bài toán là như thế này :"2 người cùng làm chung một công việc dự định trong 12h thì xong . ho làm chung với nhau được 8h thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ 2 cứ tiếp tục làm . do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong công việc trong 3h20'. hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao nhiêu lâu để làm xong công viêc nói trên ?

Gọi năng suất dự định mỗi người lần lượt là x và y (ĐK: x>o;y>0) (công việc).

Vì 2 người cùng làm chung công việc dự định trong 12h thì xong 

=> Số việc ban đầu cần làm là:12(x+y) (công việc).(1)

vì họ làm chung được 8h thi người thứ nhất nghỉ

=>Số công việc thực tế hai người làm chung là:8(x+y) (công việc).(2)

vì người thứ cố gắng tăng năng suất và hoàn thành phần công việc còn lại trong 3h20'=$\frac{10}{3}$ h

=>phần công viêc người thứ 2 phải làm một mình là: $\frac{10}{3}$ .2y =$\frac{20}{3}$y (công việc)(3)

Từ (1),(2) và (3) ta có phương trình:8(x+y)+$\frac{20}{3}$y=12(x+y)

                                                   <=>24(x+y)+20y=36(x+y)

                                                   <=>20y              =12(x+y)

                                                   <=>20y              =12x+12y

                                                   <=>8y                =12x

                                                   <=>y                  =$\frac{3}{2}$x

                                                    =>12(x+y)= 20y=30x

=>người thứ nhất làm trong 30h thì xong công việc;người thứ hai làm trong 20h thì xong công việc.

Vậy: Người thứ nhất hoàn thành công việc một mình trong 30h

        Người thứ hai hoàn thành công việc một mình trong 20h.

Giải phương trình:
$$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$$

ĐKXĐ:x$\geq$5

$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

$<=>\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}-5\sqrt{x+1}=0$

$<=>\sqrt{5x^2+14x+9}-7\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-x-20}=0$(1)

Vì $x\geq 5=>\left\{\begin{matrix} 5x^2\geq 125 & & \\9x\geq 45 & & \end{matrix}\right.$ $=>5x^2+9x+9\geq 179 $                                                                                                           $=>\sqrt{5x^2+9x+9}\geq \sqrt{179}>0$

Mà $7\sqrt{x+1}\geq7 \sqrt{5+1}= 7\sqrt{6}> 0$

=>$\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}>0$

Vì $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x+1}\geq 2\sqrt{5+1}=2\sqrt{6}> 0 & & \\\sqrt{x^2-x-20}\geq 0 & & \end{matrix}\right.$

=>$2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}>0$

Phương trình (1)<=>$\frac{(\sqrt{5x^2+14x+9}-7\sqrt{x+1})(\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1})}{\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}}+\frac{(2\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2-x-20})(2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20})}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}}=0$

<=>$\frac{5x^2-35x-40}{\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}}+\frac{x^2-5x-24}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}}=0$

<=>$\frac{(x-8)(5x+5)}{\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}}+\frac{(x-8)(x-3)}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}}=0$

<=>$(x-8)[\frac{5x+5}{\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}}+\frac{x-3}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}}]=0$(a)

Mà x$\geq$5=>$\frac{5x+5}{\sqrt{5x^2+14x+9}+7\sqrt{x+1}}+\frac{x-3}{2\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}}> 0$(b)

Từ (a) và (b) => x-8=0 <=> x=8(Thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=8.

$\left\{\begin{matrix} 4xy+4({x^2}+y^2)+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                              

$<=>\left\{\begin{matrix} 4xy+4{x^2}+4y^2+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(x+y)^2+(x-y)^2+\frac{3}{(x+y)^2}=\frac{85}{3} & & \\x+y+x-y+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

Đặt x+y=a; x-y=b.Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3a^2+b^2+\frac{3}{a^2}=\frac{85}{3} & & \\a+b+\frac{1}{a}=\frac{13}{3} & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a^2+\frac{1}{a^2})+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                                  

$<=>\left\{\begin{matrix} 3[(a+\frac{1}{a})^2-2.a.\frac{1}{a}]+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$                                                                                                                                 

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a+\frac{1}{a})^2-6+b^2=\frac{85}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(a+\frac{1}{a})^2+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(\frac{13}{3}-b)^2+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 3(\frac{169}{9}-\frac{26}{3}b+b^2)+b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \frac{169}{3}-26b+4b^2=\frac{103}{3} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 4b^2-26b+22=0 & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} 2(b-1)(2b-11)=0 & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} b-1=0 & & \\2b-11=0 & & \end{bmatrix} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} b=1 & & \\b=\frac{11}{2} & & \end{bmatrix} & & \\a+\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-b & & \end{matrix}\right.$

.Với b=1 ta có:a+$\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-1$ 

$<=>a^2-\frac{10}{3}a-1=0$

$<=>3a^2-10a+3=0$

$<=>(a-3)(3a-1)=0$

$<=>\begin{bmatrix} a-3=0 & & \\3a-1=0 & & \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a=3 & & \\a=\frac{1}{3} & & \end{bmatrix}$

*với a=3 và b=1 ta có hê phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=3 & & \\x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} x=2 & & \\y=1 & & \end{matrix}\right.$

Với a=$\frac{1}{3}$ và b=1 ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=\frac{1}{3} & & \\x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{3} & & \\y=\frac{-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Với b = $\frac{11}{2}$ ta có: a+$\frac{1}{a}=\frac{13}{3}-\frac{11}{2}$

$<=>a+\frac{1}{a}=\frac{-7}{6}$

$<=>^{a^2}+\frac{7}{6}a+1=0$

$<=>6{a^2}+7a+6=0$

$<=>36{a^2}+42a+36=0$

$<=>{(6a)^2}+2.6a.\frac{7}{2}+\frac{49}{4}+\frac{95}{4}=0$

$<=>(6a+\frac{7}{2})^2+\frac{95}{4}=0 (vô nghiệm)$

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm$ (x;y)\epsilon \left \{(2;1);(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}) \right \}$