Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M sao cho CodeCogsEqn (1).gif

Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

$\iff \left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$.

Gọi $I$ là điểm thoả mãn $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ ($I$ còn gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A$, $B$, $C$ ứng với tỷ số $(1;-1;1)$)

Trong trường hợp này, ta có thể dựng điểm $I$ bằng cách biến đổi $\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB}$, tức $I$ thoả mãn $ABCI$ là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{MI}+\left(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{MI}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right| \iff MI=BA$.

Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $BA$, với $I$ là điểm thoả mãn $ABCI$ là hình bình hành.

câu dẫn đang là font Times New Roman, còn công thức có vẻ là dùng MS Equation nên font có vẻ là Cambria Math...

nếu bạn không phàn nàn gì về việc dùng công thức font Times New Roman thì dùng một số gói đổi font như mathptmx gì đó...

còn nếu muốn giống y xì thì dùng XeLaTeX để đổi trực tiếp font luôn, dùng gói fontspec

\begin{align*} & \phantom{\iff~} x^2(2x^2+6x+1)=(6x+1-4x^2)^2 \\ &\iff -14 x^4 + 54 x^3 - 27 x^2 - 12 x - 1 = 0 \\ &\iff -(7x+1)(x-1)(2x^2-6x-1)=0 \\ &\iff \left[\begin{array}{l} x=-\dfrac17 \\ x=1 \\ x=\dfrac{3+\sqrt{11}}{2}\\ x=\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}\end{array}\right.\end{align*}

Em biết là như vậy nhưng mà hồi xưa học mấy cái này em thấy khó nên không nhai nổi, giờ thấy hối hận quá sắp thi mà nhìn mấy bài số, tổ ngợp nên không biết anh có những tài liệu nào hay để em đọc mấy ngày này không anh?

Tài liệu thì nhiều lắm, nhưng tổ hợp thì quyển Một số chuyên đề toán tổ hợp của thầy Phạm Minh Phương (quyển màu xanh xanh mà có sơ đồ Venn ở bìa ý), số học thì đọc sách của thầy Hà Huy Khoái, hình như tên cũng là Số học thì phải...

Tìm tất cả hàm số: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)=f(x)\times f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$

\begin{equation} \label{eq:1} f(x+y)=f(x)f(y) \end{equation}

Cho $x=0$, $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(0)=\left[f(0)\right]^2 \iff \left[\begin{array}{l} f(0)=0 \\ f(0)=1 \end{array} \right.$

Nếu $f(0)=0$, cho $y=0$ vào \eqref{eq:1} ta được $f(x)=0, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Nếu $f(0)=1$, cho $y=x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left(2x\right)=\left[f(x)\right]^2, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Cho $y=2x$ vào \eqref{eq:1} ta có $f(3x)=f(x)f(2x)=\left[f(x)\right]^3, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Giả sử ta có $f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \text{với } n\in \mathbb{N}$.

Khi đó, cho $y=nx$ vào \eqref{eq:1} ta có $f\left((n+1)x\right)=f(x)f(nx)=\left[f(x)\right]^{n+1}$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có

\begin{equation} \label{eq:2} f(nx)=\left[f(x)\right]^n, \quad \forall x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N} \end{equation}

Cho $x=1$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(n)=\left[f(1)\right]^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Đặt $f(1)=a$ ta được $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Cho $y=-x$ vào \eqref{eq:1} ta được $1=f(0)=f(x)f(-x), \quad \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó ta có $f(-n) = \dfrac{1}{f(n)}=\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}, \quad \forall n\in \mathbb{N}$.

Vậy $f(n)=a^n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac1n$ vào \eqref{eq:2} ta được $f(1)=\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n\implies f\left(\dfrac{1}{n}\right)=a^\tfrac{1}n, \quad \forall n\in \mathbb{Z}$.

Cho $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{Z}$ vào \eqref{eq:2} ta được $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n, \quad \forall m, n \in \mathbb{Z}$.

Mặt khác, theo \eqref{eq:2} ta có $f\left(n\cdot\dfrac{m}{n}\right)=f(m)=a^m, \quad \forall m\in \mathbb{Z}$.

Vậy $\left[f\left(\dfrac{m}{n}\right)\right]^n=a^m$, hay là $f\left(\dfrac{m}{n}\right)=a^\tfrac{m}{n},\quad \forall m,n \in \mathbb{Z}$.

Vậy $f(q)=a^q, \quad \forall q\in \mathbb{Q}$.

Do hàm số $f$ là liên tục nên chuyển qua giới hạn ta được $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$.

Thử lại thoả mãn, vậy $f(x)=a^x, \quad \forall x\in \mathbb{R}$ ($a$ là hằng số bất kỳ)

P.S: Phương trình hàm nên đăng vào box Olympic chứ nhỉ?

Điều kiện xác định $x\neq 0$.

Ta có

\begin{align*} &\phantom{\iff~} 10+\sqrt{3}x^3+3x+\frac {\sqrt{3}}{x^3}=5\sqrt{3}x^2+2x+\frac {2\sqrt{3}-1}{x}+\frac {5}{x^2} \\ &\iff \sqrt{3} x^6 - 5 \sqrt{3} x^5 + x^4 + 10 x^3 + (1 - 2 \sqrt{3}) x^2 - 5 x +\sqrt{3}=0 \\ &\iff \left(\sqrt{3} x^6 - 5 \sqrt{3} x^5 + 3x^4\right) -\left(2x^4-10x^3+2\sqrt{3}x^2\right)+\left(x^2-5x+\sqrt{3}\right)=0 \\ &\iff \left(x^2-5x+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}x^4-2x^2+1\right)=0 \\ &\iff \left[\begin{array}{l} x^2-5x+\sqrt{3}=0 \\ \sqrt{3}x^4-2x^2+1 =0 \end{array}\right. \\ &\iff \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ (\sqrt{3}-1)x^4+(x^2-1)^2 =0  \end{array}\right. \\&\iff \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2} \\ \left\{\begin{array}{l} x=0 \\ x^2=1 \end{array}\right.  \quad \text{(vô nghiệm)} \end{array}\right.   \end{align*}

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\dfrac{5-\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2}, x=\dfrac{5+\sqrt{25-4\sqrt{3}}}{2}$.

gpt: $(x+2)\sqrt{-x^2-2x+3}=x+3$

Điều kiện xác định $-x^2-2x+3\geqslant 0 \iff -3\leqslant x \leqslant 1$.

Ta có \begin{align*} &\phantom{\iff ~} (x+2)\sqrt{-x^2-2x+3}=x+3 \\ &\iff (x+2)\sqrt{(1-x)(x+3)}=x+3 \\ &\iff \sqrt{x+3}\left[\left(x+2\right)\sqrt{1-x} -\sqrt{x+3}\right]=0  \\ &\iff \left[\begin{array}{l} \sqrt{x+3} =0 \\ (x+2)\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3}=0 \end{array} \right. \end{align*}

Nếu $\sqrt{x+3}=0 \iff x=-3$, thoả mãn điều kiện.

Nếu \begin{align*} &\phantom{\iff~} (x+2)\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3} = 0 \\ &\iff (x+2)\sqrt{1-x}=\sqrt{x+3}  \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} (x+2)^2 (1-x) = x+3 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -x^3 - 3 x^2 - x + 1 = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right.\\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -(x+1)(x^2+2x-1) = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right.\\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} -(x+1)(x^2+2x-1) = 0 \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left\{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} x=-1 \\ x=-1+\sqrt{2} \\ x=-1-\sqrt{2} \end{array} \right. \\ x\geqslant -2 \end{array} \right. \\ & \iff \left[\begin{array}{l} x=-1 \\ x=-1+\sqrt{2} \end{array} \right.  \end{align*}

Thu được nghiệm $x=-1$ và $x=-1+\sqrt{2}$, thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình có các nghiệm $x=-1$, $x=-3$, $x=-1+\sqrt{2}$.

Cách này có vẻ không được hay cho lắm vì đã có tổng quát giải PTB4

Đây là công thức tổng quát mà em

Em xin góp một bài

$\boxed{32}$ $\sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0$

Ôi nhớ ngày xưa ôn chuyên quá...
Giờ già rồi chắc không còn khéo léo như xưa nữa nên mình chắc tay to chút thôi...

P.S: Sau khi ngồi làm bài này thì mình thấy khả năng cực cao là sai đề, vì đi thi thế này thì chết hết...

\begin{align*} &\phantom{\iff} \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0 \\ &\iff \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}=3x^{2}+10x-5 \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 2\left(x^4+4\right)=\left(3x^2+10x-5\right)^2 \\ 3x^2+10x-5\geqslant 0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0 \\ \left[ \begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.  \end{align*}

Ta giải phương trình $7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0$.`

\begin{align*} &\iff x^4 + \dfrac{60}7 x^3 + 10 x^2 - \dfrac{100}7 x + \dfrac{17}7=0 \\ &\iff \left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)^2=\dfrac{410}{49}x^2+\dfrac{100}{7}x-\dfrac{17}{7} \end{align*}