Giải phương trình $3\sqrt{1+2{{x}^{2}}}+2\sqrt{40+9{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=5\sqrt{11}$ 

Bài này mình đã dùng máy tính (VINACAL 570ES PLUS II) tìm nghiệm nhưng 6 lần nhấn Shift Solve máy cho ra 6 nghiệm: 0.333333368 ; $\frac{1}{3}$ ; 0.333333361 ; 0.333333369 ; 0.333333362; 0.333333378

Bạn nào biết hướng giải làm sao thì chỉ cho mình với.

Mình đang gặp khó khăn với bài phương trình lượng giác này $\cos \frac{4x}{3}=\cos x+1$ . Mong các bạn giúp mình. Xin chân thành cảm ơn.

Giải bất phương trình $3\left( 2{{x}^{2}}-x\sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)<2\left( 1-{{x}^{4}} \right)$ 

Ý tưởng của mình là giải pt $3\left( 2{{x}^{2}}-x\sqrt{{{x}^{2}}+3} \right)=2\left( 1-{{x}^{4}} \right)$ sau đó xét dấu. Nhưng mình bị vướng phải pt $\frac{9x}{2x+\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0$

Mọi người hãy giúp mình hoàn thành ý tưởng của mình hoặc đề xuất cách giải mới nhé. Xin cảm ơn.

Chứng minh $x+2{{x}^{2}}+3{{x}^{3}}+...+n{{x}^{n}}+...=\frac{x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$

Cho dãy số ${{u}_{n+2}}=a{{u}_{n+1}}+b{{u}_{n}}$. Chứng minh

a.       ${{u}_{n+2}}{{u}_{n}}-u_{n+1}^{2}={{\left( -b \right)}^{n-1}}\left( {{u}_{3}}{{u}_{1}}-u_{2}^{2} \right)$

b.      Đặt $c={{u}_{3}}{{u}_{1}}-u_{2}^{2}$. Chứng minh $-b{{u}_{n}},{{u}_{n+2}}$ là 2 nghiệm của phương trình

                  \[{{t}^{2}}-a{{u}_{n+1}}t-bu_{n+1}^{2}+{{\left( -b \right)}^{n-1}}c=0\]

c.       $\left( {{a}^{2}}+4b \right)u_{n+1}^{2}-4{{\left( -b \right)}^{n}}c$ là số chính phương.

Sử dụng quy tắc L'Hopital tìm giới hạn \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}\]

Mình xin diễn đạt lại bài toán cho rõ hơn: Có bao nhiêu cách chia tập X gồm 6 phần tử thành 3 tập con (không kể đến thứ tự)?

Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp và tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.  Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh IM vuông góc DK.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 1. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của $AB'$ và $BC'$

 Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n+1}}\ge {{\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)}^{n+2}}$

Tính tổng các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4.

Có bao nhiêu cách chia tập A gồm 6 phần tử thành 3 tập con rời nhau và khác rỗng?

 Giả sử ${{F}_{k}}$ là tập hợp tất cả các bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$ trong đó ${{A}_{i}}\left( i=\overline{1,k} \right)$ là một tập con của ${{X}_{n}}=\left\{ 1,2,...,n \right\}$. Biết rằng các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}}$có thể trùng nhau. Hãy tính \[{{S}_{n}}=\sum\limits_{\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)\in {{F}_{k}}}{\left| \bigcup\limits_{i=1}^{k}{{{A}_{i}}} \right|}\].

Trong một tài liệu có lời giải sau: (mình chép lại nguyên xi)

Do có ${{2}^{n}}$ tập con của ${{X}_{n}}$ nên có ${{2}^{nk}}$ bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$. Với mỗi bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$ của ${{X}_{n-1}}$ ta có thể thêm hoặc không thêm n vào tập ${{A}_{i}}$ để được bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$ của ${{X}_{n}}$. Với chú ý rằng số bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$ của ${{X}_{n-1}}$ là ${{2}^{\left( n-1 \right)k}}$ và có ${{2}^{k}}-1$ cách thêm n vào bộ $\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}} \right)$ của ${{X}_{n-1}}$ thì ta có ${{S}_{n}}={{2}^{k}}{{S}_{n-1}}+\left( {{2}^{k}}-1 \right){{2}^{k\left( n-1 \right)}}$.

Dễ thấy ${{S}_{1}}={{2}^{k}}-1$. Từ đấy bằng quy nạp ta chứng minh được ${{S}_{n}}=n{{.2}^{k\left( n-1 \right)}}\left( {{2}^{k}}-1 \right)$.

Mình không hiểu chỗ bôi đỏ? Các bạn giải thích giúp mình nha.

Bài toán 1.Cho tam giác ABC có\[\cos A.\cos B.\cos C=\frac{-1}{8}\]. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng AB’, BC’, CA’ đồng quy.

Bài toán 2.Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. AM, BM, MC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Tìm hệ số của ${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{\left( 1-2x+3{{x}^{2}} \right)}^{9}}$ 

Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nỗi hai điểm bất kì, không có hai đường nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi $n-1$ điểm còn lại. Số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông góc này là bao nhiêu? 

Một số được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và số đó chia hết cho 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị?

Tớ đưa ra lời giải phức tạp hơn chút (bởi thế tớ mới hỏi xem có ai có cách ngắn hơn không)

Bổ đề: Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{n}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{n}}$, có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ n, với mọi số nguyên dương n và số tự nhiên A.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Ta chứng minh bài toán đúng với n=1. Ta cần chứng minh. Từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$, có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị. Xét hai trường hợp:
1) A chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 ở hàng đơn vị là $\overline{A0}$.
2) A không chia hết cho 9. Dễ thấy chỉ có $1$ số chia hết cho 9 từ $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$ và số này không tận cùng là 9.
Bước 2: Giả sử bài toán đúng với n=k, tức là giả sử mệnh đề sau đúng: “Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k, với k là số nguyên dương và A là số tự nhiên.
Bước 3: Ta cần chứng minh bài toán đúng với n=k+1. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có
Từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A0\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Từ $\overline{A1\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A1\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
…
Từ $\overline{A8\underbrace{00...0}_{k}}$ đến $\overline{A8\underbrace{99...9}_{k}}$, có ${{9}^{k-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k.
Như vậy có ${{9}^{k-1}}.9={{9}^{k}}$ số chia hết cho 9 nhưng không có chứa chữ số 9 từ hàng đơn vị đến hàng thập phân thứ k từ $\overline{A\underbrace{00...0}_{k+1}}$ đến $\overline{A\underbrace{99...9}_{k+1}}$.
Vậy bổ đề được chứng minh xong.
Trở lại bài toán. Áp dụng bổ đề với A=0 ta có từ 0 đến $\underbrace{99...9}_{n}$ có ${{9}^{n-1}}$ số tự nhiên có không quá n chữ số chia hết cho 9 (tính luôn cả số 0) nhưng không chứa chữ số 9.

Chứng minh rằng từ $0\to {{10}^{n}}$ có ${{9}^{n-1}}$ số chia hết cho 9 nhưng không chứa chữ số 9 $\left ( n\geq 1 \right )$

Đếm theo phương pháp bao gồm-loại trừ

Số cách xếp $2n$ người ($n$ cặp vợ chồng) lên một bàn tròn là $(2n-1)!$

Số cách xếp có ít nhất $k$ cặp vợ chồng ngồi gần nhau là $C_n^k\times 2^k \times (2n-1-k)! $

 

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $S_n$

$$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k 2^k C_n^k(2n-1-k)!$$

Tham khảo thêm về dãy số này ở đây: A129348

A129348 Sao không đọc được nhỉ? Tiện đây xin hỏi hxthanh "phương pháp bao gồm - loại trừ" là phương pháp như thế nào vậy? Bạn có thể nêu một cách tổng quát phương pháp này rồi cho một vài bài đơn giản ví dụ được không?

Điểm H có nằm trên các mặt của hình chóp đâu mà cậu lôi nó vào! Thiết diện phải là MQNFT (T là giao của AD và Px) chứ nhỉ.

 

Cho tập $S$ có $n$ phần tử thì số tập con của $S$ là $2^{n}$ (kể cả tập rỗng)

Bài toán trên chứng minh bằng nguyên lý quy nạp

Chứng minh:

Bước 1: $n=1\Rightarrow$ tập $S$ có $2$ tập con là chính nó và tập rỗng.

Bước 2: Giả sử $n=k$ thì số tập con của $S$ là $2^{k}$

Bước 3:Ta cần chứng minh với $n=k+1$ thì số tập con của $S$ là $2^{k+1}$

Đặt $A=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k} \end{Bmatrix}$ và $B=\begin{Bmatrix} a_{1};a_{2};...;a_{k};a_{k+1} \end{Bmatrix}$

Do $A\subset B$ nên số tập con của B là:

     * Các tập con của A có $2^{k}$ tập

     * Các tập con của A thêm phần tử $a_{k+1}$ ta có: $2^{k}$ tập

Dẫn đến số tập con của tập có $k+1$ phấn tử là $2^{k+1}$ tập

Do đó số tâp con của tập có $n$ phần tử là $2^{n}$ tập

Vậy số tập con của tập có $n$ phần tử và khác rỗng là $2^{n}-1$ tập

 

 

 

Vậy mà sách Bài tập Tài liệu chuyên toán Giải tích 11 trang 140 dòng thứ 7 lại ghi: "Số các tập con thực sự và khác rỗng của một tập có n-1 phần tử là $2^{n-1}-2$".

Bài này đề phải là $MN$ không song song $AC$

không gian.PNG

Lời giải.

Gọi $MN\cap AC=I;AB\cap PI=E;ME\cap SB=G;CD\cap PI=F;SD\cap NF=H$

Dễ thấy: $(MNP)\cap (ABC)=PI\Rightarrow (MNP)\cap AB=PI\cap AB=E$

$\Rightarrow (SAB)\cap (MNP)=ME\Rightarrow SB\cap (MNP)=ME\cap SB=G$

Lại có: $(ACD)\cap (MNP)=PI\Rightarrow CD\cap (MNP)=CD\cap PI=F$

$\Rightarrow (SCD)\cap (MNP)=NF\Rightarrow SD\cap (MNP)=SD\cap NF=H$

Kết luận: Thiết diện của $(MNP)$ với hình chóp là $MGNH$

$MN$ song song $AC$ mới khó. Theo như vẽ hình thì có khả năng làm được nhưng mà mình không biết làm nên mới hỏi.

Rút gọn biểu thức \[\frac{\left( 15-h-k \right)!}{3!}.\sum\limits_{k=1}^{4}{A_{12}^{k}}\sum\limits_{h=3}^{12-k}{A_{12-k}^{h}}\] 

Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?

Giải

Lời giải 1. Xếp trước 3 bạn nữ, ta được $3!$ cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp 3 bạn học sinh nam (gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng), có $A_{4}^{3}$ cách xếp như vậy. Do đó có $3!.A_{4}^{3}$ cách xếp.

Đây là lời giải sai, lời giải đúng phải là

Lời giải 2. Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nam và $3!$ cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nữ và $3!$ cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{{\left( 3! \right)}^{2}}$ cách xếp.

Thế nhưng vận dụng lời giải 1 vào bài toán sau thì đúng còn lời giải 2 thì không.

Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?

Giải

Xếp 7 học sinh(không có A, B, C) trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là $A_{8}^{3}$. Như vậy có $7!.A_{8}^{3}$ cách xếp thỏa đề.

Các bạn giải thích giúp mình, nếu sử dụng lời giải 1 trong bài toán 1thì sai chỗ nào còn nếu sử dụng lời giải 2 trong bài toán 2 thì sai chỗ nào? Mình mới học về tổ hợp chỉnh hợp nên còn bỡ ngỡ, các bạn cố gắng giúp mình.