Với a là các số thực dương, chứng minh rằng 

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....}}}\leq \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

cho tam giác ABC nhọn và một điểm M nằm trong tam giác sao cho Mb-MC=AB-AC.

tìm quỹ tích điểm M

cho tam giác ABC nhọn và một điểm M nằm trong tam giác. TÌm quỹ tích các điểm M thoả mãn $\frac{MC}{MB}=AB-AC$

Cho $a,b$ là các số hữu tỷ sao cho

$a^3b+b^3a+2a^2.b^2+2a+2b+1=0$.

chứng minh rằng $1-ab$ là bình phương của một số hữu tỷ.

đặt rồi sao nữa

đặt rồi làm chứ sao

thay vào làm thế nào xuất hiện pt (1) , mình chưa hiểu cách làm

chưa hiểu thì sau khi làm sẽ hiểu keh

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=4xy\\ (2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)} \end{matrix}\right.$

đừng đặt ẩn phụ, đặt $(2x+3)\sqrt{4x-1}=a$, $(2y+3)\sqrt{4y-1}=b$ là đc

giải phương trình nghiệm nguyên $54x^3+1=y^3$

A0170.jpg

K pjk ai đây nhỉ.

tưởng gì chứ cái này chưa có gì là độc đáo 

ta có: $4xy\leq(x+y)^2 \leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0 \leftrightarrow  x=y$

từ đó suy ra $2\leq (x+y)^3+4xy\leq (x+y)^3+(x+y)^2$

từ đó tương đương với $(x+y)^3+(x+y)^2\geq 2\Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq 0$

mà $((x+y)^2+2(x+y)+2)\geq0$ với mọi x,y nên suy ra $x+y-1\geq 0 \leftrightarrow x+y\geq 1$ (1)

lại có $A=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1=2((x^2+y^2)^2+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}-3x^2y^2-2(x^2+y^2)$ ???

hay $ A\geq 2(x^2+y^2)-2(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2-3(\frac{x^2+y^2}{2})^2+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.(x^2+y^2)^2+\frac{1}{2}$

mà $x^2+y^2\geq 2xy \leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\geq 1^2=1$

từ đó suy ra $ A\geq 0+ \frac{1}{16}+\frac{1}{2}=\frac{9}{16}$

vậy $min A=\frac{9}{16}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Phần màu đỏ không rõ ràng .

 

Không chấm.

em có thử lại đoạn màu đỏ này  vẫn dịch bình thường trên latex mà sao ko dịch đc trên này nhỉ, mong BTC xem lại hộ

Đặt $a=\frac{2x}{y+z},b=\frac{2y}{z+x},c=\frac{2z}{x+y}$

BDT cần chứng minh tương đưng với: $\sum \frac{x}{y+z}\geq 2\left [ \sum \frac{xy}{(x+z)(y+z)} \right ]$

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq \sum xy(x+y)$

Theo BDT Schur => đúng => đpcm

chỗ này chưa rõ lắm với lại tại sao từ điều kiện trên lại có thể đặt a,b,c như thế ?

cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a+b+c+abc=4$

chứng minh rằng $a+b+c\geq ab+bc+ac$

1/ a. Đề đúng phải là : $$A=\frac{1^2}{1.3}+\frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{1006^2}{2011.2013}$$
$$A=\frac{1^2}{1.3}+\frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{1006^2}{2011.2013}\Rightarrow 4A=\frac{4.1^2}{1.3}+\frac{4.2^2}{3.5}+\frac{4.3^2}{5.7}+...+\frac{4.1006^2}{2011.2013}\Rightarrow 4A=1006+\frac{1}{2}\left [ 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013} \right ]\Rightarrow A=\dfrac{1006+\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{2013})}{4}=251,6249$$

P/s :Bài dãy số là bài 3 mà !!

Mình sai mất câu tính diện tích mặt trong và ngoài nên được nhì, thiếu 0,75 nữa nhất r @@ Bạn được giải gì ? Mình cũng thi mà ở khu vực KonTum!! Chắc bạn thi ở Tuyên Quang ???

mình thì chán lắm toàn nhầm những cái chỉ việc thay số rồi tính mà cũng bấm sai

Đề thi học sinh giỏi casio khu vực phía bắc năm 2013-2014 

bài 1: a) 

 tính tổng sau $\frac{1^2}{1.3}+\frac{2^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+...+\frac{1006^2}{2011.2013}+\frac{1007^2}{2013.2014}$

b)  

cho đa thức $f(x)=6x^4-7x^3-12x^2+ax+2$ và đã thức $p(x)=x^2+bx-2$

tìm a,b để đa thức F(x) chia hết cho đa thức p(x)

với a tìm đc hãy tìm nghiệm của đa thức F(x)

bài 2)

cho $u_{1}=u_{2}=1$, và $U_{3}=2$

&u_{n+3}=U_{n+2}-\frac{2}{3}.U_{n+1}+\frac{1}{2}.U_{n}$

lập quy trình ấn phím tính $U_{n}$ và tính $U_{15}$;$U_{20}$;$U_{25}$.

bài 3)

a) cho tam giác ABC đều. trên BC và  AC lấy M và N sao cho BM=CN. tìm vị trí của MN sao cho MN min, biết $AB=\sqrt[20132014}$.

b) không có hình nên khó hiểu, không đăng đc

bài 4:

cho tam giác ABC vuông ở A. đường cao AH. D,E là hình chiếu của H trên AB và AC. M và N là trung điểm của BH và CH. a) tính độ dài MN.

b) tính diện tích tứ giác MDNE. 

c) tính chu vi tam giác ABC.               d)tính diện tích tam giác ABC 

e) tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

bài 5

đã có ở đâyrồi 

$u_{1}$ bằng bao nhiêu đấy bạn?

xin lỗi đề thiếu: cho $U_{0}=2$;$U_{1}=6+\sqrt{33}$

cho $U_{n}$ sao cho $U_{n}-3u_{n-1}=\sqrt{8n^2-1}$ với n là số tự nhiên

tìm công thức tổng quát của $U_{n}$

$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}-c^{3}= 3ab (1) & & \\ a^{2}= 2(b+c)) & & \end{matrix}\right.$

ta có $a^3-b^3-c^3=3ab \Leftrightarrow a^3-a^2((b+c)^2-3bc)=3ab\Leftrightarrow a^3-a^4+3a^2bc=3ab$

tới đây dễ dàng phân tích thành nhân tử tiếp từ đó suy  ra kết quả 

cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=4x^2+8x \end{matrix}\right.$

giải hệ trên

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2ac+bd+cd$, với a,b,c,d là các số thực thoả mãn $4a^2+b^2=2$;và $c+d$=4

p/s: giải càng nhiều cách càng  tốt

1)tìm hình vuông có độ dài các cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên  gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị hàng trăm và hàng nghìn giống nhau

2) cho $a_{1}=1005$, $a_{n+1}=(1+\frac{3}{2n+2})a_{n}$ với n là số tự nhiên. và $n \leq 2009$

cmr $\sum_{1}^{2010}a_{n}<2010$

đặt ${H_{n}}=\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2*....\sqrt{2}}}}$

với n dấu căn, dấu * thay bằng 1 trong hai dấu $+$  hoặc $-$

ta có $h_{1}={\sqrt{2}}$, $h_{2}={\sqrt{2+\sqrt{2}};\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

hỏi $h_{n}$ có bao nhiêu phần tử

vậy bạn có cách giải nào có thể tìm được đủ các nghiệm của pt ko

hoặc là đề hỏi thiếu

đây là cái khó của bài toán @@

sao lại ko lặp được

khi lặp đến x= 32 ta tìm được giá trị của y = 5

Thay x = 32 vào pt đã cho tìm đc giá trị còn lại của y = 4603

nếu lặp tới trên 32 mà có giá trị nữa thì sao

p/s: 298 $rightarrow$ 300

gt =>$72x-y=\pm \sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$

$\Leftrightarrow y=72\pm \sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$ => $x\geq 10$

$\Rightarrow y=72x-\sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$

Nhập vào máy:

10 ---> A

A = A + 1:B = $72A-\sqrt{\frac{3A^{5}-240677}{19}}$. Lặp phím "=" 

Suy ra x = 32 ; y = 5 hoặc y = 4603

lặp tới khi nào? 

cũng có thể, nhưng dùng gì thì cũng có lời giải tử tế, mà số to chắc phải dùng máy tính nhưng vẫn ko có cách giải cụ thể