Đã gửi bởi
Thay $x$ bởi $\frac{{x - 1}}{2}$ liên tiếp ta được:
$$f\left( x \right) = \frac{1}{3}f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} \right) + \frac{5}{3}.\frac{{x - 1}}{2}$$
$$\frac{1}{3}f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} \right) = \frac{1}{9}f\left( {\frac{{x - 3}}{4}} \right) + \frac{5}{9}.\frac{{x - 3}}{4}$$
$$\frac{1}{9}f\left( {\frac{{x - 3}}{4}} \right) = \frac{1}{{27}}f\left( {\frac{{x - 7}}{8}} \right) + \frac{5}{{27}}.\frac{{x - 7}}{8}$$
$$...........$$
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
$$\frac{1}{{{3^n}}}f\left( {\frac{{x - {2^n} + 1}}{{{2^n}}}} \right) = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}f\left( {\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right) + \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}.\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}$$
Cộng từng vế các đẳng thức trên và rút gọn ta được:
$$f\left( x \right) = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}f\left( {\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right) + \frac{5}{3}.\frac{{x - 1}}{2} + \frac{5}{9}.\frac{{x - 3}}{4} + ... + \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}.\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}$$
Do $f(x)$ liên tục nên với mọi $x$ cố định ta có:
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {\frac{{x + 1}}{{{2^{n + 1}}}} - 1} \right) = f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{x + 1}}{{{2^{n + 1}}}} - 1} \right)} \right) = f\left( { - 1} \right)$$
Từ phương trình đã cho, cho $x=-1$ được $f\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{2}$.
Vậy $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}f\left( {\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = 0.\left( { - \frac{5}{2}} \right) = 0$$
Từ đó ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( x \right) = f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{5}{3}.\frac{{x - 1}}{2} + \frac{5}{9}.\frac{{x - 3}}{4} + ... + \frac{5}{{{3^{n + 1}}}}.\frac{{x - {2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}} \right)$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{6}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^k}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{5}{3}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^k}} = \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{6}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{6}}} - \frac{5}{3}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} = x - \frac{3}{2}$$
Thử lại thấy hàm số $f\left( x \right) = x - \frac{3}{2}$ thỏa yêu cầu của bài toán nên đó là hàm số cần tìm.
mình xin chia sẻ một cách khác, cũng khá tương tự
Thay $x=-1\Rightarrow f(-1) = \dfrac{-5}{2}$.
Từ phương trình ban đầu ta có $3f(2x+1)=f(x)+5x \Leftrightarrow 3\left(f(2x+1)-(2x+1)+\dfrac{3}{2}\right) =f(x)-x+\dfrac{3}{2}$.
Đặt $g(x)=f(x)-x+\dfrac{3}{2}, y = 2(x+1)$, ta được:
$3g(2x+1)= g(x) \Leftrightarrow g(y-1)=\dfrac{g\left(\dfrac{y}{2}-1\right)}{3}=\dfrac{g\left(\dfrac{y}{2^2}-1\right)}{3^2}=\cdots= \dfrac{g\left(\dfrac{y}{2^n}-1\right)}{3^n}$.
Do $f(x)$ liên tục nên $g(x)$ cũng liên tục, do đó $\lim_{n\to\infty}g\left(\dfrac{y}{2^n}-1\right)=g\left(\lim_{n\to\infty}\dfrac{y}{2^n}-1\right)=g(-1)=0$
Suy ra $g(y-1)=\dfrac{g\left(\dfrac{y}{2^n}-1\right)}{3^n} =_{n\to\infty}0$, hay $g(x)=0 \forall x\in\mathbb{R}$.
Do đó, $f(x)=x-\dfrac{3}{2} \forall x\in\mathbb{R}$
