Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm GTLN của $M=5a-4abc$

1.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn. $a+b+c=1$

Chứng minh $\sum \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}$

2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn $abcd=1$

Chứng minh $\sum \frac{1}{1+3a}\geq 1$

3.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn. $a+b+c=1$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

4..Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $abc=1$

Chứng minh $\sum \sqrt{\frac{2}{1+a}}\leq 3$

5.Cho a,b,c là các số thực không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh

$\sum \sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq 15$.

p/s: Mọi người tham khảo.

http://diendantoanho...uchy-ngược-dấu/

ở đây có rồi bạn ạ.

Cho em hỏi sao biết dạng nào sẽ phải sử dụng Cosi ngược dấu vậy ạ, chỉ em giúp với, em cảm ơn.

đó là 1 quá trình suy nghĩ đó em.

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ.  

Max:$a^{4}+b^{4}+ab=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+ab=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2a^{2}b^{2}+ab$

Từ giả thiết ta có: $(a+b)^{2}-ab\leq 6$.

đặt $(a+b)=x,ab=y$.Nên ta có $x^{2}-y\leq 6$

Cần chứng minh $(x^{2}-2y)-2y^{2}+y\leq (6-y)^{2}-2y^{2}+y$.đến đây thì việc chứng minh hoàn tất

Min: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow 6\leq 3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow 2\leq a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}+ab\geq a^{2}+b^{2}+ab$

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$

3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.

Từ các điều trên ta có đpcm

Hình như $n\geq 12$

Nếu vậy: Mình làm như sau: xét n=12,x=3,y=0.đúng.

Giả sử n=k đúng nên $k=4x+5y$.

Ta sẽ chứng minh n=k+1 cũng đúng $k+1=4x+5y+1=4x-4+5y+5=4(x-1)+5(y+1)=4a+5b$. như vậy nên ta có đpcm

Ta có: Áp dụng bđt phụ: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$

Mà $\frac{1}{1+\sqrt{abc^{4}}}+\frac{1}{\sqrt{a^{3}b^{3}}}\geq \frac{2}{1+\sqrt[4]{(abc)^{4}}}=\frac{2}{1+abc}$

Từ các điều này suy ra đpcm

$cho a,b,c\geqslant 0 thoã mãn a+b+c=3. cm: \sum \frac{b+c}{2a^2+bc}\geqslant 2$

$\frac{b+c}{2a^{2}+bc}=\frac{3-a}{2a^{2}+bc}\geq \frac{3-a}{2a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}=\frac{4(3-a)}{8a^{2}+(3-a)^{2}}$ đến đây xét đạo hàm là ra luôn phải

Bài này dùng đirichle quá đơn giản.Xem ở đây

Cho $U_{0}=0;U_{1}=1;U_{2}=2;U_{3}=6$

Thoả mãn: $U_{n+4}=2U_{n+3}+U_{n+2}-2U_{n+1}-U_{n}$

Chứng minh $U_{n}\vdots n$ với mọi $n\in N$

P/S: Cho mọi người tham khảo.

bài này dễ:$PT\Leftrightarrow 2x^{2}+12x+18=\sqrt{\frac{x+5}{2}}-1\Leftrightarrow 2(x+3)^{2}=\frac{x+3}{2(\frac{\sqrt{x+5}}{2}+1)}$.đến đây thì dễ rồi

Hình như câu a với câu c thì điểm M trùng với tâm tỉ cực phải

Xét $n=3k,n=3k+1,n=3k+2$ là ra thôi em ạ

Không biết có đúng không.vì các đa thức vế trái cùng bậc nên chuẩn hoá $a+b+c=0\Rightarrow 3abc=\sum a^{3}\Rightarrow VT\geq 1\geq VP$

Cho a,b,c>0 $abc=1$.

Chứng minh $\sum \frac{a}{a^{2}+3}\leq \frac{3}{4}$

cho a,b,c$>$0, abc=1. cm:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^3} \ge 3$

Đã có ở đây

Câu 4: $A=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}b}{2}$

Mà $3(\sum \sqrt{a})=(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}=\sum (b\sqrt{b}+a\sqrt{b})+\sum b\sqrt{a}\geq \sum 2(b\sqrt{a})+\sum b\sqrt{a}=3\sum b\sqrt{a}\geq \sum b\sqrt{a}\leq \sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}=3$

nên ta tim được Min A

Bái: $VT=\sum a^{2}+abc+abc+1\geq \sum a^{2}+3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 3(ab+bc+ac)$ (Theo bddt Schur)

đã có ở đây

Bài 1: Ta có: $x^{2}+1\geq 2x$,$y^{2}+1\geq 2y$,$z^{2}+1\geq 2z$.$z^{2}+y^{2}\geq 2yz $.Cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 2:Từ giả thiết $1=x+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}\Rightarrow \frac{x}{y}\leq \frac{1}{4}$.Ta có $A=\frac{y}{x}+\frac{16x}{y}-\frac{15x}{y}\geq 2\sqrt{16}-15.\frac{1}{4}$. Kết thúc