Hình như có sẵn công thức của hai hàm số học này, chỉ cần ráp vào cộng thêm chút biến đổi là được thì phải (Theo ý kiến bản thân)... Chưa biết có đúng ko nhưng trước mắt hướng giải là như vậy!!!

 Hình như không có công thức của $P(n)$ mà chỉ có $P(n)\approx \frac{1}{4\sqrt{3}}e^{\Pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}$ 

Bài 52.

Gọi $P(n)$ là số phân hoạch nguyên n

$\sigma \left ( n \right )$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của n

CMR$nP(n)=\sigma (n)+\sigma (n-1)P(1)+ ...+\sigma (1)P(n-1)$

Cho $a,b,c$ là các số thực thoả:

$\begin{cases} -1\leq x,y,z\leq 1 \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-2xyz \end{cases}$

Tìm max của A

$A=(1-\sqrt{1-x^{2}})(1-\sqrt{1-y^{2}})(1-\sqrt{1-z^{2}})$

 Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp, M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. E,F thuộc cạnh AB, AC sao cho BF,CE song song với IN,IM. Đường thẳng qua I song song với EF cắt cạnh BC tại K. T là hình chiếu của K lên cạnh AI. P là trung điểm của cạnh AT , đường tròn ngoại tiếp ABP cắt cạnh AC tại Q.CMR QI là đường đối trung của tam giác QCB.

 104_Titu_Number_Theory_Problems.pdf   1.05MB   511 Số lần tải  LTE.pdf   210.24K   92 Số lần tải  Số học.pdf   250.05K   110 Số lần tải

Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho $(5^{p}-2^{p})(5^{q}-5^{q})\vdots p.q$.

hình như đề này có vấn đề      Phải là $(5^{p}-2^{p})(5^{q}-2^{q})\vdots p.q$ mới đung chứ nhỉ.

Bài 36: Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a, b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của $a^{6^{n}}+b^{6^{n}}$. Hãy tìm số dư trong phép chia $p^{6^{n}}+q^{6^{n}}$ cho $6.12^{n}$.

Bổ đề 1.Nếu d là ước nguyên tố lẻ của $a^{6^{n}}+b^{6^{n}}$ thì $d\equiv 1\left ( mod 2^{n+1} \right )$

Bổ đề 2. Nếu $x\equiv 1\left ( mod c^{k} \right )$ thì$x^{c^{m}}\equiv 1\left ( modc^{m+k} \right )$

 Trở lại bài toán ta có vì p,q là ước nguyên tố lẻ của $a^{6^{n}}+b^{6^{n}}$ nên từ bổ đề 1 suy ra$p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 2^{n+1} \right )$                                                                                              .1.

Vì $\left (a,b \right )= 1$ nên$p^{6^{n}}+q^{6^{n}}\equiv 0\left ( mod 3 \right )$.Từ đó $\left (p,3 \right )=\left (q,3 \right )= 1$ vì thế$p^{2^{n}}\equiv q^{2^{n}}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$ .theo bổ đề 2 ta có$p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 3^{n+1} \right )$       .2.

Từ .1. và .2. và do 2 va 3 nguyên tố cùng nhau nên $p^{6^{n}}\equiv q^{6^{n}}\equiv 1\left ( mod 6.\left ( 12 \right )^{n} \right )$.Do đó

$p^{6^{n}}+ q^{6^{n}}\equiv 2\left ( mod 6.\left ( 12 \right )^{n} \right )$

Vậy phần dư cần tìm là 2

Cho a va b là hai số tự nhiên . Giả sử 16a+15b và 16a-15b đều là số chính phương lớn hơn 0. Tìm GTNN của 1 tròng 2 số đó   

dat 16a+15b=m^{2},16a-15b=n^{2}

Ta co $m^{4}+n^{4}=\left ( 16a+15b\right )^{2}+\left ( 16a+15b \right )^{2}=481\left ( a^{2} +b^{2}\right )$

$\Rightarrow \left ( m^{4} +n^{4}\right )\vdots 481$

Ma 13,37 la so ngto dang 4k+1$\Rightarrow m\vdots 13,m\vdots 37,n\vdots 13,n\vdots 37$

 Vay GTNN la $481^{2}$

nghĩa là 1 tam giác $ABC$ bất kì mà độ dài cạnh $AB$ nhỏ nhất

vậy là A trùng B ak

 

1)Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r$ không chia hết cho 3; $p+q+r$ và $p+q+r+3$ đều là các số chính phương

2)Có tồn tại các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p+q+r$ chia hết cho 3; $p+q+r$ và $p+q+r+3$ đều là các số chính phương?

(Turkey JBMO TST 2013)

 

   Ta có $p+q+r=a^{2},p+q+r+3=b^{2} \Rightarrow (a-b)(a+b)=3 \Rightarrow a-b=1, a+b=3 \Rightarrow a=1,b=2$

 $\Rightarrow p+q+r=1,p+q+r=2$ vô lí.

Vậy kô tồn tại

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O), ( D không trùng với A, B ). Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất , trên cạnh AC và BC lấy các điểm M,N tương ứng sao cho AM = BD và AN =AD. Chứng minh rằng khi D thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN luôn thuộc một đường tròn cố định.

Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất 

LÀ trường hợp nào vậy bạn

Tìm $x,y$ biết: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=9$ và $\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right )\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right )\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right )=18.$

Đặt $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y}}= a,\frac{1}{\sqrt[3]{xy}}=b$

Ta có$\Rightarrow a^{3}-3ab=8,3a\left ( a+b+1 \right )=54$

trừ vế với vế của 2 pt ta tìm đc a,b => x,y

Bài $2$ : Tìm $n> 1; n\epsilon \mathbb{Z}$ thoả :

$3^{n}$ tận cùng là $003$

Ta có $3^{n}\equiv 3\left ( mod1000 \right )\Rightarrow 3^{n-1}\equiv 1\left ( mod1000 \right )$

Gọi cấp của 3 theo modulo 1000 là a.$\Rightarrow a\mid \varphi (1000)\Rightarrow a\mid 400$ 

Giả sử $a< \varphi (1000)\Rightarrow a\mid 200$

Mà $3^{200}\not\equiv 1(mod4) \Rightarrow a> 200\Rightarrow a= 400$

$\Rightarrow n-1=400k (k\in \mathbb{N})$

Vậy n=400k+1

Bài 17 

ý đầu. Vì 2n+1,3n+1 là số chính phương$\Rightarrow 2n+1\equiv 1\left ( mod 4 \right )$ , $\Rightarrow 3n+1\equiv \left \{ 0,1 \right \}\left ( mod 4 \right )$

      $\Rightarrow 5n+2\equiv \left \{ 0,1 \right \}\left ( mod4 \right )\Rightarrow 5n+3\equiv \left \{ 1,2 \right \}\left ( mod4 \right )$

$\cdot$ Với $5n+3\equiv 2\left ( mod4 \right )\Rightarrow$ 5n+3 chẵn . vậy 5n+3 là hợp số.

$\cdot$ Với $5n+3\equiv 1 \left ( mod 4 \right )\Rightarrow n\equiv 2\left ( mod4 \right )\Rightarrow 3n+1\equiv 3\left ( mod4 \right )$ vô lí.

=> Vậy 5n+3 là hợp số

Bài 31:

 Cho số tự nhiên y .Chứng minh tồn tại vô số nguyên tố p sao cho  và .

hình như câu d bài hình là đường đối trung     

$\boxed{\text{Problem}}$

Tìm 3 chữ số tận cùng của: 

 $n=3.7.11.15.19. ... .2011$

bạn cho mình hỏi quy luật cua dãy số này là gì z ? số nguyên tố or số lẻ ?

de bai sai . ban xem lai di

đề đâu có sai đâu .Góc cần tìm có số đo la 30 độ

tiếp tục là chứng minh: nếu nk = 1.2.3....(n-1) với n là số nguyên tố và n>3 thì k cũng là số nguyên tố

bạn nào giải giúp

đề này có vấn đề bạn àk.    

 Từ đề bài ta có 1.2.3...(n-1) chia het cho n mà n nguyên tố > 1,2,..n-1. => vô lí .

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013

 

 

Bài 4. Cho $x$, $y$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p=x^{2}+y^{2}$ là số nguyên tố và $x^{3}+y^{3}-4$ chia hết cho $p$. Tìm $x$, $y$.

Ta có:$x^{3}+y^{3}-4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )-xy\left ( x+y \right )-4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow xy\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow \left [ \left ( x+y \right )^{2} -x^{2}-y^{2}\right ]\left ( x+y \right )+8\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow \left ( x+y \right )^{3}+8\vdots x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow \left ( x+y+2 \right )\left [ \left ( x+y \right )^{2} -2\left ( x+y \right )+4\right ]\vdots x^{2}+y^{2}$

mà $x^{2}+y^{2}=p\in \mathbb{P}$

$\Rightarrow x+y+2\vdots x^{2}+y^{2}$hoặc$\left ( x+y \right )^{2}-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}$

Với $x+y+2\vdots x^{2}+y^{2}$

     Xét $x> 2,y> 2\Rightarrow x+y+2< x^{2}+y^{2}\rightarrow$ vô nghiệm

     Xét $x\leq 2,y\leq 2\Rightarrow x= 2,y= 1$ hoặc $x= 1,y= 2$

Với $\left ( x+y \right )^{2}-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow 2xy-2\left ( x+y \right )+4\vdots x^{2}+y^{2}$

     Xét p=2 Suy ra x=y=1

     xét p>2 Suy ra $xy-x-y+4\vdots x^{2}+y^{2}\Rightarrow xy-x-y+4\geq x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow xy+x+y\leq 4\Rightarrow x=2,y=1$ hoặc x=1,y=2 (vì p>2 nên x,y>1

Vậy cặp số x,y thoả mãn là 1,1 và 1,2 và 2,1

đề số năm nay của LHP dễ hơn mọi năm nhìu