Bài làm của MO26:
Thay x = y = 0 ta được:
$2f(0)=[f(0)]^{2}\Rightarrow f(0)=0 ; f(0)=2$
TH1: $f(0)=0$
Thay x = 1, y = 0 ta có:
$f(0)+f(1)=[f(1)]^{2}\Rightarrow f(1)=0 ; f(1)=1$
Nếu $f(1)=0$. Thay y = 1 ta có:
$f(x-1)=-f(x)$ $\Rightarrow f(x)=-f(x+1) \Rightarrow -f(x)=f(x+1)\Rightarrow f(x-1)=f(x+1)\Rightarrow f(x)=f(x+2)$
Suy ra $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2.
Nếu $f(1)=1$. Thay y = 1 ta có:
$f(x-1)=f(x)-1$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $f(x)=x$
TH2: $f(0)=2$. Thay y = 0 ta có:
$2f(0)=f(x).f(0)$
$\Rightarrow f(x)=2$
Vậy $f(x)=2; f(x)=x;$ $f$ là hàm tuần hoàn chu kì 2