Đến nội dung

phatthemkem nội dung

Có 883 mục bởi phatthemkem (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#654240 Chứng minh f và g là các song ánh

Đã gửi bởi phatthemkem on 14-09-2016 - 23:30 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

$1.$ Cho $X,Y$ là hai tập hợp, $f: X \rightarrow Y,g:  Y \rightarrow X$ là hai ánh xạ, giả sử $g \circ f \circ g \circ f$ toàn ánh và $f \circ g \circ f \circ g$ là đơn ánh. Chứng minh $f,g$ là các song ánh.

$2.$ Cho $X$ là tập hợp và $f: X \rightarrow X$ là ánh xạ sao cho $f \circ f \circ f =f$. Chứng minh rằng $f$ là đơn ánh khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh.




#599643 Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân ... CMR $A,P,N,F$ thuộc...

Đã gửi bởi phatthemkem on 22-11-2015 - 22:10 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân. Trung trực các cạnh $AB,AC$ cắt trung tuyến $AM$ tại $D,E$. $DB,CE$ cắt nhau tại $F$. $N,P$ lần lượt là trung điểm $AC,AB$. Chứng minh rằng $A,P,N,F$ thuộc 1 đường tròn.




#599640 Chứng minh rằng $AF,DE,BC$ đồng quy

Đã gửi bởi phatthemkem on 22-11-2015 - 22:04 trong Hình học

 

Gọi giao điểm của CB và AE là Y, DF và AE là Z, BD và AE là X.

Ta có: $AX^{2}=\bar{BX}.\bar{XD}$ (1)

Mặt khác: $\Delta BXY\sim \Delta ZXD \Rightarrow \frac{XY}{XD}=\frac{XB}{ZX}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: $\bar{ZY}.\bar{ZX}=AX^{2}$

Suy ra (A,E,Y,Z)=-1 (3) (theo hệ thức Mac-lau-rin vì X là trung điểm AE)

Suy ra (F,D,G,Z)=-1 (4)

Từ (3), (4) suy ra AF,ED,CY đồng quy tại 1 điểm.

Bài toán này mình có sử dụng kiến thức về phép chiếu xuyên tâm. Bạn có thể tham khảo tài liệu trên mạng về vấn đề này.

Mà bạn có biết làm sao vẽ hình trên VMF mà hiển thị được luôn không. Có gì thì bày mình với (mình là thành viên mới mà)

 

Về việc vẽ hình thì bạn xem ở đây.

http://diendantoanho...ề-việc-vẽ-hình/




#598107 Chứng minh rằng $AF,DE,BC$ đồng quy

Đã gửi bởi phatthemkem on 13-11-2015 - 09:53 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $D$ trên $AC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BD$ và $F$ là giao điểm của $CE$ với đường thẳng qua $D$ vuông góc $BC.$ Chứng minh rằng $AF,DE,BC$ đồng quy.




#597073 $a^{2015}+b^{2015}=2a^{1007}b^{1007...

Đã gửi bởi phatthemkem on 06-11-2015 - 13:19 trong Số học

Cho $a^{2015}+b^{2015}=2a^{1007}b^{1007}$ với $a,b \in \mathbb{Q}.$ Chứng minh rằng $P= \sqrt{1-ab}$ là một số hữu tỉ.




#596644 Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất... tạo thành $3$ số hạng...

Đã gửi bởi phatthemkem on 03-11-2015 - 05:41 trong Tổ hợp và rời rạc

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất sao cho với mọi cách tô màu các số $1,2,3,...,n$ bởi một trong hai màu $Đ,T$ (mỗi số chỉ được tô một màu), ta đều tìm được $3$ số khác nhau, có màu giống nhau và tạo thành $3$ số hạng của $CSC.$




#594100 Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.

Đã gửi bởi phatthemkem on 17-10-2015 - 19:30 trong Số học

giai giup mik bai nay 

Tim so tu nhien x,y,z thoa man x+2y+3z=4xyz-5 

Đặt $a=x,b=2y,c=3z$, suy ra $4xyz=\frac{3abc}{2}$, khi đó: $a+b+c=\frac{3abc}{2}-5$

Giả sử $a \geq b \geq c$, ta có: $a+b+c \leq 3a$, suy ra $3abc-10 \leq 6a$ hay $3a(bc-2a) \leq 10$

Dễ thấy VT là số chia hết cho $3$, $a,b,c$ là các số tự nhiên, do đó ta chỉ cần xét các trường hợp $a(bc-2a) \in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$




#593763 $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{...

Đã gửi bởi phatthemkem on 14-10-2015 - 21:53 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{2}$




#593447 Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ngãi 2015

Đã gửi bởi phatthemkem on 12-10-2015 - 16:53 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Sao chưa ai giải mấy bài hình nhỉ. :D 




#593293 Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ngãi 2015

Đã gửi bởi phatthemkem on 11-10-2015 - 19:37 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

chổ nào bạn nhỉ, chỉ giúp mình với?

 

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016

Thời gian làm bài: 180 phút

 

 

Ngày thi thứ hai: 08/10/2015.

 

Bài $5$ (7,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$

 

Cho $k=1,n=0$ ta được $f(0)=-2$

Cho $n=1$ thì $2f(k+1)-2f(k-1)-3f(k)=0\Rightarrow 2f(n+1)-2f(n-1)-3f(n)=0,\forall n\geq 1$

Xét dãy $(u_n)$ với $u_n=f(n)$, khi đó: $\left\{\begin{matrix} u_0=-2,u_1=1\\ 2u_{n+1}-3u_n-2u_{n-1}=0,n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$ 

Đến đây quá dễ rồi.




#593275 Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ngãi 2015

Đã gửi bởi phatthemkem on 11-10-2015 - 18:03 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu hàm:

Thay n=k=0 vào pt, được f(0)=0

Thay n=1 vào pt ban đầu thu được: $2f(k+1)-2f(k-1)=3f(k)\Leftrightarrow 2f(k+1)-3f(k)-2f(k-1)=0$

Do hàm số xđ trên N. Đặt $f(k)=u_k$$,\forall k\in \mathbb{N}$

Ta có: $2u_{k+1}-3u_k-2u_{k-1}=0$

Phương trình đặt trưng: $2\lambda ^{2}-2\lambda -3=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1+\sqrt{7}}{2}\vee \lambda =\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Do đó $u_n=c_1(\frac{1+\sqrt{7}}{2})^{n}+c_2(\frac{1-\sqrt{7}}{2})^{n}$

Tới đây có u0, u1 rồi chịu khó thay vào, lười quá :)) 

sai rồi, nhưng đúng hướng á




#593080 Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ngãi 2015

Đã gửi bởi phatthemkem on 10-10-2015 - 18:39 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 07/10/2015.

 

Bài $1$ (5,0 điểm). 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left ( a+c \right )^2}+3}+\frac{1}{a+b+c}.$$

Bài $2$ (5,0 điểm).

Cho dãy số $\left ( u_n \right )$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2012u_n+2}{2015} \end{matrix}\right.$  $\left ( n=1,2,3,... \right )$

Thành lập dãy $\left ( v_n \right )$ với $v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}.$ Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }v_n.$

Bài $3$ (5,0 điểm).

Người ta viết sẵn trên bảng đen $n$ số nguyên dương $1,2,...,n$ với $n \geq 2$ và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau $n-1$ bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn $\dfrac{4n^3}{9}$ viên kẹo.

Bài $4$ (5,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho hai đường tròn $\left ( O_1 \right ),\left ( O_2 \right )$ có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại $T.$ Kẻ $O_1A$ tiếp xúc với $\left ( O_2 \right )$ tại $A$, $O_2B$ tiếp xúc với $\left ( O_1 \right )$ tại $B$ sao cho $A,B$ nằm về cùng một phía với $O_1O_2.$ Lấy $H$ thuộc $O_1A$, $K$ thuộc $O_2B$ sao cho $BH$ và $AK$ cùng vuông góc với $O_1O_2$, $TH$ cắt $\left ( O_1 \right )$ tại $E$, $TK$ cắt $\left ( O_2 \right )$ tại $F$, $O_1A$ cắt $O_2B$ tại $I$, $EF$ cắt $AB$ tại $S.$

a) Chứng minh $IT$ là phân giác góc $O_1IO_2.$

b) Chứng minh ba đường thẳng $O_1A,O_2B$ và $TS$ đồng quy.

 

Ngày thi thứ hai: 08/10/2015.

 

Bài $5$ (7,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),k\geq n$ và $f(1)=1.$

 

Bài $6$ (7,0 điểm).

1) Cho $11$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{11}.$ Chứng minh rằng luôn tồn tại các số $x_i\in \left \{ -1;0;1 \right \}\left ( i=1;2;...;11 \right )$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho $2047.$

2) Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên, chia hết cho $3$ khi $x$ lấy các giá trị nguyên $k,k+1,k+2.$ Chứng minh rằng $P(m)$ chia hết cho $3, \forall m \in \mathbb{Z}.$

 

Bài $7$ (6,0 điểm).

Trên mặt phẳng cho điểm $I$ cố định và ba đường tròn $\left ( O_1;R_1 \right ),\left ( O_2;R_2 \right ),\left ( O_3;R_3 \right )$ cùng qua $I$; ngoài ra $A,B,C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_2)$ và $(O_3)$, $(O_3)$ và $(O_1)$, $(O_1)$ và $(O_2)$. Biết rằng $I$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $d_1$ tiếp xúc với $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $M,N$ và không cắt $(O_3)$, đường thẳng $d_2$ tiếp xúc với $(O_2),(O_3)$ lần lượt tại $P,Q$ và không cắt $(O_1)$, đường thẳng $d_3$ tiếp xúc với $(O_3),(O_1)$ lần lượt tại $E,F$ và không cắt $(O_2)$. Giả sử các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ thay đổi sao cho $R_1^2+R_2^2+R_3^2 \leq 3$. Hãy tính bán kính của các đường tròn $(O_1),(O_2)$ và $(O_3)$ và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng $S=S_{\triangle IMN}+S_{\triangle IPQ}+S_{\triangle IEF}$ lớn nhất.




#591935 Cho phương trình $x^4+4x^3-2ax^2-12x+a^2=0.$Tính theo $a$...

Đã gửi bởi phatthemkem on 03-10-2015 - 22:43 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình

Cho phương trình $x^4+4x^3-2ax^2-12x+a^2=0.$ Biết rằng với $a \in (1;3)$ thì phương trình có bốn nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4.$ Tính theo $a$ giá trị biểu thức sau:

$$S= \sum_{i=1}^{4} \dfrac{2x_i^2+1}{(x_i^2-a)^2}$$




#591793 Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1....

Đã gửi bởi phatthemkem on 03-10-2015 - 11:49 trong Bất đẳng thức - Cực trị

1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=3^{\left | x-y \right |}+3^{\left | y-z \right |}+3^{\left | z-x \right |}-\sqrt{6\left ( x^2+y^2+z^2 \right )}$$

2. Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=x^5+y^5+z^5$$

3. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=4$ và $xyz=3.$ CMR:

$$183-165\sqrt{5}\leq x^4+y^4+z^4 \leq 18$$




#591032 Chứng minh rằng $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+...

Đã gửi bởi phatthemkem on 26-09-2015 - 21:12 trong Bất đẳng thức - Cực trị

BĐT đầu tiên thì là hệ quả trực tiếp của Iran 96 nhưng BĐT thứ 2 còn có 1 cách chứng minh khác ngoài C-S là phân li đẳng thức :)

Quả thật mình dốt BĐT, phân li BĐT nghe lạ quá, bạn có thể cho mình biết chút ít lý thuyết về nó được hay không. :luoi: 




#591005 Chứng minh rằng $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+...

Đã gửi bởi phatthemkem on 26-09-2015 - 18:26 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Bất đẳng thức này suy ra từ 2 bài toán quen thuộc sau:

 

1.(Vasile Cirtoaje)

 

$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$

 

2.( Darij Grinberg)

 

$\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}+\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ac+a^2} \geq 2$

 

Rất hay!  :like  :D  Hai BĐT trên có thể chứng minh bằng $C-B-S$, do vậy ta hoàn toàn mở rộng được BĐT đã cho ở trên kia với bộ $n$ số dương. Cảm ơn bạn!




#590925 Cho $n$ số dương $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2...

Đã gửi bởi phatthemkem on 25-09-2015 - 22:09 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $n$ số dương $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=n$. Chứng minh rằng:

$${n^2}\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge 4\left( {n - 1} \right)\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right) + n{\left( {n - 2} \right)^2}$$




#590912 Chứng minh rằng $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+...

Đã gửi bởi phatthemkem on 25-09-2015 - 21:29 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $\dfrac{z-xy}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{y-zx}{x^2+xz+z^2}+\dfrac{x-yz}{y^2+yz+z^2}\geq 2$




#590677 sau không quá $3m$ phép cân đĩa ta có thể xác định được tất cả các...

Đã gửi bởi phatthemkem on 24-09-2015 - 17:34 trong Tổ hợp và rời rạc

Có $4m$ đồng xu, nhưng chỉ có $2m$ đồng là thật, khối lượng đồng xu thật nặng hơn đồng xu giả. Chứng minh rằng chỉ với một cái cân đĩa và không kèm theo các dụng cụ khác, sau không quá $3m$ phép cân đĩa ta có thể xác định được tất cả các đồng xu thật và giả.




#589965 Cho $\left \{ x_n \right \}$ thỏa mãn...

Đã gửi bởi phatthemkem on 20-09-2015 - 12:36 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $\left \{ x_n \right \}$ thỏa mãn: $x_0=0,x_1=3,x_{n+2}=7x_{n+1}+x_n,\forall n=0,1,2,...$

CMR tồn tại $a\in \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi $n\in \mathbb{N}^*$ thì biểu diễn trong hệ nhị phân của $x_{an}$ có ít nhất $46^{2014}$ chữ số $1$.




#589963 a_{n+3}=\frac{a_{n+1}.a_{n+2}+k}...

Đã gửi bởi phatthemkem on 20-09-2015 - 12:25 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_{n+3}=\frac{a_{n+1}.a_{n+2}+k}{a_n}$ Tìm số nguyên $k$ để $a_n$ nguyên với mọi $n$ nguyên dương.

Chưa phải lời giải, nhưng mà mình đoán là $k=0$.

Đầu tiên tính $a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$. Điều đặc biệt của bài toán này là $a_4,a_5,a_6,a_7\in \mathbb{N},\forall k\in \mathbb{N}$

Còn $a_8=\frac{9k^3+48k^2+75k+32}{4}\in \mathbb{N}\Leftrightarrow k=4m,m\in \mathbb{N}$

Giờ ta chứng minh bằng quy nạp rằng $\forall k\geq 1,\exists i\in \mathbb{N}^*/a_i \notin \mathbb{N}$ (Chưa làm được đoạn này :luoi: )

Nếu tất cả OK thì ta đi đến kết luận $k=0$




#589828 $a_{n+3}=\frac{a_{n+2}.a_{n+1}+2...

Đã gửi bởi phatthemkem on 19-09-2015 - 20:53 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $(a_n)$ thoả mãn $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=2$, $a_{n+3}=\frac{a_{n+2}.a_{n+1}+2}{a_n}$. Cmr $a_n$ nguyên với mọi $n$ nguyên

$a_4=\frac{a_3a_2+2}{a_1}=\frac{2.1+2}{1}=4\\ a_5=\frac{a_4a_3+2}{a_2}=\frac{4.2+2}{1}=10\\ a_6=\frac{a_5a_4+2}{a_3}=\frac{10.4+2}{2}=21\\ a_7=\frac{a_6a_5+2}{a_4}=\frac{21.10+2}{4}=53\\ a_8=\frac{a_7a_6+2}{a_5}=\frac{53.21+2}{10}=\frac{223}{2}\notin \mathbb{N}$




#589823 $\left\{\begin{matrix} x_1=1,x_2=2013...

Đã gửi bởi phatthemkem on 19-09-2015 - 20:35 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $\left \{ x_n \right \}$ xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} x_1=1,x_2=2013\\ x_{n+2}=4026x_{n+1}-x_n,n=1,2,... \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $\frac{x_{2014}+1}{2014}$ là số chính phương.




#589822 Tìm Min $A = (x + \frac{1}{y})^2 + (y + \f...

Đã gửi bởi phatthemkem on 19-09-2015 - 20:26 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x^2 + y^2 = 4 (x;y > 0)$

Tìm Min $A = (x + \frac{1}{y})^2 + (y + \frac{1}{x})^2$

 Ta có: $A=\left ( \frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2} \right )+\left ( \frac{y^2}{4}+\frac{1}{y^2} \right )+\frac{3}{4}\left ( x^2+y^2 \right )+2\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{4}.\frac{1}{x^2}}+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.\frac{1}{y^2}}+\frac{3}{4}.4+2.2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=9$

Vậy $A_{\min}=9\Leftrightarrow x=y=\sqrt{2}$.




#589336 $\sum \frac{a+1}{a+c+1}\geq 2$

Đã gửi bởi phatthemkem on 16-09-2015 - 19:08 trong Bất đẳng thức - Cực trị

CMR:

$\sum \frac{a+1}{a+c+1}\geq 2$

Biết $ab+bc+ca=2abc$

BĐT sai với $a=b=-4,c= \frac{2}{5}$

Có lẽ bạn nên xem thử điều kiện của $a,b,c$