Giải hệ phương trình:$$\begin{cases}x^3-12x^2+48x+3xy^2-12y^2=15 \\x^2+9x-8xy+24y+y^2=52 \end{cases}$$

PT(1)+3PT(2)$\Leftrightarrow x^3-9x^2+75x-171-9y^2+3xy^2+72y-24xy=0$

 

$\Leftrightarrow (x-3)(x^2-6x+57+3y^2-24y)=0$

 

$\Leftrightarrow (x-3)((x-3)^2+3(y-4)^2)=0$

 

Vậy hệ có 2 nghiêm(x,y)=(3,4);(3;-4)

Giải phương trình:
$$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$$

 

PT$\Leftrightarrow 2(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1})$

 

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+3})(x-\sqrt{x+1})=0$

giai he pt:

 

 

$\left\{\begin{matrix}y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} & \\ 8xy^{3}+2y^{3}+1\geq4x^{2}+2\sqrt{1+(2x+y)^{2}} & \end{matrix}\right.$

điều kiện

 

$-x^2y^2+xy\geq 0\Rightarrow 0\leq xy\leq 1$

 

vì $xy\geq 0$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có

 

$y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy(1-xy)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2y^6+2y^3+4x^2\leq 1$ kết hợp BPT(2)

 

ta có hệ bất phương trình sau

 

$\left\{\begin{matrix} 8xy^3+2y^3+1\geq 4x^2+2\sqrt{1+(2x+y)^2}\\ 1\geq 2y^6+2y^3+4x^2 \end{matrix}\right.$

 

cộng vế theo vế

 

$\Leftrightarrow 8xy^3+2\geq 8x^2+2y^6+2\sqrt{1+(2x+y)^2}(3)$

 

theo bất đẳng thức AM-GM  $8x^2+2y^6\geq 8xy^3(4)$

 

cộng vế theo vế (3) và (4)$\Leftrightarrow 2\geq 2\sqrt{1+(2x+y)^2}$

 

$\Leftrightarrow 0\geq (2x+y)^2$ dấu '=' xảy ra khi $2x+y=0\Rightarrow y=-2x$

 

thay vào PT(1) của hệ ban đầu đến đây tạm ổn

Làm sao giải cái phương trình này vậy bạn?

thì khai triển-> nhẩm nghiệm bằng Casio(nghiệm đẹp mà) ->rồi phân tích thành nhân tử thôi OK?? cái bậc 3 còn lại thì giải bằng công thức cacdano

 

$\frac{-5}{3}$ đâu là nghiệm đâu ???

À -5/3 là nghiệm ngoại lai nhé Nó chỉ là ngiệm PT này thôi$\Leftrightarrow (x+1)(15x^2-14x+7)^2=16(3x-1)^3$

giải phương trình phải thử lại tại mình ngại thay vào PT bđ nên không loại nó

Giải phương trình: $15x^{3}+x^{2}-7x+7=4\sqrt{(x+1)(3x-1)^{3}}$

 

$PT\Leftrightarrow (x+1)(15x^2-14x+7)=4\sqrt{(x+1)(3x-1)^3}$

$\Rightarrow x=-1$

$\Leftrightarrow (x+1)(15x^2-14x+7)^2=16(3x-1)^3$$\Rightarrow x=1\vee x=-5/3$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+1}-1=x(\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}) & \\ x(x-2)+(y-1)^{4}=2xy(y-2) & \end{matrix}\right.$

đề có thiếu gì không vậy bạn ?!

$\left\{\begin{matrix} 2x+\sqrt{2-x+y-x^{2}-y^{2}}=1 & \\ 2x^{3}=2y^{3}+1 & \end{matrix}\right.$hệ

bình phương PT(1) hệ tương đương

 

$\left\{\begin{matrix} 5x^2+y^2-3x-y-1=0\\ 2x^3-2y^3-1=0 \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow 2x^3-2y^3=5x^2-3x+y^2-y\Leftrightarrow \left(x-y-1 \right)\left(2x^2-3x+2xy+2y^2-y \right)=0$ 

$\left\{\begin{matrix} x(x^{2}-1)+(xy+3)y=x^{2}+y^{2} & \\ y(y^{2}+1)+(xy+3)x=0 & \end{matrix}\right.$

$(xy+3)=\frac{x^2+y^2-x^3+x}{y}=\frac{-y^3-y}{x}$

 

$x^3+xy^2-x^4+x^2=-y^4-y^2$

 

$(x^2+y^2)(-x^2+y^2+x+1)=0$

 

$\Rightarrow x=y=0\vee y^2+1=x^2-x$ thay vào hệ giải tiếp

Giải hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y(y-2)+\frac{x(y-1)}{x-1+y}=0{} & \\ \sqrt{x-1+y}=x^{2}-y+1 & \end{matrix}\right.$

 $PT(2)\Leftrightarrow \sqrt{x-1+y}+x+y-1=x^2+x$

 

$PT(2)\Leftrightarrow x=\sqrt{x-1+y}\vee x+\sqrt{x-1+y}=-1$

 

với $x^2=x-1+y$

 

 

$PT(1)\Leftrightarrow x^2+y(y-2)+\frac{x(x+y-1)-x^2}{x+y-1}=0$

 

$PT(1)\Leftrightarrow x^2+y(y-2)+x-\frac{x^2}{x+y-1}=0$

 

$PT(1)\Leftrightarrow x^2+y(y-2)+x-1=0$ kết hợp với $x^2=x-1+y$ đến đây đơn giản rồi

 

 

với $\sqrt{x-1+y}=-(x+1)$ bình phương thay vào PT(1) giải pt bậc 4

giải pt:

     3,$(4x^{2}+1)x+(x-3)\sqrt{5-2x}=0$

     

$PT\Leftrightarrow 8x^3+2x=\sqrt{5-2x}+(5-2x)\sqrt{5-2x}$$\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2x}$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{4}$

 

Vào lúc 28 Tháng 12 2013 - 23:09, leduylinh1998 đã nói:



Giải các hệ phương trình sau
$1)\left\{\begin{matrix} xy-x+y=3 & \\ 4x^{3}+12x^{2}+9x=-y^{3}+6y+5& \end{matrix}\right.$
$2)\left\{\begin{matrix} x^{3}+4x=y^{3}+16y & \\ 1+y^{2}=5(1+x^{2})& \end{matrix}\right.$
$3)\left\{\begin{matrix} 2x\left ( 1+\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \right )=3 & \\ 2y\left ( 1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \right )=1 & \end{matrix}\right.$

bài 1 
 
$PT(2)-3(y+1)PT(1)=4x^3+y^3-3xy^2-3y^2+12x^2+12x+4=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)(2x^2+4x+2-y^2+y+xy)=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)[2(x+1)^2-y^2+y(x+1)]=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)[2(x+1)^2-2y^2+y(x+y+1)]=0$
 
$\Leftrightarrow (2x-y+2)^2(x+y+1)=0$ thay vào pt(1)
 
bài 3
$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{3}{2x}\\ 1-\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2y} \end{matrix}\right.$
cộng trừ 2 vế của hệ
 
$\left\{\begin{matrix} \frac{3}{2x}+\frac{1}{2y}=2\\ \frac{3}{2x}-\frac{1}{2y}=\frac{2}{x^2+y^2}\\ \end{matrix}\right.$

 

nhân 2 vế của hệ
 
$\Leftrightarrow \frac{9}{4x^2}-\frac{1}{4y^2}=\frac{4}{x^{2}+y^{2}}$
 
$\Leftrightarrow (9y^2-x^2)(x^2+y^2)=16x^2y^2$
 
$\Leftrightarrow (9y^2+x^2)(-x^2+y^2)=0$
 
$\Leftrightarrow x=\pm y$ thay vào hệ ban đầu

Giải hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-1}+\sqrt{3y-2}=2 & \\ x\left ( x^2+3x+2 \right )-3y\sqrt{3y+1}=0& \end{matrix}\right.$

$PT(2)\Leftrightarrow (x+1)^3-(x+1)=(3y+1)\sqrt{3y+1}-\sqrt{3y+1}$

 

$\Leftrightarrow x+1=\sqrt{3y+1}$ thay vào pt(1) 

Giải hệ phương trình

                               $\left\{\begin{matrix} 2x^{3}-4x^{2}+3x-1=2x^{3}(2-y)\sqrt{3-2y} & & \\ \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{14-x\sqrt{3-2y}}+1 & & \end{matrix}\right.$

PT(1)$PT(1)\Leftrightarrow1-\frac{1}{x}+(1 -\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3})=\sqrt{3-2y}+(3-2y)\sqrt{3-2y}$

 

$\Leftrightarrow(1-\frac{1}{x})+(1-\frac{1}{x})^3=\sqrt{3-2y}+(3-2y)\sqrt{3-2y}$

 

$\Leftrightarrow1-\frac{1}{x}=\sqrt{3-2y}$ thay vào (2)

 

$PT(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{15-x}+1$

 

phương trình có nghiệm duy nhất x=7

Giải hệ phương trình sau :

                $\left\{\begin{matrix} x^2y^2+2y^2+16=11xy\\x^2+2y^2+12y=3xy^2 \end{matrix}\right.$

do y=0 không là nghiệm, ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} \\ x^2+\frac{16}{y^2}=\frac{11x}{y}-2(1)\\ \\ \frac{x^2}{y^2}+2=3(x-\frac{4}{y})(2) \\ \end{matrix}\right.$

 

$(2)\Leftrightarrow (\frac{x^2}{y^2}+2)^2=9(x-\frac{4}{y})^2\Leftrightarrow (\frac{x^2}{y^2}+2)^2=9(x^2+\frac{16}{y^2}-\frac{8x}{y})$

 

thay (1) vào pt$(\frac{x^2}{y^2}+2)^2=9(\frac{11x}{y}-2-\frac{8x}{y})\Leftrightarrow (\frac{x^2}{y^2}+2)^2=9(\frac{3x}{y}-2)$

 

đặt t=$\frac{x}{y}$,$pt\Leftrightarrow (t^2+2)^2=27t-18\Rightarrow t=1\vee t=2$

Giải hệ $$\begin{cases}
x^2y^2-2x+y^2=0\\
2x^2-4x+3+y^3=0
\end{cases}$$

pt(1)$\Leftrightarrow y^2=\frac{2x}{x^2+1}\leq 1$

 

$\Rightarrow -1\leq y\leq 1$

 

pt(2)$\Leftrightarrow 2(x^2-2x+1)+1+y^3=0\Leftrightarrow 2(x-1)^2+(1+y)(1-y+y^2)=0$

 

do $-1\leq y $ nên$2(x-1)^2+(1+y)(1-y+y^2)\geq 0$

 

dấu '=' xảy ra khi x=1, y=-1

Giải hệ $$\begin{cases}
x^2-2xy+x+y=0\\
x^4-4x^2y+3x^2+y^2=0
\end{cases}$$

pt(1)$\Leftrightarrow (x^2+y)^2=x^2(2y-1)^2\Leftrightarrow x^4+y^2+2x^2y=x^2(2y-1)^2$

 

$\Leftrightarrow x^2(4y-3)+2x^2y=x^2(2y-1)^2$

 

$\Leftrightarrow 3x^2(2y-1)=x^2(2y-1)^2$

 

$\Leftrightarrow x=0\vee y=1/2\vee y=2$

$2cos6x+2cos4x-\sqrt{3}cos2x=sin2x+\sqrt{3}$

$2(cos6x+cos4x)=sin2x+\sqrt{3}(1+cos2x)$

 

$4.cos5x.cosx=2.sinx.cosx+\sqrt{3}(2cos^2{x})$

 

$\Rightarrow cosx=0\vee 4.cos5x=2.sinx+\sqrt{3}(2cos{x})$

 

$cos5x=\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cos{x}$

 

$cos5x=cos(x-\frac{\pi}{6})$

giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix} x^{3}y=9\\ 3x+y=6 \end{matrix}\right.$

 

nhận thấy tổng và tích x,y đều >0 nên suy x,y dương

 

Theo bất đẳng thức AM- GM ta có

 

$3x+y\geq 4\sqrt[4]{x^3y}\Leftrightarrow 6\geq4\sqrt[4]{x^3y}\Leftrightarrow \frac{81}{16}\geq x^3y\Leftrightarrow 9>\frac{81}{16}\geq x^3y$

 

suy ra hệ đã cho là vô nghiệm

Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{matrix} 3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z})& \\ xy+yz+zx=1& \end{matrix}\right.$

bài đã giải ở đây nha bạnhttp://diendantoanho...trình/?p=448129

$x^{2}-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^{2}+5x+2}-8x-5$

$\left [(x^2+2x+1)+2(x+1)\sqrt{3x+1}+(3x+1) \right ]+\left [(x+2)-2\sqrt{(x+2)(2x+1)}+(2x+1) \right ]=0$

 

$\left [(x+1)+\sqrt{3x+1} \right ]^2+\left [\sqrt{(x+2)}-\sqrt{(2x+1)} \right ]^2=0$

$\sqrt[5]{x-1}+\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}=2$

$\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{2x+3}+\sqrt{3x+7}=2-x$

1) $\sqrt[5]{x-1}+\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}=2$

DK  $x\geq 2$ 

$\Rightarrow \sqrt[5]{x-1}+\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}\geq 2$

dấu '=' xảy ra vậy x=2 là nghiệm PT

 

2) tương tự

$2\sqrt{2}\left ( 1-cosxcos3x \right )= \frac{cos4x}{2cos^{2}\left ( x-\frac{3\pi }{8} \right )-1}$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{2}\left ( 2-cos4x-cos2x \right )= \frac{cos4x}{cos( 2x-\frac{3\pi }{4})}$

 

$\Leftrightarrow  2-cos4x-cos2x = \frac{(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)}{sin2x-cos2x}$

 

$\Leftrightarrow 2-cos4x-cos2x= -cos2x-sin2x$

 

$\Leftrightarrow 1+2sin^{2}2x= -sin2x$

 

ngon rồi

$sin3x+4sin\left ( x- \frac{\pi }{3} \right )= -1$

 

đặt $t=x-\frac{\pi}{3}\Rightarrow 3x=3t+\pi$

 

$PT\Leftrightarrow sin(3t+\pi)+4sint=-1$

 

$PT\Leftrightarrow 4sin^3t+sint=-1$

 

đến đây đơn giản

Bài 1:gpt  $2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+2})(\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2}+1)^2=0$

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

 

lượng giác hoá

 

đặt x=sin t

 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\left (\frac{sin t+ cost}{\sqrt{2}} \right )^2}=cos2t$

 

$PT\Leftrightarrow\begin{vmatrix} cos(t-\frac{\pi}{4}) \end{vmatrix}=cos2t$

 

Phương trình lượng giác cơ bản