Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm chính giữa cung CD không chứa hai điểm A và B. Tia AP cắt đường thẳng BC tại E, tia BP cắt đường thẳng AD tại F.

Chứng minh $\frac{EF}{BA}+\frac{BA}{EF}+\frac{AF}{BE}+\frac{BE}{AF}\leq \frac{PE}{PA}+\frac{PA}{PE}+\frac{PF}{PB}+\frac{PB}{PF}$

Trong một hỉnh tròn bán kính 46cm người ta đặt 2024 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1cm mà không chứa điểm nào trong 2024 điểm đã cho.

Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{\left ( a+b \right )^{2}+4a}{ab}$ là số tự nhiên. Chứng minh nếu b là số lẻ thì a là số chính phương.

Trong một hỉnh tròn bán kính 46cm người ta đặt 2024 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1cm mà không chứa điểm nào trong 2024 điểm đã cho.

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

$\begin{cases} x^{3}-6x^{2}+13x-10-\left ( x-y+2 \right )\sqrt{x-y+1}=0 \\ \left ( 3x^{2}+18x-2xy-y^{2}+6y \right )\sqrt{x-y+6}-24x-8y=0 \end{cases}$

Cho các sổ thực x, y, z, t thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=1$ . Tìm giả trị lớn nhất của biểu thức

$M=xy+xz+xt+yz+yt+3zt$

Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thoả măn điều kiện x + 9y + 6z = 2023. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức: $P=\sqrt{3x^{2}+63xy+243y^{2}}+\sqrt{243y^{2}+378yz+108z^{2}}+\sqrt{108z^{2}+42zx+3x^{2}}$

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt BC tại K, kẻ tiếp tuyến KD. Gọi E, F, M lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC và BC

a) Chứng minh KA.KD = KB.KC và DB.DF = DC.DE

b) Chứng minh M là trung điểm của EF

$x^{2}+2023x-2024=\left | x \right |+\left | x+1 \right |+\left | x+2 \right |+....+\left | x+2023 \right |$

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) (M khác A, M khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để AH + MH đạt giá trị lớn nhất.

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=4xyz.

Chứng minh: $\frac{x}{z\sqrt{4x^{2}+1}}+\frac{y}{x\sqrt{4y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{4z^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $y\sqrt{x^{2}+1}+x\sqrt{y^{2}+1}=2\sqrt{2}$.

a) Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+x+y$

b) Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}-x-y$

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: $y\sqrt{x^{2}+1} + x\sqrt{y^{2}+1} = 2\sqrt{2}$

a) Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+x+y$

b) Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}-x-y$

Mình xin hỏi, anh chị nào biết cách gõ công thức toán trong ứng dụng PLICKERS chỉ giúp mình với. Xin cảm ơn.

Mình xin hỏi, anh chị nào biết cách gõ công thức toán trong ứng dụng PLICKERS chỉ giúp mình với. Xin cảm ơn.

Giải hệ phương trình:

\[\left\{\begin{matrix}x^{3}-6xy-y^{3}=8\\\sqrt{2x+y+3}+\sqrt{5x-y+3}=-x^{2}-y+5\end{matrix}\right.\]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$x^{4}-x^{2}+2x^{2}y-2xy+2y^{2}-2y-36=0$

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{BAD}=60^{0}, \widehat{BCD}=120^{0}$. tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt BD tại E. Tia phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{AE}+\frac{1}{CF}$

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{BAD}=60^{0}, \widehat{BCD}=120^{0}$. tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt BD tại E. Tia phân giác của $\widehat{BCD}$ cắt BD tại F. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CD}+\frac{1}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{AE}+\frac{1}{CF}$

$\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right )-15\left ( 2x-1 \right )^{2}=0$