Đến nội dung

PTKBLYT9C1213 nội dung

Có 381 mục bởi PTKBLYT9C1213 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#485414 Trận 4 - Đa thức, phương trình hàm

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 02-03-2014 - 11:15 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Bài làm của MO26:

Thay x = y = 0 ta được:

$2f(0)=[f(0)]^{2}\Rightarrow f(0)=0 ; f(0)=2$

TH1: $f(0)=0$

Thay x = 1, y = 0 ta có:

$f(0)+f(1)=[f(1)]^{2}\Rightarrow f(1)=0 ; f(1)=1$

Nếu $f(1)=0$. Thay y = 1 ta có:

$f(x-1)=-f(x)$ $\Rightarrow f(x)=-f(x+1) \Rightarrow -f(x)=f(x+1)\Rightarrow f(x-1)=f(x+1)\Rightarrow f(x)=f(x+2)$

Suy ra $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2.

Nếu $f(1)=1$. Thay y = 1 ta có:

$f(x-1)=f(x)-1$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $f(x)=x$

TH2: $f(0)=2$. Thay y = 0 ta có:

$2f(0)=f(x).f(0)$

$\Rightarrow f(x)=2$

Vậy $f(x)=2; f(x)=x;$ $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2




#482163 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 09-02-2014 - 11:34 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Mở rộng 1. 210 thành phố chỉ là một số cụ thể, ta có thể tổng quát bài toán thành n thành phố và các giả thiết khác không thay đổi, với cách làm tương tự ta được kết quả là (n^2)/3
Mở rộng 2: một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường một chiều giữa các thành phố sao cho: nếu có đường đi từ A đến B và từ C đến A thì không có đường đi từ B đến C. Hỏi có thể xây được nhiều nhất bao nhiêu đường?
Mở rộng 3: Một quốc gia có n thành phố, người ta muốn xây đường giữa các thành phố sao cho: Nếu có đường từ a1 đến a2 và từ a2 đến a3 thì không có đường từ a1 đến a3, nếu có đường từ a1 dđến a2, a2 đến a3, a3 đến a4 thì ko có đường a1 đến a4, nếu có đường từ a1 đến a2, a2 đến a3, a3 đến a4, a4 đến a5, a5 đến a6 thì ko có đường a1 đến a6,.... hỏi xây nhiều nhất bao nhiêu đường.
Đáp số vẫn là (n^2)/3 vì điều kiện đầu đã bao gồm tất cả điều kiện sau



#482062 Trận 3 - Tổ hợp rời rạc

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 08-02-2014 - 22:02 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Bài làm của MO26:

Gọi M là thành phố có nhiều con đường đi và đến nhất. Các thành phố còn lại chia làm 3 loại:

Loại 1: Các thành phố có đường đi từ M đến , giả sử có a thành phố  

Loại 2: Các thành phố có đường đi đến M, giả sử có b thành phố

Loại 3: Các thành phố còn lại, giả sử có c thành phố.

Theo giả thiết ta có a + b + c = 209.

Vì nếu có đường đi từ thành phố A đến thành phố B và từ thành phố B đến thành phố C thì không có đường đi từ thành phố A đến thành phố C nên các thành phố trong loại 1 sẽ không có đường nối với nhau, các thành phố trong loại 2 sẽ không có đường nối với nhau.

Suy ra số đường nối M với các thành phố trong loại 1 là a đường, trong loại 2 là b đường.        

Mặt khác, ta cũng có mỗi thành phố trong loại 1 sẽ nối với mỗi thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $ab$ đường

Mỗi thành phố trong loại 3 có thể nối với a thành phố trong loại 1 và b thành phố trong loại 2 nên số đường nhiều nhất là $c(a+b)$ đường

Suy ra số đường nhiều nhất có thể xây là a + b + ab + c(a+b).

Ta có: $a+b+ab+c(a+b)=ab+a(c+1)+b(c+1)\leq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{3}=\frac{210^{2}}{3}=14700$

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 70, c = 69

Vậy số đường nhiều nhất có thể xây là 14700 đường

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 




#479953 Trận 2 - Hình học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 29-01-2014 - 23:07 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Kiên ak.bạn còn trường hợp hình vẽ khác nữa hay sao đấy.

 

 

 Trường hợp khác chỉ có hình vẽ là thay đổi chút ít nhưng không ảnh hưởng tới chứng minh. 




#478979 Trận 2 - Hình học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 25-01-2014 - 16:35 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Bài làm của MO26:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng AB, AC lần lượt là I, K.

Trung trực của đoạn IM, KM cắt AB, AC lần lượt tại P', Q'.

Ta sẽ chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' luôn đi qua điểm cố định.

Gọi K' là điểm đối xứng với M qua P'Q'$\Rightarrow K'P'=P'M=P'I,K'Q'=Q'M=Q'K$

Mà $\widehat{P'MQ'}=\widehat{P'AQ'}\Rightarrow \widehat{P'K'Q'}=\widehat{P'AQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'P'Q' nội tiếp $\Rightarrow \widehat{K'P'A}=\widehat{K'Q'A}\Rightarrow \widehat{K'P'I}=\widehat{K'Q'K}$

Mà tam giác K'P'I và tam giác K'Q'K cân tại P' và Q'

$\Rightarrow \widehat{K'IP'}=\widehat{K'KQ'}$

$\Rightarrow$ tứ giác AK'IK nội tiếp

Gọi H là giao điểm của K'M và đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK.

Vì P' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác K'IM 

Nên $\widehat{IP'M}=2\widehat{IK'M}$

Gọi I' là trung điểm của IM. Ta có:

$\widehat{IP'M}=2\widehat{IP'I'}$

$\Rightarrow \widehat{IP'Í}=2\widehat{IK'M}\Rightarrow P'I'//AH\Rightarrow$ AH vuông góc IK.

Nên H cố định

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với P'Q' đi qua H cố định.

Mặt khác ta có:

$\frac{ME}{MB}=\frac{MF}{MC}=k$ không đổi nên EF//BC

Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Vậy đường thẳng qua M vuông góc với PQ đi qua H cố định.

 

 

Máy tính của em phần mền vẽ hình không biết tại sao không tải về được nên em xin đính kèm tệp vậy. Mong trọng tài thông cảm.

 

 

Ngay dòng này của em đã sai. Toàn bộ ý tưởng của em đều sụp đổ.


Mà đường thẳng qua E vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q

Suy ra PQ//P'Q'

Xem hình vẽ

040214.png

$S=0$

File gửi kèm

  • File gửi kèm  Doc1.doc   28K   35 Số lần tải



#477281 Trận 1 - Số học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 14-01-2014 - 20:34 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Bài làm:(MO09)

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow y+1=(x^2-y^2)^2>0$.

$x^2=y^2+\sqrt{y+1}> y^2\Rightarrow x\geq y+1\Leftrightarrow x^2\geq y^2+2y+1$

$\Leftrightarrow x^2-y^2\geq 2y+1\Leftrightarrow x^4-2x^2y^2+y^4\geq 4y^2+4y+1$

$\Rightarrow (x^2-y^2)^2\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow y+1\geq (2y+1)^2\Leftrightarrow 4y^2+3y\leq 0$

$\Rightarrow y=0$. Thế lại phương trình ta suy ra $x=1$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=1,y=0$

Dấu $\Leftrightarrow$ ở chỗ này không đúng.

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq y\\y+1=(x^{2}-y^{2})^{2} \end{matrix}\right.$




#477279 Trận 1 - Số học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 14-01-2014 - 20:29 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Mở rộng bài toán :

 

Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn :

$x^n=y^n+\sqrt[k]{y+1}$ trong đó $n$ thuộc $\mathbb{N}^*,n>1$ , $0\leq k\leq 1$

Hướng giải : Ta chứng minh được $y^n<x^n\leq (y+1)^n$ 

Sao lại $0\leq k\leq 1$?, theo mình thì $k\geq 2$ mới đúng chứ




#477276 Trận 1 - Số học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 14-01-2014 - 20:24 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Xem phương trình $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ với x,y thuộc Z*

* Với y=0 => $x^{2}=1$, x$\in$Z* =>x=1

*Với y $\geq 1$ =>x$\geq 3$

Ta có $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}\left ( x-y \right )^{2}=y+1$

suy ra: y+1 chia hết cho x+y, vô lý.( vì x+y>y+1, x$\geq 3$)

Do đó các số nguyên không âm phải tìm là x=1 và y=0

Chỗ màu đó bạn chuyển vế bình phương mà quên không đặt điều kiện x>y thì phải.




#476774 Trận 1 - Số học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 11-01-2014 - 23:09 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Mở rộng 1:

Thay đổi giả thiết x,y là các số nguyên không âm thành x,y là các số nguyên.

Với cách giải tương tự (chú ý điều kiện $y\geq -1$ ) ta vẫn thu được nghiệm (x, y) = (1, 0)

Mở rộng 2:

Tìm các số nguyên không âm thõa mãn đẳng thức:

                      $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}$     $(n\in N,n\geq 2)$

Giải:

Ta có: $x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt[n]{y+1}> 0$ với $y$ nguyên không âm

$x^{2}=y^{2}+\sqrt[n]{y+1}\leq y^{2}+\frac{y+n}{n}=y^{2}+\frac{y}{n}+1$ (bất đẳng thức AM-GM cho n số)

                                         $\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}$

$\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}=(y+1)^{2}$

Thay vào đẳng thức ta tìm được $(x,y)=(1,0)$




#476770 Trận 1 - Số học

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 11-01-2014 - 22:56 trong Thi giải toán Marathon Chuyên toán 2014

Bài làm của MO26: Phan Trung Kiên

 

Ta có: 

$x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}> y^{2}$ do $\sqrt{y+1}> 0$ với mọi $y$ nguyên không âm         (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số nguyên không âm $y+1$ và $1$ ta có:

         $\frac{y+1+1}{2}\geq \sqrt{y+1}\Leftrightarrow \frac{y}{2}+1\geq \sqrt{y+1}$

Nên $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+\frac{y}{2}+1$

Mà $\frac{y}{2}\leq 2y$ với $\forall y$

$\Rightarrow y^{2}+\sqrt{y+1}\leq y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}\leq (y+1)^{2}$          (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow y^{2}< x^{2}\leq (y+1)^{2}$

Vì $x,y$ là các số nguyên không âm nên $x^{2}=(y+1)^{2}$  (*)

Thay (*) vào đẳng thức đã cho ta được:

$(y+1)^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow y^{2}+2y+1=y^{2}+\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 2y+1=\sqrt{y+1}$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+4y+1=y+1$

$\Leftrightarrow 4y^{2}+3y=0$

$\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=-\frac{3}{4}$  (loại)

$\Rightarrow x=1$

Vậy bộ số $(x;y)$ thõa mãn là $(1;0)$

 

Không thử lại: trừ 1đ.

Mệnh đề không rõ ràng:

Mà $\frac{y}{2}\leq 2y$ với $\forall y$

Cụ thể phải là $\forall y \ge 0$.

Mở rộng 1 thiếu nghiệm nên bị trừ 6đ.

$d=9$

$d_{mr}=16;d_{tl}=3;d_{t}=0$

$S=62$




#466618 Tôpic nhận đề Đa thức hoặc phương trình hàm

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 24-11-2013 - 23:07 trong Bài thi đang diễn ra

Họ và tên: Phan Trung Kiên

Học sinh lớp 10A1, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Đề:

Tìm hàm số $f$:$(-1;+\infty )\rightarrow (-1;+\infty )$ thõa mãn:

i) $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$  $\forall x,y\in (-1;+\infty )$

ii) $\frac{f(x)}{x}$ là hàm đồng biến với $\forall x\in (-1;+\infty )$

Đáp án:

$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$  (1)

Xét phương trình $f(x)=x$  (2)

Do $\frac{f(x)}{x}$ là hàm đồng biến với $\forall x\in (-1;+\infty )$ nên phương trình (2) có nhiều nhất ba nghiệm.

Xét a là một nghiệm của (2) với $a\in (-1;0)$, tức $f(a)=a$

Thay $x=y=a$ vào (1) ta có:

$f(2a+a^{2})=2a+a^{2}$

mà $2a+a^{2}\in (-1;0)$

$\Rightarrow$ $2a+a^{2}$ là một điểm bất động của $f$

$\Rightarrow 2a+a^{2}=a\Leftrightarrow a^{2}=-a$ với $a\in (-1;0)$ (vô lý).

Tương tự ta xét a là một nghiệm của (2) với $a\in (0;+\infty )$ cũng dẫn tới điều vô lý

Từ đó ta có: 0 là điểm bất động duy nhất của $f$  (3)

Thay $y=x$ vào (1) ta có:

$f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)$

$\Rightarrow x+f(x)+xf(x)$ là một điểm bất động của $f$.

Kết hợp với (3) $\Rightarrow x+f(x)+xf(x)=0\Rightarrow f(x)=-\frac{x}{x+1}$ với $\forall x\in (-1;+\infty )$

Thử lại ta thấy hàm $f$ thõa mãn yêu cầu.

 

 

 




#457773 bao nhiêu số gồm 8 chữ số , trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 làn , chữ số 2 xuất...

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 15-10-2013 - 17:41 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

1) với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số , trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 làn , chữ số 2 xuất hiện 2 lan và mỗi chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần .

2) giải bóng đá do truờng tổ chức có 14 đội tham dự , giả thiết rằng không có 2 đội nào có số điểm bằng nhau . hỏi có bao nhiêu cách để :

   a) chọn ra 3 đội có số điểm cao nhất 

   b) chọn ra 3 đội để trao giải nhất nhì 3 

a, Số cách số thoã mãn là:

$\frac{8!}{3!.2!}$

b, Số cách chọn 3 đội cao điểm nhất: $C_{14}^{3}$

Số cách chọn 3 đội để trao giải nhất nhì ba: $A_{14}^{3}$




#457565 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:53 trong Góc giao lưu

Công nhận là tên ấn tượng

Quá độc. Thôi đi học tiếp đây. Chào em




#457563 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:49 trong Góc giao lưu

Anh nam đó hỏi thăm thôi. Tại vì chị đó học cùng đội tuyển toán thi tỉnh vs nam, có cái tên lạ nên nó hỏi cho bật cười




#457561 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:47 trong Góc giao lưu

Hai người là một cặp à

KO biết j thì đừng nói




#457559 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:44 trong Góc giao lưu

Anh Kiên ơi "Luyện Thị Hồng Nhung"

sao




#457557 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:42 trong Góc giao lưu

:botay

" Bó tay hai thánh"




#457555 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:40 trong Góc giao lưu

Chị Kiên

Phải gọi = anh




#457550 $\frac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+...

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:21 trong Hình học

Cho M trong tam giác ABC. N, P, Q là ba điểm thẳng hàng trên các đường thẳng AB, BC, CA thoã mãn: $\frac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+\frac{S_{MBP}}{S_{MCP}}=2\sqrt{\frac{S_{MAQ}}{S_{MCQ}}}$

Chứng minh rằng: MP//AC




#457546 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:11 trong Góc giao lưu

Em up ảnh chị em mà, namsub nào ở đây

Chị nào? 




#457544 Ảnh thành viên

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 23:04 trong Góc giao lưu

Thôi xóa đi không chị ấy giết mình

Sao lại nói có ảnh namsub????????




#457540 Cho 5 số, mỗi số gồm 100 chữ số 1 hoặc 2. Biết rằng trong 2 số bất kỳ có r hà...

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 13-10-2013 - 22:52 trong Tổ hợp và rời rạc

 tớ không hiểu đề.

5 số này chỉ gồm 1 hoặc 2 hay là có cả 2 chữ số đó

r hàng ở đây nghĩa là gì 

Năm số này gồm cả 1 và 2. Ví dụ 122121121

Hàng ở đây là hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,...

Ví dụ: hàng chục số thứ nhất = hàng chục số thứ hai,...




#457297 $n\leq 2^{m}$

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 12-10-2013 - 23:40 trong Tổ hợp và rời rạc

Cho m, n nguyên dương và m, n > 1. Xét tập hợp X gồm n phần tử và A1, A2,..., Am là m tập con của X thõa mãn điều kiện:

 Với $\forall x, y \in X, x\neq y$ thì tồn tại tập Ak với $1\leq k\leq m$ sao cho $x\in A_{k}, y\notin A_{k}$ hoặc $x\notin A_{k}, y\in A_{k}$

Chứng minh rằng : $n\leq 2^{m}$




#457260 $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 12-10-2013 - 21:57 trong Tổ hợp và rời rạc

Xem tại đây.

Cách giải trong đó thì anh hiểu rồi nhưng anh muốn hỏi vấn đề trên như thế nào?




#457258 $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$

Đã gửi bởi PTKBLYT9C1213 on 12-10-2013 - 21:55 trong Tổ hợp và rời rạc

Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:

Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$     (*)

Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn?????????????????? :closedeyes: