Đến nội dung

hoctrocuanewton nội dung

Có 668 mục bởi hoctrocuanewton (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#603474 $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 16-12-2015 - 18:55 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho: $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{y^{2}+z^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$




#566029 $\frac{\sqrt{2}(2-\tan x)}{...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 15-06-2015 - 20:53 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình sau :

$\frac{\sqrt{2}(2-\tan x)}{\sin (5x-\frac{\pi }{4})}=\frac{1+\tan x}{\sin x}$




#561765 $(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2)\sqrt{x+...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 26-05-2015 - 21:06 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải bất phương trình sau :

$(x\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2)\sqrt{x+\sqrt{x}+10}\geq  x^{2}-x-8\sqrt{x}-4$

@congdaoduy9a : Đã fix rồi nha bạn :3




#544986 $\left\{\begin{matrix} x+2(y-\sqrt...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 20-02-2015 - 11:35 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix} x+2(y-\sqrt{x-1})=\frac{19}{5}+\frac{1}{y^{2}+1}\\ \sqrt{2x+y-2}+\sqrt{y-x+1}=3 \end{matrix}\right.$




#538707 Tìm max $A=\sum \frac{1}{4-ab}$

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 21-12-2014 - 20:06 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$, thoả mãn:$a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Tìm Max

$A=\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

Ta có :

$2A= \sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})= \sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{(4-ab)(2+ab)})= \sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{-(ab-1)^{2}+9})\leq\sum (1-\frac{4-a^{2}b^{2}}{9})= \frac{15}{9}+\sum \frac{a^{2}b^{2}}{9}\leq \frac{15}{9}+\frac{\sum a^{4}}{9}=2$

 

Vậy $MaxA=1$ , dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$




#538530 $P=\frac{a^{4}+b^{4}}{(a+b)^...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 20-12-2014 - 21:34 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b>0$ . Chứng minh rằng :

$P=\frac{a^{4}+b^{4}}{(a+b)^{4}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{5}{8}$




#537791 $\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 13-12-2014 - 23:17 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$ 

Áp dụng BĐT cô-si và schwarz ta có :

$\sum \frac{a^{2}}{b(b+c)}=\frac{8a^{2}}{8b(b+c)}\geq \frac{8a^{2}}{(3b+c)^{2}}\geq \frac{8}{3}(\sum \frac{a}{3b+c})^{2}= \frac{8}{3}(\sum \frac{a^{2}}{3ab+ac})^{2}\geq \frac{8}{3}(\frac{(a+b+c)^{2}}{4\sum ab})^{2}\geq \frac{8}{3}.(\sum \frac{(\sum a)^{2}}{\frac{4}{3}(\sum a)^{2}})= \frac{3}{2}$




#537534 Cho x,y>0 thỏa x+y=$\frac{5}{4}$ Tìm G...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 12-12-2014 - 21:46 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x,y>0 thỏa x+y=$\frac{5}{4}$ Tìm GTNN của $A=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$A=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{25}{4(x+y)}=5$

Dấu "=" xảy ra khi $x=1,y=\frac{1}{4}$




#536735 $\left\{\begin{matrix} x(y^{3}-x...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 08-12-2014 - 20:30 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình sau :

$\left\{\begin{matrix} x(y^{3}-x^{3})=7\\ x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x \end{matrix}\right.$




#534792 Tìm Min của : $P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 25-11-2014 - 22:25 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho : $a,b,c\epsilon \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ . Tìm Min của :

$P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^{3}})$




#534574 $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 24-11-2014 - 17:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chứng minh rằng với mọi $x\geq y\geq z> 0$ ta có :

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$




#533625 Tìm Min của :$P=\sum \frac{a}{b^{2}...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 17-11-2014 - 20:52 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ abc=1 \end{matrix}\right.$ 

Tìm Min của :$P=\sum \frac{a}{b^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}$




#532162 Tìm GTLN của : $P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 06-11-2014 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn :  $a,b,c\epsilon \begin{bmatrix}0;1\\ \end{bmatrix}$

 

Tìm GTLN của : $P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^{3}})$




#532058 Tìm GTLN của : $P=\sum \frac{a}{\sqrt...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 06-11-2014 - 02:02 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho  : $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \end{matrix}\right.$  

 

Tìm GTLN của : $P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$




#526791 $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 01-10-2014 - 16:47 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

Dựa vào điều kiện bài toán ta có : $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{a}{ab+abc}= \sum \frac{1}{b+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{9}{\sum a+\frac{(\sum a)^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm




#526713 $\sum \frac{1}{a}\geq 3\sum...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 30-09-2014 - 20:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c dương. CMR:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a})$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\\ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{b+2c} \\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq \frac{9}{c+2a} \end{matrix}\right.$

 

Công theo vế ta được đpcm




#526175 Cmr: $\sum \dfrac{a}{a^{2}+1}...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 25-09-2014 - 21:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

Áp dụng lần lượt BĐT Cô si và schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}\leq \frac{1}{25}\sum (\frac{a}{\frac{2a}{3}}+\frac{4a}{\frac{2}{9}})= \frac{1}{25}\sum (\frac{3}{2}+18a)= \frac{1}{25}(\frac{9}{2}+18(a+b+c))= \frac{9}{10}$

 

Vậy ta được đpcm




#526143 GPT: $-2cosx.sin\tfrac{2x}{3}+sinx = 0$

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 25-09-2014 - 20:24 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình :$-2cosx.sin\tfrac{2x}{3}+sinx = 0(1)$

 

Đặt $a=\frac{x}{3}$

$(1)\Leftrightarrow -2\cos 3a.\sin 2a+\sin 3a=0$

 

$\Rightarrow -4\cos 3a.\sin a.\cos a+3\sin a-4\sin ^{3}a=0$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix}\sin a=0\\ -4\cos 3a.\cos a+3-4\sin ^{2}a=0\end{bmatrix}$
 
Xét TH1 : $\sin a=0\Rightarrow \sin \frac{x}{3}=0\Rightarrow \frac{x}{3}=k\pi \Rightarrow x=3k\pi $
 
Xét TH2 : $-4\cos 3a.\cos a+3-4\sin ^{2}a=0$
$\Rightarrow -4(4\cos ^{3}a-3\cos a)\cos a+4(1-\sin ^{2}a)-1=0$
 
$\Rightarrow -16\cos ^{4}a+16\cos ^{2}a-1=0$
 
$\Rightarrow \begin{bmatrix} \cos ^{2}a=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\ \cos ^{2}a=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \end{bmatrix}$
 
Đến đây chắc là bạn tự giải được rồi  :luoi:



#525803 Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 22-09-2014 - 23:29 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c>0$,$abc=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:$A=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}$

 

@Chú ý:Bài toán đúng đề nhé không phải giá trị lớn nhất mong các bạn đừng spam!

Dựa vào điều kiện bài toán ta có :

$1=xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}\Rightarrow 3\leq \sum x\Rightarrow 3\sum x\leq (\sum x)^{2}$

 

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{x}{y+z+1}= \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq \frac{(\sum x)^{2}}{\frac{2(\sum x)^{2}}{3}+\frac{(\sum x)^{2}}{3}}= 1$

Vậy $MinA=1$ . Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$




#525773 $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}\geq \frac{a +...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 22-09-2014 - 21:11 trong Bất đẳng thức và cực trị

CMR với số thực dương a, b, c ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}+ \frac{b^{3}}{b^{2}+bc + 2c^{2}}+ \frac{c^{3}}{c^{2}+ca + 2a^{2}}\geq \frac{a + b + c}{4}(1)$

 

@MOD : Chú ý khi đặt tiêu đề

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab + 2b^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}b+2ab^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum ab^{2}}$

 

Nhận thấy :

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)}$

 

Nên để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh :

$ \sum ab^{2}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}$

 

$\Leftrightarrow \sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)+\sum ab^{3}$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$a^{4}+b^{2}c^{2}\geq 2a^{2}bc$

$a^{2}b^{2}+b^{4}\geq 2ab^{3}$

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta được đpcm




#525321 Cmr: $\sum \frac{1}{x^2(2x+3y+z)}\leq...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 20-09-2014 - 11:12 trong Bất đẳng thức và cực trị

Sai rồi anh!

Chỗ màu đỏ là $6$ và $12$

Đúng mà em  :mellow:

$\frac{1}{36}\sum (\frac{14}{3x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{3z^{3}})= \frac{1}{36}(\frac{14}{3x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{3z^{3}})+\frac{1}{36}(\frac{14}{3y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{3x^{2}})+\frac{1}{36}(\frac{14}{3z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{3y^{3}})=\frac{1}{6}\sum \frac{1}{x^{3}}$




#525293 Cmr: $\sum \frac{1}{x^2(2x+3y+z)}\leq...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 20-09-2014 - 00:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

 

Cho $x;y;z>0$ thỏa mãn: $\sum \frac{1}{x^3}=2$. Cmr: $$\sum \frac{1}{x^2(2x+3y+z)}\leq \frac{1}{3}$$

 

Áp dụng lần lượt BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum \frac{1}{x^{2}(2x+3y+z)}\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{4}{2x^{3}}+\frac{9}{3x^{2}y}+\frac{1}{x^{2}z})\leq \frac{1}{36}\sum (\frac{2}{x^{3}}+(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}})+\frac{1}{3}(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{z^{3}}))= \frac{1}{6}\sum \frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{3}$

 

Vậy ta được đpcm




#525242 Chứng minh: S = $a+b+c +\frac{1}{a}+\frac...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 19-09-2014 - 19:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a, b , c > 0 và a + b + c $\leq \frac{3}{2}$.

Chứng minh: S = $a+b+c +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}$

Lần lượt  áp dụng BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{27}{4\sum x}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

 

Vậy ta được đpcm . Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$




#525143 Cho a ,b ,c dương thõa mãn $ a^2+b^2+c^2=3$ CMR $\fra...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 18-09-2014 - 21:25 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a ,b ,c dương thõa mãn $ a^2+b^2+c^2=3$ CMR

    $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ca} \leq \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{1}{3-ab}= \sum (\frac{1}{3}+\frac{ab}{3(3-ab)})= 1+\sum \frac{4ab}{6(6-2ab)}\leq1+\sum \frac{(a+b)^{2}}{6(6-a^{2}-b^{2})}= 1+\sum \frac{(a+b)^{2}}{6(2c^{2}+a^{2}+b^{2})}\leq 1+\frac{1}{6}(\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})= 1+\frac{1}{2}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm




#524883 $P_{max}=\sum \frac{a\left ( b+c \rig...

Đã gửi bởi hoctrocuanewton on 16-09-2014 - 21:09 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}= \sum \frac{4a}{4a+3b+3c}= 3-\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}(1)$

 

Xét $A=\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$A=\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}= \sum \frac{3(b+c)^{2}}{4a(b+c)+3(b+c)^{2}}\geq \frac{12(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)+6(a+b+c)^{2}}\geq \frac{12(\sum a)^{2}}{\frac{2}{3}(\sum a)^{2}+6(\sum a)^{2}}= \frac{9}{5}(2)$

Từ (1)và (2) suy ra :

$P=\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 3-\frac{9}{5}= \frac{6}{5}$

Vậy $MaxP= \frac{6}{5}$  . Dấu "=" xảy ra khi a=b=c