{2}-8}$

Vì $a_{n}$ là dãy nguyên nên $a_{3}$ nguyên

$\Rightarrow (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8=p^{2}$

Ta chứng minh được

$(t^{2}+5t+4)^{2}< (t^{2}+8)(t+5)^{2}-8<(t^{2}+5t+14)^{2}$

Từ đây dễ dàng tìm được $t=4$, suy ra được $k=24$




#554925 $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 21:24 trong Số học

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.

 

Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Vì $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}$ là số nguyên 

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$

Mà ta có $d=(a,b)$ nên $ab\vdots d^{2}$

Suy ra $(a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots d^{2}$ và $(a^{2}+b^{2})\vdots d^{2}$

Vậy nên $(a+b)\vdots d^{2}$ $\Rightarrow a+b\geq d^{2}$ suy ra đpcm




#554901 Chứng minh $\sum a^{2}b^{2} +6abc\geq -3...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 20:25 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$




#554899 Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 18-04-2015 - 20:20 trong Hình học phẳng

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.




#544103 $2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-02-2015 - 10:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải phương trình

$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1)$




#543835 Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n ngư...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-02-2015 - 00:07 trong Số học

Cho trước số nguyên dương n lẻ. Tại mỗi ô vuông của bàn cờ kích thước n.n người ta viết 1 số +1 hoặc -1. Gọi $a_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên hàng thứ k ( tính từ trên xuống) và $b_{k}$ là tích của tất cả những số ghi trên cột thứ k ( tính từ trái sang).
CMR với mọi cách điền số như trên, đều có: $a_{1}+a_{2}+...a_{n}+b_{1}+b_{2}+...b_{n}\neq 0$

Theo giả thiết ta có $a_{k},b_{k}$ đều bằng 1 hoặc -1

Giả sử $\sum a_{k}+\sum b_{k}=0$

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng 1 bằng số các số bằng -1

Mà $a_{1}a_{2}...a_{n}b_{1}b_{2}...b_{n}$ bằng bình phương của tích tất cả các số trong bảng nên bằng 1

Suy ra trong các số $a_{k},b_{k}$, số các số bằng -1 phải chẵn

Do đó số các số $a_{k},b_{k}$  là tổng của hai số chẵn bằng nhau nên chia hết cho 4

Mà bảng có n hàng, n cột, nên số các số là 2n, n lẻ $\Rightarrow$ 2n không chia hết cho 4

Vậy ta có đpcm




#542983 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM 2014-2015

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 04-02-2015 - 19:39 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 




#541305 Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 19-01-2015 - 16:30 trong Hình học phẳng

Cho $\Delta ABC$. Đường tròn (O) cắt cạnh $BC$ tại $X,Y$; cắt cạnh $AC$ tại $Z,T$; cắt cạnh $AB$ tại $U,V$ sao cho $X,Y,Z,T,U,V$ là các đỉnh của một lục giác lồi, $XT\cap YU=A',ZV\cap TX=B',UY\cap VZ=C'$. Chứng minh $AA',BB',CC'$ đồng quy tại một điểm.




#541055 $\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 16-01-2015 - 22:06 trong Đại số

$\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}:\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}$ (1)

ĐK: $x> 2$

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2(\sqrt{x-2})^{2}+(x-5)\sqrt{x-2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x-11}{2\sqrt{x-2}+x-5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-17=2\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 17\\ (x-17)^{2}=4(x-2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=27$




#540819 Chứng minh $MK=ML$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 14-01-2015 - 19:39 trong Hình học

Vẽ $AN\perp XB$ cắt $CD$ tại $N$

$\Rightarrow X$ là trực tâm của $\Delta NAB$

$\Rightarrow AX\perp NB$ tại F ($F$ thuộc $NB$)

$\Rightarrow \angle AND =\angle ABX=\angle ABL$

Ta có $AC^{2}=AD.AB \Rightarrow AL^{2}=AD.AB \Rightarrow \Delta ALD\sim \Delta ABL$

$\Rightarrow \angle ALD =\angle ABL \Rightarrow \angle ALD =\angle AND$

$\Rightarrow ANLD$ nội tiếp

Mà $\angle D =90^{\circ} \Rightarrow \angle ALN =90^{\circ}$

cmtt ta có BDKN nội tiếp $\Rightarrow \angle BKN =90^{\circ}$

Từ đó ta có $\left\{\begin{matrix} NK^{2}=NF.NB\\ NL^{2}=NH.NA\\ NF.NB=NH.NA \end{matrix}\right.$

Nên NK=NL

Từ đó chứng minh được $\Delta NKM =\Delta NLM\Rightarrow MK=ML$ (đpcm)

p/s: bạn tự vẽ hình nha :))




#528561 Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 22:22 trong Đại số

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=4$.

Tìm Min: P=$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^{3}+1}}$.

Ta có

$P=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}}+\frac{b}{\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}$

Mà $\frac{2a}{b^{2}+2}+\frac{2b}{a^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{ab^{2}+2a}+\frac{2b^{2}}{a^{2}b+2b}\geq \frac{2(a+b)^{2}}{ab(a+b)+2(a+b)}=\frac{2(a+b)}{ab+2}\geq \frac{2.4}{\frac{(a+b)^{2}}{4}+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

Nên $minP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=2$




#528554 Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 21:59 trong Số học

Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn 1. chứng minh $m^{n}$ là tổng của $m$ số lẻ liên tiếp




#528436 $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^{2}-...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 12-10-2014 - 14:16 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình

a. $\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}= x^{2}-12x+38$

b.$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^{2}-12x+4$

a) Ta có 

$VT^{2}=(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5})^{2}\leq 4\Rightarrow VT\leq 2$

 $VP=x^{2}-12x+38=(x-6)^{2}+2\geq 2$

Mà VT=VP.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=6$

Thử lại x=6 thỏa.

Vậy nghiệm của pt đã cho là x=6.




#526516 Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 28-09-2014 - 18:18 trong Hình học

1.Cho hai đường tròn $(O_{1}),\left ( O_{2} \right )$ cắt nhau tại $A,B$.Một điểm M chuyển động trên $(O_{1})$. Qua M kẻ tiếp tuyến MT với $(O_{2})$. Chứng minh $\frac{MT^{2}}{MA.MB}$ không đổi khi M thay đổi.

2. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ cát tuyến ABC,ADE với B thuộc AC, D thuộc AE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ hai tại F. AF cắt (O) tại G. EG cắt AC tại M. Chứng minh $\frac{1}{AM}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$




#522981 Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 05-09-2014 - 21:07 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

1. Giả sử $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ là các số nguyên tố khác nhau.Hỏi có bao nhiêu ước số của số $q=p_{1}^{k_{1}}.p_{2}^{k_{2}}....p_{n}^{k_{n}}$

2.Có bao nhiêu số khác nhau (không được bắt đầu bằng 0), nhỏ hơn $2.10^{8}$, chia hết cho 3, có thể viết bởi các chữ số 0,1,2.




#520292 $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 19-08-2014 - 00:27 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giả sử $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}>0$ và $\sum_{i=1}^{k}a_{i}\leq \sum_{i=1}^{k}b_{i}$ với $k=1,2,...,n$. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

 




#517167 $\sum \frac{a^{n}b^{m}}{c^...

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 02-08-2014 - 18:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

2.Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có

$\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

 




#513365 CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

Đã gửi bởi Pham Le Yen Nhi on 17-07-2014 - 11:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$