Tên: Ung Nguyễn Vũ Hoàng THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định

Chuyên đề: Hình Học, Đa thức.

Địa chỉ Facebook:   https://www.facebook...ang.ungnguyenvu

Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên không âm và các hệ số không vượt quá $14$ thỏa mãn điều sau:

$P(15)=491998$. Chứng minh rằng $P(2015) \vdots 7$

Theo mình thì mình giải bài này với điều kiện b được thay bằng điều kiện là $f$ là hàm đơn ánh trên $R$ và mình giải như sau:

Đầu tiên ta cho $x=0 ; y=0$ khi đó ta được

$f(2f(0))=f^{2}(0)$   Đặt $f(0)=a$

Cho $ y=-x4 thì ta được

$f(2x^{2}+2f^{2}(-x^{2})=f^{2}(0)=f(2f(0))  ,\forall x \in R $ 

Theo tính chất đơn ánh thì 

$x^{2}+f(-x^{2})=f(0)  , \forall x \in R$

$\Leftrightarrow f(x)=x+a  , \forall x \leq 0$

Cho $ x=y$

thì $f(2x^{2}+2f(2x^{2}))=f^{2}(2x)   , \forall x \in R$

lại cho $x \rightarrow 2x ,   y \rightarrow 0$

thì $f(4x^{2}+2a)=f^{2}(2x)   , \forall x \in R$

do vậy nên 

$ f(x^{2}) +x^{2} =2x^{2} +a  ,   \forall x \in R$

$\Leftrightarrow f(x) =x +a ,   \forall x \geq 0$

Tóm lại $f(x) =x +a,   \forall x \in R$

Thử lại thấy $a=0$ 

Vậy hàm số duy nhất thoả mãn là 

$f(x) =x ,  \forall x \in R$

Cho đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến $AM,AN$. Qua $O$ vẽ đường thẳng song song với $MN$ cắt $AM, AN$ lần lượt tại $B,C$. Điểm $G,H$ bất kì thuộc $AB, AC$ thỏa mãn $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn. $HB$ cắt $MN$ tại $K$. Chứng minh $KG$ song song với $AC$

Cho tứ giác toàn phần $ABCDMN$.Giả sử các đường phân giác ngoài của các cặp góc tại các đỉnh sau: $A$ và $C$;$B$ và $D$; $M$ và $N$ lần lượt tại $P,Q,R$ .Chứng minh $P,Q,R$ thẳng hàng

Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy điểm $D$ 

Chứng minh rằng nếu đường thẳng Ơ-le của tam giác $ABD$ song song với $AC$ thì đường thẳng Ơ-le của tam giác $ACD$ song song với $AB$

Cho tam giác $ABC$. $AK$ là đường đối trung của góc $BAC$ của tam giác ($K$ thuộc $BC$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKC$ cắt $AB$ tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKB$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $KP=KQ$

==================================================================================================

Gọi $I,J$ là giao của $SP$ với $(O)$ (như hình vẽ)

có ngay $IK=LJ$

mà góc $SCM=SPC$ nên $MI=MJ$

Do đó $MK=ML$

 

làm phiền bạn có thể giải thích cho mình chỗ này được không

Thử làm bài mở rộng này xem 

http://diendantoanho...eft-nk-1-right/

CMR: Dãy số $A_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$(n nguyên dương) chứa những dãy chứa vô hạn các số nguyên tố cùng nhau

                                                                      

Giả sử có k số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau là $A_{1}=1, A_{2}=3,..., A_{k}=m ; m\in Z^{+}$

Khi đó đặt $a=A_{1}A_{2}...A_{k}$ 

Xét cũng trong dãy số đó thì

$A_{2a+1}=(a+1)(2a+1) > A_{k}$

mà lại có $( A_{2a+1}, A_{k})=1$

Do đó $A_{2a+1}$ nguyên tố cùng nhau với tất cả các số  $A_{1}, A_{2},... A_{k}$

Vậy ta có Đpcm

cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp là 1 và độ dài các cạnh của tam giác là các số nguyên.

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông

Cho $n \in Z^{+}$, $n>1$. Giả sử tồn tại $k$ số nguyên dương $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ sao cho 

$\sum_{i=1}^{k} 2^{n_{i}}  \vdots (2^{n}-1)$

Chứng minh rằng $k\geq n$

ban có thể giải thích rõ làm s để có được kết quả đó hay không (nêu rõ cách tính)  làm sao để có được $(n-1).n.4^{n-2}$

Cho tập hợp $X= { 1,2,...,n } $. Gọi $A,B$ là hai tập con của $X$. Tìm tất cả các bộ $(A,B)$ thỏa mãn $A$ không phải là tập con của $B$ và $B$ cũng không phải là tập con của $A$

Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$. Các tia $AP,BP,CP$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $K,L,M$.

Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn cắt $AB$ tại $S$.

CMR $SC=SP$ khi và chỉ khi $MK=ML$

Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$. Các tia $AP,BP,CP$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại $K,L,M$.

Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn cắt $AB$ tại $S$.

CMR $SC=SP$ khi và chỉ khi $MK=ML$

Cho số nguyên dương $n$ và hai số nguyên tố cùng nhau $a,b$. Gọi $p,q$ là hai ước lẻ $> 1$ của $a^{6^{n}}  + b^{6^{n}}$

Hãy tìm số dư khi chia $p^{6^{n}}+q^{6^{n}}$ cho $6.(12)^{n}$ 

Cho tam giác $ABC$. $I$ là điểm bất kì bên trong mặt phẳng. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Qua $M, N ,P$ lần lượt vẽ các đường thẳng $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ song song với $AI$, $BI$, $CI$. Chứng minh $\Delta _M$, $\Delta _N$, $\Delta _P$ đồng quy

àh bởi vì những trang trước hôk thực sự cần thiết cho nên mình hok post lên. Với lại phần kia không thuộc về phần học sơ cấp nhìu nên mình hôk đăng

Chứng Minh Rằng có vô số số nguyên dương $x$ thoả mãn:

  $2^{x}+3^{x}   \vdots   x^{2}$

Mình muốn share cho các mem hai tài liệu sau >>>>>>>>>>>>>>>>> ai cần cứ tải                    

Chứng minh rằng:

   $tan34^{o} > \frac{2}{3}$

Bài này vẫn còn một cách nữa đó là:

áp dụng công thức sau: $x^{p} \equiv x (mod  p)$ với $p$ nguyên tố 

thay lần lượt $x$ bằng $a,b,a+b$ từ đó ta có đpcm

cai chỗ $a_n=3^n+3.\left ( -1 \right )^n$ nói dễ chả dẽ tí nào

sao chưa ai chém bài mình zậy đành tự xử thôi!!!!!!!!!!!

 từ giả thiết ta có thể đặt: $x=a-1;y=b-1;z=c-1$

khi đó ta được $x,y,z\in[0;1]$ và $x+y+z=1$

nhờ vậy ta được 

$P=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)+(x+1)(y+1)(z+1)=2(xy+yz+zx)+xyz+3(x+y+z)+4$

 $=2(xy+yz+zx)+xyz+7\geq 7$

vậy $MIN P=7$

dấu '=' xảy ra khi $xy+yz+zx=0;xyz=0;x+y+z=1$ hay một trong ba số $a,b,c$ bằng 2 và hai số còn lại bằng 1