Đến nội dung

canhhoang30011999 nội dung

Có 278 mục bởi canhhoang30011999 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#702954 tuyển CTV cho CLB toán học của chương trình NDNT

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 06-03-2018 - 22:03 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

[CÂU LẠC BỘ TOÁN MỞ ĐƠN TUYỂN CỘNG TÁC VIÊN]

CLB Toán học - Chương trình Nuôi dưỡng nhân tài ra đời từ tháng 8/2017 nhằm tạo môi trường giao lưu, học hỏi giữa các bạn trẻ đam mê Toán. Các thành viên ban đầu đều là những học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Toán đến từ các trường chuyên trên khắp cả nước. Hiện nay, để chuẩn bị cho một số hoạt động phát triển, mở rộng câu lạc bộ, chương trình NDNT chính thức mở đơn tuyển CTV (số lượng: 30 CTV)

1. ĐỐI TƯỢNG
- Học sinh giỏi quốc gia, quốc tế môn Toán đến từ các trường chuyên.
- Sinh viên khoa Toán có thành tích học tập tốt của các trường đại học tại Hà Nội. 
- Các bạn trẻ trong độ tuổi 16-23 tại Hà Nội có niềm đam mê Toán học, có thành tựu liên quan đến Toán là một lợi thế.

2. NHIỆM VỤ
- Tổ chức các buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán, tham gia các seminar Toán định kỳ.
- Hỗ trợ truyền thông cho tạp chí Pi, đóng góp bài viết trên tạp chí Pi.
- Xây dựng các hoạt động ngoại khóa, dự án cộng đồng khác liên quan đến Toán.

3. QUYỀN LỢI
- Nhận giấy chứng nhận từ chương trình Nuôi dưỡng nhân tài nếu hoạt động tích cực 4 tháng trở lên.
- Tiếp xúc với nhiều bạn trẻ tài năng, nhiệt huyết, sáng tạo.
- Học hỏi những kỹ năng, kinh nghiệm quan trọng từ các mentor - cố vấn chuyên môn, hướng nghiệp...
- Tham gia các hoạt động, chương trình đặc biệt của Nuôi dưỡng nhân tài mà không mất bất ký chi phí gì.
- Được đào tạo toán bằng Tiếng Anh.
- Được tham gia các khóa đào tạo chuyên sâu về toán bởi những giáo sư hàng đầu Việt Nam và thế giới
- Có cơ hội trở thành trợ giảng/giảng viên toán bằng tiếng anh online và offline, thu nhập tốt.

4. QUY TRÌNH TUYỂN CHỌN
- Vòng 1: Xét đơn (21/2/2018 - 12/3/2018)
- Vòng 2: Phỏng vấn (24 - 25/3/2018)
- Vòng 3: Thử thách (31/3/2018 - 14/4/2018): teamwork, làm dự án.
-->Thông báo kết quả chính thức (20/4/2018)

LINK ĐƠN ĐĂNG KÝ: https://goo.gl/g7qDgJ
Deadline: 23h ngày 12/03/2018

-----------------------------------------------------------
Mọi thắc mắc về chương trình vui lòng liên hệ: 
1f4dd.pngEmail: [email protected]
1f4bb.pngFanpage: 
https://www.facebook.com/ndnt2009/




#678647 IRAN TST2 Ngày 1

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 26-04-2017 - 09:26 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Bài 1

$ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$. Hai đường chéo cắt nhau tại $P$. Gọi $w_{1}$ là đường tròn qua $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $A$. $w_{2}$ là đường tròn qua $C$ và tiếp xúc với $BD$ tại $D$. $w_{3}$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPC$

Chứng minh rằng dây cung chung của $w_{1},w_{3}$ và $w_{2},w_{3}$ cắt nhau trên $AD$

Bài 2

Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn không có 2 số nào là ước của nhau nhưng trong 3 số bất kì có 1 số là ước của tổng 2 số còn lại

Bài 3

Có 27 tấm thẻ trên đó có thể có 1,2 hoặc 3 biểu tượng trên đó. Các biểu tượng có thể là hình vuông, tam giác, hoặc hình tròn và mỗi tấm thẻ được tô màu xám, trắng hoặc đen. 3 tấm thẻ được gọi là 'hạnh phúc' nếu chúng có cùng hoặc đôi một khác số lượng các biểu tượng trên đó và chúng có cùng hoặc đôi một khác nhau các biểu tượng và  có cùng hoặc đôi một khác màu nhau. Hỏi có thể chọn ra tốt đa bao nhiêu tấm thẻ sao cho không có 3 tấm thẻ nào 'hạnh phúc'




#678549 Tuần 4 tháng 4/2017: Đường tròn pedal của $A$ ứng với tam giác...

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 24-04-2017 - 23:05 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

1 cách khác cho bài 2 

gọi $B_{1}, C_{1}$ là điểm đối xứng của $B$ $C$ qua $IC$ và $IB$ thì theo bổ đề 1 ở đây thì $B_{1}C_{1}$ vuông góc với $OI$

$OI$ cắt $(IAC)$ ở $D'$ $IJ'$ vuông góc với $CD'$ ($J'$ thuộc (IAC)) ta chứng minh $J$ và $J'$ đối xứng với nhau qua $OI$

ta có $\angle {DJI}=90-\angle {IBD}=90-\angle {BAI}$

tương tự ta có $\angle {DIJ'}= 90=\angle {IAC}$

từ đó ta có $\angle {DIJ}=\angle {DIJ'}$

ta có $\angle {JB_{1}C} =\angle {ABJ} =180 -\angle {AIJ}=180- \angle {AID} -90+ \angle {BAI}=90- \angle {B_{1}PI}$ ($OI$ cắt $AC$ tại $P$)

nên $B_{1}J$ vuông góc với $OI$

tương tự $C_{1}J'$ vuông góc với $OI$ nên $JJ'$ vuông góc với $OI$ ta có đpcm




#678462 USAMO 2017 ngày 1

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 24-04-2017 - 08:31 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

6

ta có $\sum \frac{a} {b^{3}+4}= \sum \frac{a} {4} -\frac{ab^{3}} {4(b^{3}+4)} \geq \sum \frac{a} {4} - \frac{ab} {12}$

$=1-\frac{ab+bc+cd+da} {12} \geq 1- \frac{(a+c)(b+d)} {12} \geq \frac{2} {3}$

dấu bằng xảy ra khi $a=d=2, b=c=0$




#673586 Marathon số học Olympic

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 06-03-2017 - 20:23 trong Số học

Bài 71: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn : không có số chính phương $m$ nào sao cho $n<m<2n$

bài toán tương đương với tồn tại x sao cho $x^{2} \leq n<2n \leq (x+1)^2$ từ đó suy ra $2x^{2}<(x+1)^{2}$ đánh giá chặn được n




#670761 Diễn đàn đã hoạt động trở lại

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 08-02-2017 - 20:51 trong Thông báo tổng quan

Trên thanh địa chỉ em thấy có chữ https, em bỏ chữ 's' đi để còn http thôi rồi nhấn enter xem có được không nhé.

chắc sau khi sửa cái link cũ của em bị hỏng vì nếu em ấn vào chữ  Trang chủ trong hình thì vẫn vào được




#670720 Diễn đàn đã hoạt động trở lại

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 08-02-2017 - 15:08 trong Thông báo tổng quan

Cho em hỏi giao diện của diễn đàn hiện tại là thế này hay máy em bị lỗi ạ

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#667392 Đề cử Thành viên nổi bật 2016

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 06-01-2017 - 22:43 trong Thông báo tổng quan

Tên ứng viên: Baopbc, Quanghung86, Zaraki, Bangbang1412, I Love MC

Thành tích nổi bật: khuấy động phong trào Olympic của diễn đàn




#657104 Đề thi chọn đội tuyển PTNK ngày 1 năm 2016-2017

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 08-10-2016 - 15:43 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

-$f(n+1)-f(n)=d=2$. Xét dãy $f(n2^k);f(n2^k+1);...;f((n+1)2^k)$ rồi chứng minh tương tự như trên.

 

câu 3 bạn làm rõ đoạn này cái




#656529 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 02-10-2016 - 23:03 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế giá trị $x,y$

$2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x[f(2x)+4f(f(y))]$ $(1)$
$P(0,y)\implies f(0)=0$
$P(x,0)\implies 4f^2(x)-2f(x^2)=xf(2x)$ $(2) 

Thay vào $(1)\implies f(x)f(x+y)=f^2(x)+xf(f(y))$ $(3)$

$P(x,-x)\implies f^2(x)=-xf(f(-x))$ $(4)$

$P(2x,-x)$ và áp dụng $(4)\implies f(2x)f(x)=f^2(2x)-2f^2(x)$

$\iff \left [ f(2x)-2f(x) \right ]\left [ f(2x)+f(x)  \right ]=0\iff f(2x)=2f(x)$ hoặc $f(2x)=-f(x)$
 

TH1: $ f(2x)=2f(x)$

$P(x,x)\implies4f^2(x)-f(x^2)=xf(x)+2xf(f(x))$

Áp dụng $(2)$ và $(4)$ $\implies f^2(x)=xf(f(x))=f^2(-x)$

Nếu $f(x)=f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm chẵn, khi đó thay $y=-2x$ vào $(3)$

$\implies f(x)f(-x)=f^2(x)+xf(f(-2x))\iff f(f(-2x))=0 \forall x\in \mathbb{R}\implies f(f(x))=0$

Khi đó $f(x)=f(x+y)\forall y\in \mathbb{R}$ suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(x)=-f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm lẻ, khi đó:

$P(x,-y)\implies f(x)f(x-y)=f^2(x)+f(f(-y))=f^2(x)+f(-f(y))=f^2(x)-f(f(y))$

Cộng vế theo vế$\implies f(x-y)+f(x+y)=2f(x)=f(2x)=f(x+y+x-y)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

$\implies f(x)=cx$ với $c$ là hằng số

Thay vào $(1)$ suy ra $c=1\implies f(x)=x$

 

TH2: $f(2x)=-f(x)$

$P(1,0)\implies f(1)=0$ hoặc $f(1)=\frac{1}{4}$

Nếu $f(1)=0$ thì $P(1,y)\implies f(f(y))=0$

Tương tự suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=\frac{1}{4}$

Thay $x=y=1$ suy ra $f(\frac{1}{4})=-\frac{1}{8}$

$\implies f(\frac{1}{8})=-f(\frac{1}{4})=\frac{1}{8}$

Khi đó thay $x=y=\frac{1}{8}$ vào $(1)$ suy ra vô lí

 

Thử lại thấy có 2 hàm $f(x)=x$ và $f(x)=0$ thỏa mãn $\blacksquare$

bạn giải thích đoạn này cái




#656277 Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017 ngày 1

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 01-10-2016 - 20:49 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 4

sau phép biến đổi đầu ta đc 4 số (d,a,b,c) thỏa a+b+c+d=0

sau phép biến đổi thứ 2 ta đc 4 số (a+b+c-3d,b+c+d-3a,c+d+a-3b,a+b+d-3c)=(-4d,-4a,-4b,-4c)

sau phép biến đổi thứ 3 ta đc 4 số (16d,16a,16b,16c)

giả sử a=Max(a,b,c,d) khi đó a>0 và ta có sau 1 số phép biến đổi sẽ xuất hiện số $16^n.a$ với n lớn tùy ý

khi đó trong 4 số có số lớn hơn 2016




#655014 Đề chọn đội tuyển Quốc Gia Hà Tĩnh 2016-2017 (2 ngày)

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 21-09-2016 - 19:25 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

$s_n$ là nghiệm của $f_{n}'(x)=0$ và $f_{n}'(x)=0$ có nghiệm duy nhất. $f_{n}'(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;1)$ nên nó có nghiệm nằm giữa $-1$ và $0$ nên đó là $s_n$

$s_{n}$ là giá trị của hàm mà có phải là giá trị của biến đâu?




#654993 Đề chọn đội tuyển Quốc Gia Hà Tĩnh 2016-2017 (2 ngày)

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 21-09-2016 - 16:15 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Ngày 1:

Câu 1: (khá quen thuộc nhưng mình xét BĐT hơi loằng ngoằng)

a) Xét $f'_{n}(x)=\dfrac{2nx^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}+1}{(x-1)^2}$

$f'_n(x)=0 \Leftrightarrow 2nx^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}+1=0 (x \neq 1)$

Ta chứng minh $g_{n}(x)=2nx^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}+1=0$ có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$

Xét $g'_n(x) = 2n(2n+1)x^{2n}-2n(2n+1)x^{2n-1}=0 \Leftrightarrow x^{2n}=x^{2n-1} \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$

Do đó với $x<0$ thì $g'_n(x) \neq 0$ do đó $f'_n(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $(-\infty;0)$ 

Mặt khác ta cũng có thể viết : $f'_{n}(x)=2nx^{2n-1}+...+1$ nên rõ ràng với $x\geq 0$ thì  $f'_{n}(x)=2nx^{2n-1}+...+1>0$

Vậy $f'_{n}(x)=0$ có duy nhất một nghiệm

Mặt khác $f_n(x)$ có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ nên nó chỉ đạt giá trị nhỏ nhất đó tại một điểm duy nhất 

b) $f'_{n}(x)=2nx^{2n-1}+...+1$

Do đó $f'_{n}(-1)<0$ và $f'_{n}(0)>0$ nên rõ ràng $(s_n)$ bị chặn giữa $-1$ và $0$

Ta chứng minh $(s_n)$ là dãy giảm

Từ phần $(a)$ dễ suy ra $f'_{n}(x)$ đồng biến trên $(-\infty;0)$

Do đó chỉ cần chứng minh $f'_{n+1}(s_n) > f'_{n+1}(s_{n+1})=0$

Do đó ta cần chứng minh $2(n+1)s_{n}^{2n+1}+(2n+1)s_{n}^{2n}>0$ hay $s_n>\dfrac{-(2n+1)}{2(n+1)}$

Hay cần chứng minh $f_n(\dfrac{-(2n+1)}{2(n+1)}) <0$

Bằng cách ghép lần lượt $2nx^{2n-1}+(2n-1)x^{2n-2} <0$ và tương tự thì ta dễ dàng có điều phải chứng minh 

Do đó $s_{n}$ giảm và bị chặn nên ta có điều phải chứng minh

Câu 2: (Nhiều khả năng bài này chế từ một bài trong Old and new)

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ thì dễ có $a^5b^5(a^5+b^5+1+1+1)\geq 5a^6b^6$

Chứng minh tương tự và đặt $a^5=x,b^5=y,c^5=z$ thì $x+y+z=3$

Ta có: $5(a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6) \leq xy(x+y+3)+yz(y+z+3)+zx(z+x+3)=2pq-3r$ với $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta thu được: $27+9r\geq 4pq \Leftrightarrow 2pq-\dfrac{9r}{2} \leq \dfrac{27}{2} $

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta thu được $r \leq 3 \Leftrightarrow \dfrac{r}{2} \leq \dfrac{3}{2}$

Suy ra $5(a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6) \leq 15 \Rightarrow a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6 \leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Câu 4 ngày 1 liệu có vấn đề gì không nhỉ sao nó đúng với $k=0$ được

sao lại có cái này?




#654990 Đề thi chọn đội tuyển PTNK ngày 1 năm 2016-2017

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 21-09-2016 - 15:44 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1

Nếu $a>1$ ta có $u_{n}>1$ với mọi n nên $u_{n+1}=2u_{n}-1$

dễ thấy trong trường hợp này ta có dãy ko hội tụ

nếu $a=1$ ta có $lim u_{n}=1$

nếu $0 \geq a \geq -1$ thì ta có $lim u_{n}=-1$

nếu $1> a > 0$ thì ta có $1>u_{1}>-1$

nếu $1>u_{i} >0$ thì ta có $1>u_{i+1}>-1$

nếu $0\geq u_{i} \geq{-1} $ ta có $u_{i+1}=-1$

nên $1> u_{n} \geq -1$ với mọi n

nếu tồn tại $i$ sao cho  $0\geq u_{i} \geq{-1} $ thì ta có $limu_{n}=-1$

nếu $1>u_{n}>0$ với mọi $n$ thì khi đó $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}-1<0$ nên $u_{n}$ giảm

suy ra $u_{n}$ hội tụ về $a$ khi đó $a=1$ (vô lí do $u_{n}$ giảm)

vậy với $1>a \geq -1$ thì $lim U_{n}=-1$

nếu $-1 >a > -3$ thì ta có $-1>u_{1} \geq -2 >-3$ nên bằng quy nạp ta có $-1>u_{n}>-2$ với mọi $n$

khi đó $u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}+1)(u_{n}+2)<0$ nên $u_{n}$ giảm nên $u_{n}$ hội tụ

khi đó $lim u_{n}=-2$

nếu $ -3 \geq a > -2-\sqrt{3}$ thì $-1 \leq u_{1} <1$ nên làm như trên ta có $limu_{n}=-1$

nếu $a=-2-\sqrt{3}$ thì $u_{1}=1$ làm như trên ta có $lim u_{n}=1$

nếu $a <-2-\sqrt{3}$thì $u_{1}>1$ khi đó làm như trên ta  có $u_{n}$ phân kì

vậy $1 \geq a \geq -2-\sqrt{3}$ thì $u_{n}$ hội tụ 




#654722 Đề chọn đội tuyển Quốc Gia Hà Tĩnh 2016-2017 (2 ngày)

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 19-09-2016 - 00:57 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

bài 1 ai có cách tìm lim sn không nhỉ?




#654335 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Quảng Bình

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 15-09-2016 - 22:11 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1  dễ thấy $a=-2016$ không thỏa mãn

Với $a>-2016$ thì dãy ta sẽ cm tồn tại $n_0$ sao cho $x_{n+1}-x_{n}>0$ với mọi $n>n_{0}$

tương đương với $2016\geq a(\sqrt[3]{n^{3}+1}-\sqrt[3]{(n+1)^{3}+1})$

tương đương với$ a.x_{n} \geq -2016$ với $lim x_{n}=1$ ($x_{n}=-\sqrt[3]{n^{3}+1}+\sqrt[3]{(n+1)^{3}+1}$)

ta có a>-2016 nên tồn tại w>0 sao cho a=-2016+w

khi đó ta cần cm tồn tại $n_0$ sao xho $x_n< frac{2016}{2016-w}$

mà ta có tồn tại $ n_0$ sao cho $x_{n}<1+\frac{w}{2016}<\frac{2016}{2016-w}$ với mọi $n>n_0$

từ đó ta có đpcm




#654265 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Quảng Bình

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 15-09-2016 - 15:19 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:  giống như ở đây

 

Mình nghĩ lời giải của anh Juliel bị thiếu phần cm $a \geq -1$ thỏa mãn đk(mà hình như $a=-1$ không thỏa mãn)




#653972 $a_{n+1}=\frac{2}{a_{n}+a_{...

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 12-09-2016 - 23:36 trong Dãy số - Giới hạn

2 bằng quy nạp ta có $1-\frac{6}{n} \leq x_{n} \leq \frac{n+1}{n-1}$ với $n \geq 5$ nên $limx_{n} =1$




#652946 Marathon số học Olympic

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 05-09-2016 - 21:55 trong Số học

Ở đây hình như anh chưa chỉ ra sự vô hạn

anh quên mất ta có $p-1$ chia hết cho $2^{k}$ nên $p \geq 2^{k}$ nên có vô hạn $p$




#652530 $\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)...

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 03-09-2016 - 08:11 trong Số học

nếu $\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv 1 (\bmod 6)$ thì nó lẻ nên ko cần xét th trên




#652515 $\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)...

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 03-09-2016 - 00:09 trong Số học

giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$

từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$

đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$

ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí




#650754 Marathon số học Olympic

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 22-08-2016 - 09:55 trong Số học

Cảm ơn Hoàng đã nhắc.

Đây là lời giải của mình cho bài 36:

 

Gọi số cần tìm là ${{n}^{2}}$.

Theo bài ra ta có: ${{n}^{2}}=\underbrace{{{111...1}_{\left( 3 \right)}}}_{m}=\frac{{{3}^{m}}-1}{2}$ hay ${{3}^{m}}-1=2{{n}^{2}}$.

Trường hợp 1: $m=2k;\ k\ge 1$, khi đó ta có: ${{\left( {{3}^{k}} \right)}^{2}}-2{{n}^{2}}=1$.

Xét phương trình Pell: ${{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=1$.

Phương trình này có tất cả các nghiệm không âm là: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{0}}=1;\ {{x}_{1}}=3 \\ {{y}_{0}}=0;\ {{y}_{1}}=2 \\ {{x}_{n+1}}=6{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \\ {{y}_{n+1}}=6{{y}_{n}}-{{y}_{n-1}} \\ \end{array} \right.$

Nhận thấy: ${{x}_{n}}>3$ với mọi $n>2$ và $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{n}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 9 \right)\Leftrightarrow n\equiv 3\ \left( \bmod \ 6 \right) \\ {{x}_{n}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 11 \right)\Leftrightarrow n\equiv 3\ \left( \bmod \ 6 \right) \\ \end{array} \right.$

Nên với $n>2$ thì ${{x}_{n}}$ không thể có dạng ${{3}^{k}}$.

Từ đó suy ra phương trình ${{\left( {{3}^{k}} \right)}^{2}}-2{{n}^{2}}=1$ có nghiệm $n$ nguyên dương duy nhất là $\left( k,\ n \right)=\left( 1,\ 2 \right)$.

Trường hợp 2: $m=2k+1;\ k\ge 0$ khi đó ta có: $3{{\left( {{3}^{k}} \right)}^{2}}-2{{n}^{2}}=1$.

Xét phương trình Pell: $3{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=1$.

Phương trình này có tất cả các nghiệm không âm là: $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{0}}=1;\ {{x}_{1}}=9 \\ {{y}_{0}}=1;\ {{y}_{1}}=11 \\ {{x}_{n+1}}=10{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \\ {{y}_{n+1}}=10{{y}_{n}}-{{y}_{n-1}} \\ \end{array} \right.$

Nhận thấy: ${{x}_{n}}>9$ với mọi $n>2$ và $\left\{ \begin{array}{l} {{x}_{n}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 27 \right)\Leftrightarrow n\equiv 4\ \left( \bmod \ 9 \right) \\ {{x}_{n}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 17 \right)\Leftrightarrow n\equiv 4\ \left( \bmod \ 9 \right) \\ \end{array} \right.$

Nên với $n>2$ thì ${{x}_{n}}$ không thể có dạng ${{3}^{k}}$.

Từ đó suy ra phương trình $3{{\left( {{3}^{k}} \right)}^{2}}-2{{n}^{2}}=1$ có các nghiệm nguyên không âm là $\left( k,\ n \right)=\left( 0,\ 1 \right)$ và $\left( k,\ n \right)=\left( 2,\ 11 \right)$.

Vậy các số chính phương cần tìm là: $1, 4, 121$.

Cho em hỏi làm sao anh chọn được mod như thế này ạ? 




#649509 Trường hè toán học 2016 bài kiểm tra số 2

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 13-08-2016 - 23:04 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

ta có $\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{(p-a)^{2013}} =\frac{2013p.a^{2012}}{a^{2013}(p-a)^{2013}} (\bmod p)$

nếu $p/2013$ thì bài toán cm xong

nếu $(p,2013)=1$ thì ta đưa bài toán về cm

$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i(p-i)^{2013}}\equiv 0 (\bmod p)$

hay $\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^{2014}}\equiv 0 (\bmod p)$

do mỗi i bất kì luôn tồn tại j sao cho $ij \equiv 1 (\bmod p)$ 

nên ta có $\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^{2014}} = \sum_{i=1}^{p-1} i^{2014}$

gọi $a_{1},a_{2},...a_{t}$ là các đồng dư phân biệt của $i^{2014}$

ta có mỗi $a_{i}$ được xuất hiện $\frac{p-1}{t}$ lần

từ đó xét đa thức $(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{t}) -x^{t}+1$

ta có $a_{1}.a_{2}...a_{t}=x^{2014}a_{1}.x^{2014}a_{2}...x^{2014}a_{t} (\bmod p)$

nên $x^{2014t} =1 (\bmod p) $

mà luôn tồn tại $x$ sao cho $a_{i} =x^{2014} (\bmod p)$ nên ta có đa thức trên có t nghiệm

Nếu t=1 thì ta có $p-1 /2014$ (vô lý do p khác 107)

nếu $t>1$ thì $ \sum_{i=1}^{t}  a_{i}=0 (\bmod p)$

mà $\sum_{i=1}^{p-1} i^{2014}=\frac{p-1}{t}( \sum_{j=1}^{t} a_{j}) =0$ (đpcm)




#649401 Trường hè toán học 2016 bài kiểm tra số 1

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 13-08-2016 - 15:51 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1:

Xét hàm số $f(x)=\frac{x+a}{1+ax}$.

Khi đó, $f'(x)=\frac{1+ax-a(x+a)}{(1+ax)^{2}}=\frac{1-a^{2}}{(1+ax)^{2}}<0$ $\forall \frac{1}{2}<a<1$.

Mặt khác, $x_{1}=\frac{a_{1}+x_{0}}{1+a_{1}x_{0}}=\frac{a_{1}+a_{0}}{1+a_{1}a_{0}}>a_{0}=x_{0}$ nên $(x_{n})$ là dãy tăng.

Và bằng qui nạp, ta chứng minh được $x_{n}<1$ $\forall n \geqslant 0$ nên dãy $(x_{n})$ hội tụ. Vì $(a_{n})$ là dãy bị chặn nên có thể trích ra một dãy con $(a_{n_{k}})$ hội tụ. Nếu ta xét dãy con $(x_{n_{k}})$ thì $\lim_{k\rightarrow \infty}x_{n_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$. Giả sử $(x_{n_{k}})\rightarrow x$ và $(a_{n_{k}})\rightarrow a$. Ta sẽ có phương trình 

$x=\frac{x+a}{1+ax}\Leftrightarrow x=1$ (do $a>0$ và $x>0$). Như vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$

 

Bài này ko thể dùng pp xét hàm đc vì $a_n$ thay đổi 

ta có $\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}-1}=\frac{(x_{n}-1)(a_{n+1}-1)}{(x_{n}+1)(a_{n+1}+1)}$

nên $\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}=\prod_{i=0}^{n+1}\frac{1-a_{i}}{1+a_{i}}$

mà $0\leq \frac{1-a_i}{1+a_i}\leq \frac{1}{3}$

nên $0\leq \frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}\leq \frac{1}{3^{n+1}}$

nên $lim x_{n}=1$




#646234 Đề thi thử VMO 2015 của Viện Toán Học.

Đã gửi bởi canhhoang30011999 on 24-07-2016 - 15:21 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Bài 3 ngày 1

xét tại mỗi hàng ta đánh tùy ý $m-1$ ô đầu và ô cuối đánh sao cho hàng đó có chẵn ô đen

có $2^{m-1}$ cách đánh

Đánh như vậy ở $n-1$ hàng nên có $2^{(n-1)(m-1)}$ cách đánh

Xét hàng cuối ta đánh sao cho mỗi cốt có số ô đen là số chẵn

Dễ thấy khi đó hàng cuối cũng có chẵn ô

Ta có vs cách đánh này ta xác định đc tất cả các TH thỏa mãn đề bài

Vậy có $2^{(n-1)(m-1)}$ cách đánh