Tìm modun của số phức:

$z+(1+i)\bar{z}=5+2i$

 

Câu $1$ không thể áp dụng tính chất hàm chẵn trong tích phân được mà phải áp dụng tính chất của hàm lẻ như sau:

Nếu $y=f\left ( x \right )$ là hàm lẻ và liên tục trên đoạn $\left [ -a;a \right ]$ thì

$$\int_{-a}^{a}f\left ( x \right )dx=0$$

Gợi ý.

$$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{5}+2x^{4}+3x+\sin x-\tan x}{x^{2}+1}dx=\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{5}+2x^{4}+3x}{x^{2}+1}dx+\int_{-1}^{1}\dfrac{\sin x-\tan x}{x^{2}+1}dx=I_{1}+I_{2}$$

Tính $I_{1}$ bằng cách lấy tử chia cho mẫu là tính được còn $I_{2}$ thì chứng minh là hàm lẻ rồi áp dụng công thức trên là được.

Câu $2$ mình không nhớ rõ tính chất trên có suy ngược được không, tức là nếu

$$\int_{-a}^{a}f\left ( x \right )dx=0$$

thì $y=f\left ( x \right )$ là hàm lẻ và liên tục trên đoạn $\left [ -a;a \right ]$.

 

Chắc câu 1 mình chép nhầm đề chứ nó nằm trong phần bt vận dụng của cái tính chất kia. Còn câu 2 thì thật sự là nó bảo tính tích phân của hàm đó dựa vào cái tính chất bạn nêu ấy.

1.Tính tích phân sau:

$I=\int_{-1}^{1}\frac{x^5+2x^4+3x+sinx-tanx}{x^2+1}dx$

Dựa vào: Nếu $f(x)$ là hàm chẵn trên $[-a,a]$ thì: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$

2. Chứng minh:  $f(x)=ln^7(\sqrt{x^2+1}+x)$ là hàm lẻ trên $[-1,1]$

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

Uk, mình cũng đang học tích phân từng phần.

Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

Tính tích phân:

1.$$\int_{0}^{1/9}(5^{3x}+\dfrac{x}{sin^2(2x+1)}+\dfrac{1}{\sqrt[5]{4x-1}})dx$$

2.$$\int_{1}^{e}(x.lnx)^2dx$$

$\frac{t^2}{t^5-1}=\frac{4t^2}{4(t^5-1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{Dt+E}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

(trong đó $A,B,C,D,E$ là các hằng số)

Quy đồng và bỏ mẫu số :

$4t^2=4A(t^4+t^3+t^2+t+1)+(Bt+C)[2t^3-(\sqrt{5}+1)t^2+(\sqrt{5}+1)t-2]+(Dt+E)[2t^3+(\sqrt{5}-1)t^2-(\sqrt{5}-1)t-2]$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}20A=4\\4A+2B+2D=0\\4A+2C-(\sqrt{5}+1)B+(\sqrt{5}-1)D+2E=0\\4A+(\sqrt{5}+1)B-(\sqrt{5}+1)C-(\sqrt{5}-1)D+(\sqrt{5}-1)E=4\\4A-2C-2E=0 \end{matrix}\right.$

(Cho $t=1$ được phương trình đầu ; cân bằng hệ số được 4 phương trình sau)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}A=\frac{1}{5}\\B=\frac{\sqrt{5}-1}{5}\\C=\frac{1-\sqrt{5}}{5}\\D=\frac{-1-\sqrt{5}}{5}\\E=\frac{\sqrt{5}+1}{5} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^2}{t^5-1}=\frac{\frac{1}{5}}{t-1}+\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{5}t-\frac{\sqrt{5}-1}{5}}{2t^2+(\sqrt{5}+1)t+2}+\frac{\frac{-\sqrt{5}-1}{5}t+\frac{\sqrt{5}+1}{5}}{2t^2-(\sqrt{5}-1)t+2}$

$\int \frac{\frac{1}{5}\ dt}{t-1}=\frac{1}{5}\ln\left | t-1 \right |+C$

Còn nguyên hàm 2 cái sau thì đã có phương pháp ở đây :

http://diendantoanho...fracdxx2-7x-11/

Anh có thể xử lí bài này từ đầu theo hướng khác không để em tham khảo? Chứ e nghĩ nếu theo hướng đặt $t=\sqrt[12]{x}$ từ đầu giải quyết hơi lâu, kt 1 tiết hay thi đại học sợ time không đủ, cảm ơn.

Sao ở đây lại là số $3$ nhỉ? Mình biến đổi lại phương trình của bạn thì đâu thu được phương trình ban đầu đâu :-s

Mình nhân 3 cho cả 2 vế của phương trình rồi tách ra như thế để trục căn.

Giải phương trình: $\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=x^3+x^2-4x-1$

$pt<=> (x-2)(x+1)[(x+2)+\dfrac{1}{3\sqrt{x+2}+x+4}+\dfrac{1}{3\sqrt{3-x}-x+5}]=0$

Mà cái bên trong luôn dương do dk $-2<=x<=3$

Đặt $t=\sqrt[12]{x}\implies x=t^{12}\implies dx=12t^{11}dt$

$\implies I=\int \frac{t^4*12t^{11}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{15}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{12}dt}{t^5-1}$.

$=\int 12[t^7+t^2+\frac{t^2}{t^5-1}]dt$

Đến đây chỉ cần tính: $\int \frac{t^2}{t^5-1}=\int \frac{t^2}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}$.

Đến đây dùng hệ số bất định là xong

Làm nốt đi khúc sau đi bạn. Mình bí đoạn xử lí hậu hệ số bất định ấy

Đặt $t=\sqrt[12]{x}\implies x=t^{12}\implies dx=12t^{11}dt$

$\implies I=\int \frac{t^4*12t^{11}dt}{t^8-t^3}=\int \frac{12t^{15}dt}{t^8-t^3}=\frac{12t^{12}dt}{t^5-1}$.

Đến đây dễ rồi, bạn tự làm tiếp nhé.

Mình đang cần đoạn sau.

Tính nguyên hàm sau:

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{x}dx}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x}}}$$

Ta chỉ cần xét trường hợp tổng quát $I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}$ trong đó mẫu vô nghiệm ($p^2-4q< 0$)

$I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}=\int \frac{\frac{a}{2}(2x+p)+b-\frac{ap}{2}}{x^2+px+q}\ dx$

$=\frac{a}{2}\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+\left ( b-\frac{ap}{2} \right )\int \frac{d\left ( x+\frac{p}{2} \right )}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2+\left ( q-\frac{p^2}{4} \right )}$

Vì $p^2-4q< 0$ nên $q-\frac{p^2}{4}=\frac{4q-p^2}{4}> 0$

$\Rightarrow I=\frac{a}{2} \ln(x^2+px+q)+\frac{2b-ap}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$

Còn với bài cho mẫu có nghiệm thì giải quyết sao anh

Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-7x-11}}$$

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-3x+7}}$$ $(mau-vo-nghiem)$ 

Tổng quát: Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2+px+q}}$$

$$\int{\dfrac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}}$$

Tính $A=3-3^2+3^3-3^4+..+3^{2003}3^{2004}$

gọi o là điểm nằm trong tam giác đều ABC, có điểm H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ o đến BC,AC,AB. CHứng minh rằng tổng AK+BH+CI không phuk thuộc vào vị trí của điểm trong tam giác?.

cần các bạn giải nhanh ...

Cho $x,y,z>0$. CMR:

$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \ge \dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$$

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$$5k^2=36x^2+18y^2+6z^2$$

Cho các số thực $a,b,c>0$ thỏa $a(a+b+c)=3bc$. Chứng minh rằng:

$$(a+b)^3+(a+c)^3+3(a+b)(b+c)(a+c) \le 5(b+c)^3$$

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM:

$\sum{\dfrac{a}{ab+1}}=\sum{\dfrac{a^2}{abc+a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3abc+\sum {a}}\ge \dfrac{(\sum{a})^2}{3.\dfrac{(\sum{a})^3}{27}+\sum{a}}=\dfrac{3}{2}$

$\to Q.E.D$

$BDT \iff \sum{\dfrac{1}{a^2-a+3}} \le 1$

CM: $\dfrac{1}{a^2-a+3} \le -\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}$

$\iff \dfrac{(a-1)^2(a-3)}{9(a^2-a+3)} \le 0 $

...

Chứng minh cái này bằng biến đổi tương đương:

$$\sqrt{a^2+a+4} \le \sqrt{6}(1+\dfrac{a-1}{4})$$

Mấy cái kia làm tương tự rồi cộng lại...Tính được max là $3\sqrt{6}$ tại $a=b=c=1$

$P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{49}{16}$

$x;y;z$ không dương nhá bạn , lời giải chưa đúng rồi .
 

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 

Đề bảo $x;y$ tự nhiên mà bạn?