Cám ơn mấy bạn nhiều! Không biết trong diễn đàn có box nào về chuyên đề ứng dụng của đạo hàm hay không?!?

1) cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}$

2) giả sử x,y là 2 số dương thay đổi thoả mãn điều kiện $x+y=54$. tìm GTNN của biểu thức $S=4x+14y$

3) cho x,y,z thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. tìm GTLN, GTNN của $R=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xy$

4) cho x,y z thuộc khoảng (0,1) và thoả mãn$ xyz=(x-1)(y-1)(z-1)$. tìm GTNN của biểu thức$ N=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

5)cho x,y,z>0 và$x+y+z\leq \frac{3}{2}$ . tìm GTNN của $M=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
6)cho x,y khác 0. tìm GTNN của biểu thức $T=\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

@MOD : Học cách đặt tiêu đề đúng quy định tại đây

Có ai biết các bài toán về định lí ceva trong không gian ( có bài giải càng tốt ) xin up giùm
Đang làm báo cáo chuyên đề mà kiếm trên mạng và cả trong sách cũng không thấy nữa  TT.TT

Mai nộp rồi ai biết thì giúp giùm nha. Cám ơn!

 

Ta có $cos^2 2x-2cos(x+\frac{3\pi }{4})sin(3x-\frac{\pi }{4})=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x-2(cosxcos\frac{3\pi }{4}-sinxsin\frac{3\pi }{4}) (sin3xcos\frac{\pi }{4}-cos3xsin\frac{\pi }{4})=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x+(cosx+sinx)(sin3x-cos3x)=2$
$\Leftrightarrow cos^2 2x+(sin2x+1)(2sin2x-1)=2$
$\Leftrightarrow sin^2 2x+sin2x-2=0$
$\Leftrightarrow sin2x=1=sin\frac{\pi }{2}(n)$ hoặc $sin2x=-2(l)$
Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi $
hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi $

Cho $3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{9^x}{3^{x}+3^{y+z}}+\frac{9^y}{3^{y}+3^{z+x}}+\frac{9^z}{3^{z}+3^{x+y}}\geq \frac{3^x+3^y+3^z}{4}$

PS: Mod ơi sửa giúp em cái tiêu đề. Tự nhiên nó bị lỗi. Tks mod

Ta có $\frac{1}{2}\sqrt{16\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 9+7 \right )\left ( 1+\frac{7}{x^{2}} \right )}\geq \frac{1}{2}\left | 3+\frac{7}{x} \right |\geq \frac{3}{2}+\frac{7}{2x}$
Do đó
$y\geq x+\frac{9}{x}+\frac{3}{2}\geq \frac{15}{2}$

Bài này bạn sử dụng 2 bđt là B.C.S và AM-GM nhưng chưa đưa nêu đẳng thức xảy ra khi nào.
Bài này 2 bđt của bạn đẳng thức xảy ra đều là x=3 . Nếu đẳng thức xảy ra không trùng nhau thì bạn sẽ làm thế nào?
PS: có tí góp ý cho bạn là những bài toán bđt và cực trị thì điều kiện đẳng thức xảy ra chiếm 1 nửa số điểm đấy

Tìm $GTNN$ của hàm số $y=x+\frac{11}{2x}+\sqrt{4(1+\frac{7}{x^2})}$ , $(x>0)$.

Bài này là giải pt hay hệ pt vậy bạn
Bài này là giải hệ pt $\left\{\begin{matrix}
(2x^2-1)(y^2-1)= \frac{7}{2}xy\\
x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0
\end{matrix}\right.$

Cho $\left\{\begin{matrix}
x,y> 0\\
x+y\geq 4
\end{matrix}\right.$
Tìm $GTNN$ của $A= \frac{3x^2+4}{4x}+\frac{2+y^3}{y^2}$

Xl bạn mình nhìn nhầm (
Mắt dạo này lag nặng rồi.
Ta có
$(1)\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq \frac{(a-b)^{2}}{8a} \Leftrightarrow 2a-2\sqrt{ab}\geq 2a-2b \Leftrightarrow a\geq b$
Cái kia tương tự. Thành thật xin lỗi

Hình như bạn nhầm nữa thì phải
Từ (1) => $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq \frac{(a-b)^2}{4a}$ chứ không phải là $8a$
Bài giải như sau:
Từ (1) => $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq \frac{(a-b)^2}{4a}\Leftrightarrow 2a-2\sqrt{ab}\geq a-b\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant 0$

Ta chứng minh $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}>\frac{(a-b)^{2}}{8}$ $(1)$
Thật vậy
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq \frac{(a-b)^{2}}{4} \Leftrightarrow 2(\sqrt{a}-\sqrt{b})\leq a-b \Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^{2}\geq (\sqrt{b}-1)^{2}$

Hình như bạn nhầm chổ (1) phải là: $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8}$
Với lại cho mình hỏi bạn chứng minh bdt đó để làm gì???

Cho $a\geq b\geq 0$
Chứng minh $\frac{(a-b)^2}{8a}\leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8b}$

Bạn có nhầm không khi $x=y=0?$ Điều này làm giả thiết $x,y>0$ cũng như điều kiện xác định của biểu thức $\frac{x^{4}}{x},\frac{y^{4}}{y}$ bị vi phạm

Chữ mtgt là mâu thuẫn giả thiết đấy bạn
Vậy nên đẳng thức mới không xảy ra

$y,x>0\Rightarrow x^{2}<1\Rightarrow $0$< $0\doteq y(y^{2}+1)+x(x^{2}-1)\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}\doteq x-y\Leftrightarrow x-y=\frac{x^{4}}{x}+\frac{y^{4}}{y}> \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}< x^{2}-y^{2}< 1\Rightarrow x^{2}+y^{2}< 1$y<x< 1$

Bổ sung vào bài của bạn:
Đẳng thức $\frac{x^{4}}{x}+\frac{y^{4}}{y}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}$ xảy ra khi $\frac{x^2}{x}= \frac{y^2}{y}\Leftrightarrow x=y$
Thế vào pt t được x=y=0 (mtgt)
Vậy đẳng thức không xảy ra

PS: bạn quên để dấu $ rồi

ai giải giúp mình với!!!!!!!!

Cho $\left\{\begin{matrix}
x,y> 0 \\
y(y^{2}+1)+x(x^{2}-1)=0
\end{matrix}\right.$
Chứng minh $x^{2}+y^{2}< 1$

Cho $a,b,c> 0$ và $a= b+c$.
Chứng minh $\sqrt[3]{a^{2}}< \sqrt[3]{b^{2}}+\sqrt[3]{c^{2}}$.