Hi QC,

Dạo này anh hơi bận, nhưng xin hứa sẽ noi gương polytopie và bác CXR viết một cái gì đó. Bài QC viết có rất nhiều thông tin, nhưng ...hơi lộn xộn. Nếu QC hệ thống hóa lại thì có lẽ sẽ bổ ích hơn, cả cho mình lẫn người đọc.

"...Cau hoi' la` Thom space nay` lai lam` sao lai lien quan toi´ Bordism duoc."

Nhờ cái liên quan này mà Thom được giải Field đấy. Làm sao giải thích
một cách ngắn gọn được?

\otimes = tensor, \oplus = tổng trực tiếp.

Cảm ơn Polytopie đã chịu khó viết bài. Có lẽ vì việc phân loại cho 3 chiều đơn giản quá nên kỹ thuật tương tự có thể không đủ mạnh cho trường hợp 4 chiều, hoặc có quá nhiều tham số vì có thể chiếu xuống các mặt con khác nhau.

Stanley-Reisner ring xuất hiện ở đây như thế nào? Nếu xem một polytope là một finite simplicial complex thì mất đi những thông tin gì?

Hi Toanhoc,

Trong vài trường hợp đơn giản thì có thể tìm được hết các idempotents, còn nói chung tôi cũng không biết tìm thế nào ngoài cách lý thuyết bảo.

Với nhóm cyclic thì có công thức tường minh cho các idempotents. Với
F_p [C_p] thì có (p-1) primitive (nguyên thủy?) idempotents. Với F_5 [C_10] chẳng hạn thì cũng có thể qui về F_5 [C_5] được vì C_5 là nhóm con 5-Sylow của C_10.

Hi Polytopie,

Cái kỹ thuật vẽ biểu đồ Schlegel có vẻ hay nhỉ. Polytopie có thể nói qua nguyên tắc của nó được không? thx.

Khoan hãy nói chuyện 4 chiều, với các đa diện ba chiều thì việc phân loại như thế nào?

Hi QC, Kakalotta,

Tôi là TNN hay không quan trọng gì. Trên mạng ta cứ thoải mái bàn luận thế này hay hơn.

Cheers!

Có bạn nào biết cách viết 1 group ring thành tổng trực tiếp của các indecomposable submodules khong ?
Ví dụ: FZ_5 với F=Z_5; FD_10 với F=Z_5.

Hi Toanhoc,

Trong trường hợp modular, đặc trưng không nguyên tố với bậc của nhóm
thì F[G] không còn semisimple nữa nên nói chung không phân tích được thành tổng các mô đun bất khả qui.

Một trong các cách để phân tích (decompose) một nhóm-đại số (group algebra)
như F[G] là đi tìm các idempotents của nó. Tôi không biết dịch idempotent sang tiếng Việt như thế nào.

DN của một idempotent rất đơn giản: Đó là cảc phần tử a khác 0, thỏa mãn tính chất a^2 =a.

Nếu idempotent như trên tồn tại thì có thể phân tích được



Ví dụ nếu F= F_3 và G= C_2 = <e,a> - nhóm cyclic có hai phần tử, e là đơn vị, a^2 =e. Có thể kiểm tra được 2a+2e và a-e là hai idempotents trực giao (tổng của chúng đúng bằng e). Vì thế

.

Về vấn đề này toanhoc có thể tham khảo cuốn sách của D. Benson "Representations and cohomology", tập một; hoặc Curtis-Reiner "Methods of representation theory".

Ok, tôi quên Sq^0 cũng nằm trong Sq.

Hi,

Sq \tensor Id không phải là đẳng cấu vì Sq không phải là đẳng cấu.

Dãy phổ Leray-Serre khá cổ điển nên đa số sách AT đều đề cập tới, tôi viết nữa cũng chả thêm được ý gì. QC có thể tham khảo cuốn sách (đang viết dở)
của A. Hatcher trên

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

vào mục Book projects - Spectral sequences in AT - Chapter 1.

Hi Q-C,

1. Sq tuy là tự đồng cấu nhưng không phân bậc (graded). Người ta dùng nó chủ yếu để sắp xếp thông tin vì Sq có tính chất nhân tính, nhưng khi tính toán cụ thể thì nói chung không dùng được.
2. không phải là isomorphism.
3. Một cách khác để thấy f không bằng Sq là sử dụng tính chất nhân tính của Sq nói ở trên.
4. f không phải là group homomomorphism, không có cấu trúc nhóm nào ở đây cả.
5. f cũng không phân bậc, không đi từ bậc k đến (k+n).
6. Với một fibre bundle hay fibration nói chung thì ta có dãy khớp các nhóm đồng luân, còn muốn liên hệ giưa các nhóm (đối) đồng điều với nhau thì nói chung phải dùng dãy phổ Leray-Serre.
Với cofibration thì ngược lại, ta có dãy khớp các nhóm (đối) đồng điều nhưng liên hệ giữa các nhóm đồng luân lại phức tạp hơn nhiều.

Cheers!

Co´ ai bie^t´ cach´ cm dinh ly´ atiyah-hirzerbruch kho^ng?
K*(X) tensor Q H*(X;Q).
Nghe chu`ng co´ ve trivial, vi` H*(X;Q) H*(X;Z) tensor Q, nhung cm thi` kho^ng don gian chut´ nao`.
Truoc´ he^t´ ta luo^n co´ Ring-homorphism ch: K(X)--> H*(X;Q). Co´ the xem K(X) K(X) tensor Z over Z. Nhu vay phai co´ 1 map: K(X) ---> K(X) tensor Q chinh´ la` id tensor i, voi´ i la` inclusion Z Q. Buoc´ tie^p´ theo ne^n cm nhu the^´ nao` nhi?

Nếu X là một điểm thì K^n (pt) = 0 khi n lẻ và Z khi n chẵn. Trong khi đó thì
H^n (pt) = 0 với mọi n>0. Vậy bước tiếp theo là xem lại phat biểu của định lý!

Khi đó nhóm Galois của K/Q là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=<\sigma,\tau>. Kiểm tra trực tiếp được: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma có cấp 4, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau có cấp 2, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau\sigma\tau=\sigma^3, tức G là nhóm Dihedral D_8.

Tôi nghĩ dịch Splitting field là "trường phân rã" thì nghe có vẻ như khái niệm trường trong vật lý chứ không phải toán. Có lẽ dịch là "trường tách" thì chính xác hơn, tuy rằng đọc lên thấy hơi lạo xạo, không quen .

Không biết nếu nhóm Galois là nhóm Quaternion Q8 thì mở rộng Galois E của Q có dạng như thế nào? Theo như lập luận của tôi thì phải đi tìm một đa thức có bậc ít nhất là 6, vì Q8 không nhúng được vào S_5 (D8 vẫn là nhóm con 2-Sylow của S_5).

Ít nhất thì Q_8 nhúng được vào S_8. Không biết Q8 có nhúng được vào S_6 không? Nếu không được thì S_7 cũng không được.

Rút cục lại thì cái "fibration" trước hay cái "bundle" bạn mới giới thiệu được người ta dùng (song song) để tính coho của BU(n)?
-------------------
Nghĩ lại tôi thấy ví dụ tôi đưa ra không giống Hopf bundle tí nào, xin được rút lại câu này. Thực ra nó giống cái bundle bạn vừa chỉ ra hơn.
------------------
Về vụ deformation retract thì để tôi lấy một ví dụ cho dễ hình dung. Vấn đề cần chứng minh là nếu B là một complex chiều n và với mỗi n-cell của B ta khoét đi một điểm trong thì phần còn lại sẽ deform được về (n-1)-skeleton của B.

Đặt B là một bó (wedge) của hai đường tròn S^1, tức là B giống như hình số 8. Giao điểm duy nhất của hai đường tròn được ký hiệu là *. B là một 1-complex, gồm có: một 0-cell, cũng chính là điểm cơ sở *; và hai 1-cells, tức là hai đoạn [0,1] bị uốn cong sao cho hai đầu 0,1 được gắn vào * để thành hai đường tròn.

Vậy cấu trúc xương (skeletons) của B là: B^1 = B, B^0 = *.

Bây giờ với mỗi 1-cell chọn ra một điểm trong. Trong trường hợp này điểm trong nghĩa là điểm trên đường tròn mà không trùng với *.

Nếu bỏ hai điểm trong này đi thì phần còn lại giống như hai cái xương cọ bắt chéo (không có biên), hoặc giống như hình chữ X.

Tưởng tượng xương bị rút ngắn dần, hình chữ X bị co rút lại đến khi chỉ còn điểm cơ sở *, tức là B^0. Vậy sau khi loại bỏ hai điểm trong đi thì phần còn lại co rút được về B^n-1 (B^0).

------------------------------
Bạn viết cohomology theory của BU(n) nên tôi không hiểu. Thông thường thì khi người ta nói cohomology theory của một kg X nào đó thì có nghĩa là cohomology theory tương ứng với cái suspension spectrum của X. Mà với X=BU(n) thì tôi không nghĩ rằng nó là oriented, ít nhất là với n>2.

Xin lỗi vì bắt bẻ từng chữ nhưng đây là dđ toán nên việc bắt bẻ được admins khuyến khích http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif .

------------------------------
Tóm lại thì bây giờ tôi không hiểu bạn muốn hỏi gì. Bạn viết là

Tuy nhiên lập luận cho rằng từ Spliting principle suy ra việc split X thành các Line bundle thì không hiểu...

Tôi chỉ ra rằng Splitting principle KHÔNG suy ra việc split X (mà là X' với một map of bundles X' ->X).

Nếu điều này bạn biết rồi thì bạn còn ngạc nhiên và muốn hỏi điều gì nữa?

Trường phân rã của đa thức http://dientuvietnam...metex.cgi?x^4-2 là  http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K=Q(\sqrt&#091;4]{2},i) và mở rộng K/Q là mở rộng Galois bậc 8 với nhóm Galois đẳng cấu với

Chắc phải là nhóm dihedral D_8 chứ không phải Z/4 x Z/2 vì nhóm này phải nhúng được vào nhóm đối xứng S_4 (giao hoán bốn nghiệm). Nhóm con bậc 8 của S_4 thì là nhóm 2-Sylow, vậy phải là D_8.

Cuối cùng là 1 lemma nhỏ tí xíu của chern character: gọi ch là ánh xạ chern:
Ch: K*(X)----> H*(X;Q). Q là rational Field. X là 1 Bundle nào đó.
Gọi ánh xạ f^k: H*(X;Q)---->H*(L;Q) với L là Line Bundle. Và f là Adams operation. Việc chúng minh ch(f)= f^k ( ch) thì đơn giản. Tuy nhiên lập luận cho rằng từ Spliting principle suy ra việc split X thành các Line bundle thì không hiểu. http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif http://diendantoanho...tyle_emoticons/default/beat.gif . Vấn đề là chỉ các fibre mới split thôi chứ.
Xin các bạn giúp đỡ với

Theo tôi hiểu thì Splitting principle không dẫn đến việc tách X thành các line bundles. Nó chỉ chỉ ra rằng với mỗi vector bundle X = (f: E -> B) cho trước thì tồn tại một không gian B' và một ánh xạ g: B' -> B sao cho cái pull-back X' của f (là một vector bundle trên B') đẳng cấu với một tổng trực tiếp của các line bundles.

Sau đó để chứng minh ch(f)= f^k ( ch) chẳng hạn thì người ta chứng minh cho trường hợp một vector bundle là tổng trực tiếp của line bundles trước (dùng tính chất logarithmic của total Chern class). Sau đó áp dụng tính chất tự nhiên của total Chern class để chứng minh trường hợp tổng quát (pull-back từ X' về X).

Vì Cohomology theory của BU(n) là oriented.

Tôi không hiểu câu này có nghĩa gì.

Về fibre bundle thì có cuốn fibre bundle của Husemoller viết khá chi tiết, tiếc là tôi không có cuốn đó ở đây.

Còn B^{n-1} là deformation retract của B-{x_a} thì đúng rồi, nhưng cũng phải lấy đi một điểm trong x_a [b] với mỗi [b] n-cell e^n_a. Điều này là vì S^{n-1} là deformation retract của D^n -{pt}.

Ở đây có lẽ cần phải giả thiết B là finite CW complex chứ không chỉ finite dimensional.

Do la sequence cua CP ( vo han) ----> F_n( C vo han) ---> F_k vo han tai sao la fibre bundle.

Đầu tiên là có lẽ bạn lại đánh máy nhầm F_k, chắc phải là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\ell không nằm trong V_{n-1}. Còn cái thứ hai thì ngược lại - tức là .

Tôi nghĩ là bundle thứ nhất sẽ đồng phôi (homeomorphic) với bundle cần chứng minh, còn cái thứ hai thì chắc cũng dễ chứng minh nó là fibre bundle thôi, vì hơi giống như định nghĩa Hopf bundle.

Nếu phải tìm hẳn hoi một cái local trivialization thì cũng mệt thật.

  Con 1 cai nua do la S^ 2k -1 ---> S^ vo han ---> BU(n).

Tôi không tin có cái fibration này. Ngoài chuyện đánh máy k và n, thì là contractible.

Nếu tôi nhớ không nhầm thì trong câu hỏi một chỉ cần đk i^{*} onto và H^{*}F
tự do, finite type trên vành R nào đó là đủ. Cần gì đk B finite-dimensional/finite?

Tôi cũng không hiểu tại sao B' lại có thể là deformation retract của B được. Ví dụ nếu B=S^{1} với cấu trúc CW-complex gồm một 0-cell và một 1-cell gắn bằng cách dán cả hai đầu vào 0-cell thì nếu khoét đi một điểm, B' sẽ giống như đoạn thẳng (0,1) không có biên, nên nó co rút được (contractible). Trong khi đó thì S^1 không phải là contractible.

Không hiểu bạn định viết weak homotopy equivalence giữa hai cái gì? Bạn phải chịu khó viết chi tiết hơn.

Về câu hỏi 2 thì tôi nhớ cách thông thường để tính cohomology của BU là
tính cohomology của BU(n) trước, rồi sau đó chứng minh lim^1 của dẫy H^* (BU(n)) triệt tiêu ( với mỗi *) để có coho của BU.

Để tính BU(n) thì có nhiều cách. Có thể tính coho của U(n) trước (đại số ngoại -
exterior algebra) rồi dùng Leray-Serre SS. Hoặc dùng luôn LSSS cho fibration
S^{2n-1} --> BU(n-1) --> BU(n) .


Câu 3 thì lâu ngày quá tôi quên rồi, phải về tra sách đã. Bạn có thể nói cho tôi bạn đang tham khảo quyển gì không?