Cho mình hỏi chỗ này là 4 hay là 1

Chỗ đó là 4

Giải hệ PT(Trích đề thi HSG Nghệ An 2014)

$\left\{\begin{matrix}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1 \\ 27x^6=x^3-8y+2 \end{matrix} \right.$

Giải phương trình:$ x^3-3x^2+3x-7=\sqrt[3]{x+1}$

giải các hệ phương trình sau

B1,

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+z)^{2}=(3x^{2}+x+1)y^{2}z^{2}\\ y^{2}(z+x)^{2}=(4y^{2}+y+1)z^{2}x^{2} \\ z^{2}(x+y)^{2}=(5z^{2}+z+1)x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

B2,

$\left\{\begin{matrix} 2x+x^{2}y=y\\ 2y+y^{2}z=z \\ 2z+z^{2}x=x \end{matrix}\right.$

B2)

Nhận thấy hệ không có các nghiệm $(\pm1,y,z); (x,\pm1,z);(x,y,\pm1)$ 

Với $x,y,z \neq \pm 1$, viết lại hệ dưới dạng:

$\left\{\begin{matrix} y= \frac{2x}{1-x^2} \\ z= \frac{2y}{1-y^2} \\ x=\frac{2z}{1-z^2} \end{matrix} \right.$

Với điều kiện đó đặt $x=\tan \alpha \: (1), \alpha \in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , với $\tan \alpha, \tan 2\alpha, \tan 4\alpha \neq \pm1$

Với $x=\tan \alpha \Rightarrow y= \dfrac{2 \tan \alpha}{1- \tan^2 \alpha}= \tan 2\alpha$

Với $y= \tan 2\alpha \Rightarrow z= \dfrac{2 \tan 2\alpha}{1- \tan^2 2\alpha}= \tan 4\alpha$ 

Với $z=\tan 4\alpha \Rightarrow x= \dfrac{2 \tan 4\alpha}{1- \tan^2 4\alpha}= \tan 8\alpha    (2)$

Từ (1) và (2) $\rightarrow \tan \alpha =\tan 8\alpha \Leftrightarrow \alpha= k \frac{\pi}{7}, k \in \mathbb{Z}$

Vì $\alpha \in (\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} ) \Rightarrow \frac{-\pi}{2} <k \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ 

mà $k \in \mathbb{Z} \rightarrow k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$

Nên: $x=\tan k\frac{\pi}{7} ; y= \tan k \frac{2\pi}{7} ; z= \tan k \frac{4\pi}{7} $

với $ k=\{ 0;\pm1;\pm2;\pm3 \}$   $\square$ 

$tan^{2}x.cot^{2}2x.cot3x= tan^{2}x-cot^{2}2x+cot3x$

bạn có thể làm chi tiết hơn được không!mình chưa hiểu lắm nak !hj

Mình làm cách khác nhá:    

Pt $\Leftrightarrow \cot 3x (\tan^2 x\cot^2 2x-1)=tan^2 x- cot^2 2x$

     $\Leftrightarrow \cot 3x(\tan x \cot 2x-1)(\tan x \cot 2x+ 1)=(\tan x-\cot 2x)(\tan x+ \cot 2x)$

Suy ra(nhớ kiểm tra điều kiện):

    $\cot 3x= \frac{\tan x - \cot 2x}{\tan x \cot 2x+1}.\frac{\tan x +\cot 2x}{\tan x \cot2x-1}$

Mà:

+) $\dfrac{\tan x - \cot 2x}{\tan x \cot 2x+ 1} $

       $=\frac{\tan x \tan 2x-1}{\tan x+\tan 2x}=\cot 3x $

+)  $\dfrac{\tan x +\cot 2x}{\tan x  \cot 2x- 1} $

     $=\frac{\tan x \tan 2x+1}{\tan x- \tan 2x}= \cot(-x)=-\cot x $

Nên: PT viết lại thành: $\cot 3x= -\cot 3x \cot x$

Đến đây dễ rồi   

$2sinx(1+2{cos}^{2}x)-2cos4x=2{sin}^{3}x-\sqrt{3}cos3x$

Mình nghĩ đề nó phải thế này:

$2\sin x(1+2\cos^2 x)-2\cos 4x =4 \sin^3 x - \sqrt{3} \cos 3x$

$sin3x+cos3x-2\sqrt{2}cos(x+\frac{\prod }{4})+1=0$

 

Giải

Phương trình trên tương đương:
$- \sqrt{2}\cos{\left ( 3x + \dfrac{3\pi}{4}\right )} - 2\sqrt{2}\cos{\left (x + \dfrac{\pi}{4}\right )} + 1 = 0$

Đặt $\cos{\left (x + \dfrac{\pi}{4}\right )} = t (-1 \leq t \leq 1)$, ta được:
$- \sqrt{2}(4t^3 - 3t) - 2\sqrt{2}t + 1 = 0 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{2}t^3 - \sqrt{2}t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}t - 1)(4t^2 + 2\sqrt{2}t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Đoạn còn lại bạn tự giải nhé.

 

$\sin 3x+\cos 3x-2\sqrt{2} \cos (x+\frac{\pi}{4})+1=0$

$\Leftrightarrow 4\cos^3 x-3 \cos x+3 \sin x-4 \sin^3 x -2 \cos x+2\sin x +1 =0$

$\Leftrightarrow 4(\cos x-\sin x)(1+\cos x \sin x)-5(\cos x -\sin x)+1=0$

Đặt $u=\cos x -\sin x$ , $v=\sin x \cos x$ ta được hê:

$\left\{\begin{matrix}4u(1+v)-5u+1=0 \\ u^2=1-2v \end{matrix} \right.$

Bạn tự giải tiếp...........................................

Thôi vẽ hình ra giấy vậy (tại e ngu k biết vẽ ).Kẻ BH vuông với CD thì ABHD là hình vuông 

Có $\triangle CBH=\triangle MBA$(cạnh góc vuông  -góc nhọn)

$\Rightarrow CB=MB$$\Rightarrow \triangle MBN=\triangle CBN$(cgc)

$\Rightarrow$ 2 đương cao hạ từ B bằng nhau $\Rightarrow$BH=d(B;MN)=...

Có BH từ đó "tính được BD;   gọi D 1ẩn là ok........

Hình đây bạn

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+z=a \\ z-x=b \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình tương đương :

$\left\{\begin{matrix} by=4 \\ a^{2}+b^{2}=2(x^{2}+z^{2})=2 \\ y^{2}+2ay=6 \end{matrix}\right.$

Rút y theo b rồi giải hệ phương trình 2 ẩn a và b....

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+z=a \\ z-x=b \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình tương đương :

$\left\{\begin{matrix} by=4 \\ a^{2}+b^{2}=2(x^{2}+z^{2})=2 \\ y^{2}+2ay=6 \end{matrix}\right.$

Rút y theo b rồi giải hệ phương trình 2 ẩn a và b

Cách khác...!!!!

Ta có : $y(z-x)= z(2x+y)+(-x)(2z+y)$

Sử dụng BĐT C-B cho hai cặp số  $(z,(-x))$ và $ (2x+y, 2z+y)$ ta có:

$((z^2+(-x)^2)((2x+y)^2+(2z+y)^2) \geqslant [z(2x+y)+(-x)(2z+y)]^2=[y(z-x)^]2$

Mà $x^2+z^2=1$ và $(2x+y)^2+(2z+y)^2=2y^2+4y(x+z)+4(x^2+z^2)=16$

khi đó $[y(z-x]^2 \leqslant 16 $suy ra $y(z-x) \leqslant 4$

Đến đây xét dấu bằng

Đây là file PDF...    untitled-2.pdf   184.59K   2939 Số lần tải

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} y(z-x)=4 \\ x^2+z^2=1 \\ y^2+2y(x+y)=6 \end{matrix} \right.$

Giải hệ $$\begin{cases}
8x^2+18y^2+36xy-5(2x+3y)\sqrt{6xy}=0\\2x^2+3y^2=30
\end{cases}$$

Đặt $t=\frac{x}{y}$, phương trình 1 tương đương với

                  $8t^2+18+36t-5(2t+3)\sqrt{6t}=0$

     $\Rightarrow (8t^2+18+36t)^2=150t(2t+3)^2$

     $\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3y}{2}$

Thay vào phương trình 2 ta được $2(\frac{3y}{2})^2+3y^2=30\Leftrightarrow y\pm 2\Rightarrow x=\pm 3$

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $(x,y)=(3,2)=(-3,-2)$

PT thứ nhất của hệ tương đương với:

$2(2x+3y)^2+2.6xy-5(2x+3y)\sqrt{6xy}=0$

Đặt $2x+3y= u$ , $\sqrt{6xy}=v$, ta được phương trình đẳng cấp bậc hai:

$2u^2+2v^2-5uv=0$

Đến đây bạn tự giải tiếp...

Cho các số $a,b,c$ thỏa mãn  $9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0$.Tìm GTNN của biểu thức:

      $P=\sum{\frac{a^2}{b+2c}}$

đặt $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^{2}}}=a (a\geqslant 1)$

$\sqrt{1-\sqrt{2x-x^{2}}}=b (b\geq 0)$

ta có hpt đxứng loại 1 $a+b=2a^{4}b^{4}(2a^{2}b^{2}-1)$ (vì $ab=\sqrt{1-2x+x^{2}}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}=(x-1)^{2})$

                             và $a^{2}+b^{2}=2$

tới đây là hệ pt cơ bản rồi!!

 

p/s: quản trị viên ơi!! sao khôg kẻ đc dấu hệ pt vậy ạ ???

Đến đây vẫn chưa xong đâu bạn à..Số mũ rất lớn

Giải phương trình $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$

Tìm $m$ để phương trình có nghiệm:

$(4m-3)\sqrt{x+3}+(3m-4)\sqrt{1-x} + m-1=0 $

Cho $a,b,c \geqslant 0$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{1}{a} +b+c \geqslant 3(\frac{b}{2+ab}+\frac{bc}{c+2b}+\frac{c}{1+2ac})$

b) $\frac{a}{1+ab}+\frac{4}{a+2c} \geqslant \frac{8a}{1+ab+ac}$

$LHS = \sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(y+z)}{\prod (x+y)} =\frac{2(xy+yz+zx)}{\prod (x+y)}=\frac{2(xy+yz+zx)(x+y+z)}{\prod (x+y)}\le \frac{9}{4}$

ngược dấu bdt nhé

Xin lỗi bạn mình nhầm

Đóng góp một cách khác:

Từ giả thiết ta có: $\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$

Đặt  $\sqrt{\frac{xy}{z}}= tan\frac{A}{2}$  $\sqrt{\frac{xz}{y}}=tan\frac{B}{2}$  $\sqrt{\frac{yz}{x}}=tan\frac{C}{2}$  , $A,B,C \in(0,\pi)$

ta được $\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}}=1 $

Từ trên dễ dàng suy ra $A+B+C=\pi$

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} =\frac{1}{1+tan^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{B}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{C}{2}}$

$=cos^2\frac{A}{2}+cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2}$

$=\frac{3+cosA+cosB+cosC}{2}$

Mặt khác ta đã có BĐT

$cosA+cosB+cosC \leqslant \frac{3}{2}$(Chứng minh bằng 12 cách)

từ đó suy ra ĐPCM

Cho $x+y+z=1$Chứng minh BĐT $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} \leqslant \frac{9}{4}$

pt đã cho tương đương với $4cos^3t-3cost+2sint-1=0 \Leftrightarrow cost(1-4sin^2t)+2cost-1$

 

Đoạn này sao vậy bạn

Giải phương trình $cos3t+2sint-1=0$