Cho đường tròn (O). A là 1 điểm nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC. Nối B với C. Kẻ 2 cát tuyển là AEFG(F thuộc BC, E,G thuộc (O)) và ADHI(giống với trên)

Giả sử EC giao với DB= M

EI giao với GD=N, BI giao với GC =P,EH giao với FD bằng Q, FI giao với GH =R.

Chứng minh M,N,P,Q,R thẳng hàng

mình xin giải câu 3 lớp 10:

Xét hàm f:$f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x$

Xét x=0 ta có $f(f(0))=0$

Chọn x=f(0) ta có $f(0)=(f(0))^{3}+\frac{3}{4}f(0)\Leftrightarrow$ f(0)=0 hoặc f(0)=1/2 hoặc f(0)=-1/2

Tiếp tục chọn x=1/2 và x=f(1/2) ta lại có f(1/2)=0 hoặc f(1/2)= 1/2 bằng f(1/2)=-1/2

chọn x=-1/2 và x=f(-1/2) ta lại có f(-1/2)=0 hoặc f(-1/2)= 1/2 bằng f(-1/2)=-1/2

Xét nếu f(0)=0 thì nếu f(1/2)=0 suy ra f(f(1/2))=1/2 suy ra f(0)=1/2 suy ra vô lí

lí luận tương tự ta có f(0) và f(1/2) và f(-1/2) sẽ nhận các giá trị khác nhau là 0; 1/2; -1/2

Vậy tồn tại ba số f(a), f(b), f(c) sao cho thỏa mãn đề bài

Mình nghĩ là không có đường thẳng nào như vậy(không chắc là không có đâu)

Thật vậy xét đường tròn $x^{2}+y^{2}=9\Leftrightarrow R=3$

Ta có GS A là một điểm trên đường thẳng đã cho

Ta có AB, AC lần lượt là hai tiếp tuyến

Ta có $\angle BAC=45^{\circ}\Leftrightarrow \angle BAO=22,5^{\circ}\Leftrightarrow AO=R/(sin22,5^{\circ})$ luôn luôn xác định

Vậy A chạy trên đường tròn tâm O bk $\frac{3}{sin22,5^{\circ}}$

Mặt khác một đường tròn chỉ cắt đường thẳng tại 2 điểm

Vậy không tồn tại 4 điểm nói trên

Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.

Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).

$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$

(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)

Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy

Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không

$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.

Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :

$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$

$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$

Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$

$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)

$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.

(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)

Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu

Mình chỉ có thể chỉ ra một dãy thôi không biết có được điểm không

Mà nếu viết hết các dãy ra thì nhiều quá

cái này chỉ chứng minh được có vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn thôi bạn

có mà bạn

cuối cùng mình suy ra được xk! chia hết cho xk^2+1

Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)

Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)

Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1

Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$

$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$

Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$

Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$

Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

bài đa thức chém tí nào 

ta xét vì đa thức f(x) có hệ số nguyên suy ra $f(a)-f(b)\vdots a-b$ 

Chọn a=12; b=0 ta có $f(12)-f(0)\vdots 12$

Mà f(x) chỉ thuộc 0;1;...;11 suy ra f(12)=f(0)

Chọn a=5; b=12 ta có f(5)-f(12) chia hết cho 6 và f(5)-f(0) chia hết cho 5 suy ra f(5) trừ f(12) chia hết cho 30 lập luận tương tự như trên ta có f(5)=f(12)=f(0)

Chọn tương tự như trên với các số còn lại ta có điều phải cm

Spam tí: có mỗi bài này mình làm được mà chả biết có đúng hay không

Bài 1. Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}=\sqrt{y+8}\\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+8}=\sqrt{x+8} \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}_{+}$ là tập tất cả các số thực dương. Tìm tất cả hàm $f \, : \, \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ thỏa mãn :

$$f(xf(y))=\frac{f(x)+f(y)}{x^3+y^3}.y^{12}\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}_{+}$$

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$. $\widehat{BAC}>45^{o}$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Dựng ra ngoài tam giác $ABC$ các hình vuông $ABKL$, $ACMN$. Các đường thẳng $AN,AL$ theo thứ tự cắt $CM,BK$ tại $E,F$. Gọi $P$ là giao điểm thuộc tam giác $ABC$ của các đường tròn $(LME)$, $(NFK)$. Chứng minh rằng :

 1. $E,F,O,P$ thẳng hàng.

 2. $B,C,O,P$ thuộc cùng 1 đường tròn.

 

Bài 4. Cho $n$ là 1 số nguyên dương $\geq 7$. Tìm số các số nguyên $k$ thỏa mãn :

 1. $k\in \{0;1;2;.....;2^{n}-1\}$

 2. $2013^{47^{k}}\equiv 29 \pmod{2^{n}}$

Chỗ hệ phương trình là cộng 7 anh ơi

mà mình làm được mỗi bài hệ phương trình ý(mà hình như ai cũng làm được )

CHém luôn cho nó nóng

Xét $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}{}=\sqrt{y+8} & \\ \sqrt{y}+\sqrt[3]{y+7}=\sqrt{x+8}{}& \end{matrix}\right.$

Trừ hai vế của phương trình cho nhau ta có $\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[3]{y+7}=\sqrt{y+8}-\sqrt{x+8}\Rightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x-y}{(\sqrt[3]{x+7})^{2}+\sqrt[3]{x+7}.\sqrt[3]{y+7}+(\sqrt[3]{y+7})^{2}}+\frac{x-y}{\sqrt{x+8}+\sqrt{y+8}}=0$

Vì dưới mẫu lớn hơn không suy ra x=y

Khi đó thế vào một trong hai phương trình đầu ta có $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt{x+8}\Leftrightarrow \sqrt{x+8}-\sqrt{x}= \sqrt[3]{x+7}\Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}=\sqrt[3]{x+7}$

Nếu x>1 suy ra vế trái nhỏ hơn 2 vế phải lớn hơn hai suy ra loại

Nếu 0<x<1 suy ra vế phải lớn hơn 2 vế trái nhỏ hơn 2 suy ra loại

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=y=1

Help me!!!

Tìm số hạng thứ n của dãy

a) $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{7},\frac{1}{25},....$

b) $\frac{1}{15},\frac{1}{48},\frac{1}{105},\frac{1}{192},....$

3.5=15, 3.5.7=105; 6.8=48,4.6.8= 192

Từ đó mà suy ra

Cho a,b,c,d thuộc [0;1]. Tìm max a+ b+ c+ d -(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=\frac{x+23}{6}$

bài này dễ mà bạn

xét$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}=\frac{x+23}{6}\Leftrightarrow \sqrt{x-9+6\sqrt{x-9}+9}+\sqrt{x-9-6\sqrt{x-9}+9}=\frac{x+23}{6}\Leftrightarrow \left | \sqrt{x-9}+3 \right |+\left | \sqrt{x-9}-3 \right |=\frac{x+23}{6}$

đến đây làm tiếp được rồi

Cho $n>3.$ Chứng minh rằng : Nếu $2^n=10a+b\left ( 0< b< 9 \right )$  thì $ab\vdots 6$. với $a,b$ nguyên dương

bài này trong quyển các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

1.45

Cho 2 sợi dây A,B mỗi sợi cháy trong 1 tiếng. Hỏi làm cách nào có thể đo được 45 phút mà không gấp sợi dây thành các phần 

1.Cho tam giác ABC. X,Y,Z lần lượt thuộc [BC],[CA],[AB] sao cho

AX=BY=CZ

BY=CX=AZ

CM tam giác ABC đều

2.Cho tam giác ABC.

CM$\frac{\prod m_{a}}{\sum m_{a}^{2}}\geq r$

3.Tam giác ABC, M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB

Qua A,B,C kẻ đường thẳng song song với NP,PM,NM. Chúng cắt nhau tại X,Y,Z(X,Y,Z khác phía đối với A,B,C). CM $\frac{AZ}{AY}=\frac{MB}{MC}$

(dùng hệ thức lượng hoặc tích vô hướng nha)

bước này em nghĩ nếu chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{k}$ rồi sau đó lại xét x=0 ????

Lời giải:$3^{k}.x^{3k}.Q(x).Q(3x^{2})+x^{k}.Q(x)+3^{k}.x^{2k}.Q(3x^{2})=x^{2k}(3x^{2}+1).Q(3x^{3}+x^{2})$

$\Leftrightarrow 3^{k}.x^{2k}Q(x)Q(3x^{2})+Q(x)+3^{k}.x^{k}.Q(3x^{2})=x^{k}(3x^{2}+1)Q\left ( 3x^{3}+x^{2} \right )$

 

bước này tại sao chia cả 2 vế của phương trình cho $x^{k}$ rồi sau đó lại xét x=0 ????

giải hệ x^2+y^2+xy=3

           x^3+2y^3=y+2x

$x^{2}+y^{2}+xy=3$         (1)

$x^{3}+2y^{3}=y+2x$       (2)

Nhân (2) với 3 rồi thế 3 bằng  (1) vào phương trình vừa mới nhận được ta sẽ nhận được 1 hệ phương trình đẳng cấp

đưa vế 1 ẩn rồi giải nốt

Mình đã gán $D=1$; chứ có cho nó bằng $0$ đâu @@!? 

Còn nếu gán $D=0$ thì tất nhiên công thức phải khác đâu thể như bài mình được !! 

uk mình nhầm

Bài giải.

$1\rightarrow D$

$\sqrt[15]{15}\rightarrow A$

$D=D+1:A=\sqrt[16-D]{16-D+A}$

$= = =...$

Cho tới $D=14$ là ngừng. 

hình như công thức của bạn bị nhầm

VD gán D=0 suy ra D+1=1, khi đó ta cóA=$\sqrt[15]{15+A}=\sqrt[15]{15+\sqrt[15]{15}}$??????????????

Bài này gợi ý hướng giải :  

 

Ta thấy $x_{12}=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2}$.

 

Sau đó tìm số hạng tổng quát của $S_n$  ( dùng PT sai phân ).

 

Hai cái giống nhau => ĐPCM

Cho tam thức $x^{2}+3x-8=0$ có hai nghiệm là $x_{1} ; x_{2}$

và $S_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$

CMR $S_{n+1}=-3S_{n}+8S_{n-1}$

hơi nhầm đề 1 tý

giải giúp mình bài này nhé

$x^3+y^2=(x-y)(xy-1)$

$x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1)$

Ta có:$x^{3}+y^{2}=x^{2}y-x-xy^{2}+y$                           (1)

$x^{3}-x^{2}+y+1=x^{2}y-xy^{2}+xy$                                (2)

Lấy (1) -(2) sau đó tính delta

theo mình nghĩ là như vậy

Cách khác:

Bình phương 2 vế(vì 2 vế lớn hơn 0):

$a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\leq a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+4a^{3}b+4ab^{3}-8a^{2}b^{2}\Leftrightarrow \Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+4ab(a-b)^{2}\geq 0$

luôn đúng

vậy điều phải chứng minh

Bài của bạn đã bị ngược dấu ở phần biến đổi thứ 2 trái sang phải khi bạn dùng Schwarz 

uk

thanks bạn nha