Theo hệ thức Vi-et có: $x_1+x_2=-2m; x_1.x_2=4$

Ta có: $x_1^4+x_2^4=[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2]^2-2(x_1.x_2)^2=(4m^2-8)^2-32\leq 32 \leftrightarrow (4m^2-8)^2\leqslant 64 \leftrightarrow -8\leqslant 4m^2-8\leqslant 8 \leftrightarrow -2\leqslant m\leqslant 2$

Với a;b;c>0.Cmr:

$\frac{c}{{a^2}}+\frac{b}{{c^2}}+\frac{a}{{b^2}}$ \leq $\frac{{a^2}}{{b^2}c}}+ \frac{{b^2}}{{c^2}a}+ \frac{{c^2}}{{a^2}b}$

$x+y+z=0$ $\Rightarrow -x=y+z \Rightarrow -x^5=(y+z)^5 \Rightarrow y^5+5y^4z+10y^3z^2+10y^2z^3+5yz^4+z^5=-x^5 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5xyz(y^3+z^3+2z^2y+2y^2z)=0 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5yz(y+z)(y^2+yz+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)-5xyz((y+z)^2+y^2+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^)$

Vậy bạn có thể viết t/c đó ra được không?

------------------------------------------------------------

Cách này của mình chắc ngắn hơn 

 

Ta có (*) $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2xy= 2x^{2}y^{2}+2xy \Leftrightarrow (x+y)^2=2xy(xy+1)$ (1)

 

Có $x; y \in Z$ nên $(x+y)^2$ là scp và $xy;xy+1$ là 2 số nguyên liên tiếp, vì vậy từ (1) $\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy+1=0$

 

Xét từng T.h ra để tìm x; y. (bước này chắc bạn tự làm được )

Tớ nghĩ là không suy ra được như vậy

Nếu ${(x+y)^2}=xy(xy+1)$ thì suy ra như vậy mới đúng

Đặt ${x^2}=a$; ${y^2}=b$ (a;b là số nguyên không âm)

PT trở thành:

$a+b=2ab$

$\Leftrightarrow a-2ab=-b \Leftrightarrow a(1-2b)=-b \Leftrightarrow a=\frac{-b}{1-2b}=\frac{b}{2b-1}\epsilon  \mathbb{N}$

$\Rightarrow \frac{2b}{2b-1}=1+\frac{1}{2b-1}\epsilon \mathbb{N} \Rightarrow 2b-1 \epsilon {1;-1}$

Suy ra b=1 hoặc b=0

Suy ra y=1 hoặc y=-1 hoặc y=0

Thay vào tìm x

Ta có:

$P=\sqrt{{a^2}+1}+\sqrt{{b^2}+1}+\sqrt{{c^2}+1}$ $\geqslant \sqrt{{(a+b+c)^2}+{(1+1+1)^2}}=\sqrt{18}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

giải tiếp đi , mình tks cho  

1c:

Đặt $a=\sqrt{2}+1;b=\sqrt{2}-1$

Ta c/m với mọi x;y nguyên dương; x>y thì có:

$S_{x+y}+S_{x-y}=S_{x}.S_{y}$

Thật vậy:

$S_{x+y}+S_{x-y}={a^{x+y}}+{b^{x+y}}+{a^{x-y}}+{b^{x-y}}={a^{x+y}}+{b^{x+y}}+{a^y}{b^y}({a^{x-y}}+{b^{x-y}})={a^{x+y}}+{b^{x+y}}+{a^x}{b^y}+{a^y}{b^x}=({a^x}+{b^x})({a^y}+{b^y})=S_{x}.S_{y}$

Suy ra: $S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=S_{4019}+S_{1}-S_{4019}=S_{1}=a+b=2\sqrt{2}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác ABH bằng 30cm, chu vi tam giác ACH bằng 40cm. Tính diện tích tam giác ABC

$\Delta ABH$ đồng dạng với $\Delta CAH$

$\Rightarrow \frac{C_{ABH}}{C_{AHC}}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}=\frac{3a}{4a}$

Lại có: $\Delta ABH$ đồng dạng với $\Delta CBA$

\Rightarrow $\frac{C_{ABH}}{C_{ABC}}=\frac{AB}{BC}=\frac{3a}{\sqrt{{AB^2}+{AC^2}}}=\frac{3a}{\sqrt{9{a^2}+16{a^2}}}=\frac{3}{5}$

Suy ra chu vi tam giác ABC là 50

p.s:Bài này trong violympic hả, chắc bạn viết sai đề. Tính chu vi

Từ PT(1) suy ra $2\sqrt{x}=|y+2|$

Từ PT(2) suy ra $|y+\sqrt{x}|=|y\sqrt{x}|$

Suy ra $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$ hoặc $y+\sqrt{x}=-y\sqrt{x}$

+/TH1: $2\sqrt{x}=|y+2|$ và $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$

Thế $\sqrt{x}=\dfrac{|y+2|}{2}$ vào $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$, được 1 PT bậc 2 một ẩn

+/TH2: TT

Mạng lag em gửi nhầm 2 bài trùng nhau

Xóa giúp em một bài với ạ

ĐK: x;y lớn hơn hoặc bằng 0; x-y lớn hơn hoặc bằng 1

Từ PT(1) suy ra $2\sqrt{x}=|y+2|$

Từ PT(2) suy ra $|y+\sqrt{x}|=|y\sqrt{x}|$

Suy ra $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$ hoặc $y+\sqrt{x}=-y\sqrt{x}$

+/TH1: $2\sqrt{x}=|y+2|$ và $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$

Thế $\sqrt{x}=\dfrac{|y+2|}{2}$ vào $y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}$, được 1 PT bậc 2 một ẩn

+/TH2: TT

Xóa hộ em bài này với ạ

Em gửi nhầm

Thành thật xin lỗi

a, Ta có:

${x^3}+{y^3}+{z^3}-3xyz=(x+y+z)({x^2}+{y^2}+{z^2}-xy-yz-zx) \Leftrightarrow 27-3xyz=3(9-xy-yz-zx) \Leftrightarrow 9-xyz=9-xy-yz-zx \Leftrightarrow xyz=xy+yz+zx$

Lại có:$(x+y+z)^2={x^2}+{y^2}+{z^2}+2xy+2yz+2zx \Leftrightarrow 9=9+2xy+2yz+2zx \Leftrightarrow xy+yz+zx=0$

$\Rightarrow xyz=0$

Xét 3TH

+/$x=0$

+/$y=0$

+/$z=0$

Từ đây dễ dàng tìm được các nghiệm (x;y;z)=(0;0;3);(0;3;0);(3;0;0)

Mình không để ý kĩ, xin lỗi nha! Nhưng cho mình hỏi cái bài ${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc$ phân tích như thế nào vậy?

Mình mem mới nè! Góp vui một bài:
Chứng minh rằng nếu ${a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd$ và a, b, c, d là các số dương thì a=b=c=d